ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctinfomlemom GIF version

Theorem ctinfomlemom 12427
Description: Lemma for ctinfom 12428. Converting between Ο‰ and β„•0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ctinfom.n 𝑁 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
ctinfom.g 𝐺 = (𝐹 ∘ ◑𝑁)
ctinfom.f (πœ‘ β†’ 𝐹:ω–onto→𝐴)
ctinfom.inf (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ 𝑛))
Assertion
Ref Expression
ctinfomlemom (πœ‘ β†’ (𝐺:β„•0–onto→𝐴 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,π‘₯   𝑛,𝐹   𝑗,𝐺,π‘˜   𝑖,𝑁,𝑗,π‘˜   𝑛,𝑁,π‘˜   π‘₯,𝑁,π‘˜   𝑖,π‘š,𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑖,π‘˜,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,𝑛)   𝐴(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐹(𝑗,π‘˜,π‘š)   𝐺(π‘₯,𝑖,π‘š,𝑛)   𝑁(π‘š)

Proof of Theorem ctinfomlemom
StepHypRef Expression
1 ctinfom.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:ω–onto→𝐴)
2 ctinfom.n . . . . . . 7 𝑁 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
32frechashgf1o 10427 . . . . . 6 𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
4 f1ocnv 5474 . . . . . 6 (𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ ◑𝑁:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ◑𝑁:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰
6 f1ofo 5468 . . . . 5 (◑𝑁:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝑁:β„•0–ontoβ†’Ο‰)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ◑𝑁:β„•0–ontoβ†’Ο‰
8 foco 5448 . . . 4 ((𝐹:ω–onto→𝐴 ∧ ◑𝑁:β„•0–ontoβ†’Ο‰) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝑁):β„•0–onto→𝐴)
91, 7, 8sylancl 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ ◑𝑁):β„•0–onto→𝐴)
10 ctinfom.g . . . 4 𝐺 = (𝐹 ∘ ◑𝑁)
11 foeq1 5434 . . . 4 (𝐺 = (𝐹 ∘ ◑𝑁) β†’ (𝐺:β„•0–onto→𝐴 ↔ (𝐹 ∘ ◑𝑁):β„•0–onto→𝐴))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (𝐺:β„•0–onto→𝐴 ↔ (𝐹 ∘ ◑𝑁):β„•0–onto→𝐴)
139, 12sylibr 134 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•0–onto→𝐴)
14 imaeq2 4966 . . . . . . . 8 (𝑛 = suc (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ (𝐹 β€œ 𝑛) = (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
1514eleq2d 2247 . . . . . . 7 (𝑛 = suc (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ 𝑛) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š))))
1615notbid 667 . . . . . 6 (𝑛 = suc (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ 𝑛) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š))))
1716rexbidv 2478 . . . . 5 (𝑛 = suc (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ 𝑛) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š))))
18 ctinfom.inf . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ 𝑛))
1918adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ 𝑛))
20 f1of 5461 . . . . . . . . 9 (◑𝑁:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰)
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8 ◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰
2221a1i 9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰)
23 simpr 110 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2422, 23ffvelcdmd 5652 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
25 peano2 4594 . . . . . 6 ((β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰ β†’ suc (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
2624, 25syl 14 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ suc (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
2717, 19, 26rspcdva 2846 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
28 f1of 5461 . . . . . . . 8 (𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝑁:Ο‰βŸΆβ„•0)
293, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑁:Ο‰βŸΆβ„•0
3029a1i 9 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) β†’ 𝑁:Ο‰βŸΆβ„•0)
31 simprl 529 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
3230, 31ffvelcdmd 5652 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3310fveq1i 5516 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = ((𝐹 ∘ ◑𝑁)β€˜(π‘β€˜π‘˜))
3432adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
35 fvco3 5587 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰ ∧ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝑁)β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜(π‘β€˜π‘˜))))
3621, 34, 35sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝑁)β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜(π‘β€˜π‘˜))))
3733, 36eqtrid 2222 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜(π‘β€˜π‘˜))))
3831adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
39 f1ocnvfv1 5777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ π‘˜ ∈ Ο‰) β†’ (β—‘π‘β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = π‘˜)
403, 39mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ Ο‰ β†’ (β—‘π‘β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = π‘˜)
4140fveq2d 5519 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜(π‘β€˜π‘˜))) = (πΉβ€˜π‘˜))
4238, 41syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜(π‘β€˜π‘˜))) = (πΉβ€˜π‘˜))
4337, 42eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
44 simplrr 536 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
4543, 44eqneltrd 2273 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
46 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) ∧ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘–)) β†’ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘–))
4710fveq1i 5516 . . . . . . . . . . . 12 (πΊβ€˜π‘–) = ((𝐹 ∘ ◑𝑁)β€˜π‘–)
48 elfznn0 10113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...π‘š) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
4948adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
50 fvco3 5587 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝑁)β€˜π‘–) = (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
5121, 49, 50sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝑁)β€˜π‘–) = (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
5247, 51eqtrid 2222 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
53 elfzle2 10027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0...π‘š) β†’ 𝑖 ≀ π‘š)
5453adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ 𝑖 ≀ π‘š)
55 0zd 9264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ 0 ∈ β„€)
5621a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰)
5756, 49ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ Ο‰)
5824ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
5955, 2, 57, 58frec2uzled 10428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((β—‘π‘β€˜π‘–) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))))
60 f1ocnvfv2 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) = 𝑖)
613, 49, 60sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) = 𝑖)
6223ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
63 f1ocnvfv2 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) = π‘š)
643, 62, 63sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) = π‘š)
6561, 64breq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ↔ 𝑖 ≀ π‘š))
6659, 65bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((β—‘π‘β€˜π‘–) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ 𝑖 ≀ π‘š))
6754, 66mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘–) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š))
68 nnsssuc 6502 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ Ο‰ ∧ (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰) β†’ ((β—‘π‘β€˜π‘–) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ (β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
6957, 58, 68syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((β—‘π‘β€˜π‘–) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ (β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
7067, 69mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ suc (β—‘π‘β€˜π‘š))
711ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ 𝐹:ω–onto→𝐴)
72 fof 5438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ω–onto→𝐴 β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ΄)
7371, 72syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ΄)
7473ffund 5369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ Fun 𝐹)
7573fdmd 5372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ dom 𝐹 = Ο‰)
7657, 75eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ dom 𝐹)
77 funfvima 5748 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ (β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ suc (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š))))
7874, 76, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((β—‘π‘β€˜π‘–) ∈ suc (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š))))
7970, 78mpd 13 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
8052, 79eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
8180adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) ∧ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘–)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
8246, 81eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) ∧ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘–)) β†’ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
8345, 82mtand 665 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘–))
8483neqned 2354 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...π‘š)) β†’ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  (πΊβ€˜π‘–))
8584ralrimiva 2550 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  (πΊβ€˜π‘–))
86 fveq2 5515 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘β€˜π‘˜) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)))
8786neeq1d 2365 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘β€˜π‘˜) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–) ↔ (πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  (πΊβ€˜π‘–)))
8887ralbidv 2477 . . . . . 6 (𝑗 = (π‘β€˜π‘˜) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  (πΊβ€˜π‘–)))
8988rspcev 2841 . . . . 5 (((π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  (πΊβ€˜π‘–)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–))
9032, 85, 89syl2anc 411 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐹 β€œ suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–))
9127, 90rexlimddv 2599 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–))
9291ralrimiva 2550 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–))
9313, 92jca 306 1 (πœ‘ β†’ (𝐺:β„•0–onto→𝐴 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘– ∈ (0...π‘š)(πΊβ€˜π‘—) β‰  (πΊβ€˜π‘–)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3129   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  suc csuc 4365  Ο‰com 4589  β—‘ccnv 4625  dom cdm 4626   β€œ cima 4629   ∘ ccom 4630  Fun wfun 5210  βŸΆwf 5212  β€“ontoβ†’wfo 5214  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5215  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  freccfrec 6390  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ≀ cle 7992  β„•0cn0 9175  β„€cz 9252  ...cfz 10007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008
This theorem is referenced by:  ctinfom  12428
  Copyright terms: Public domain W3C validator