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Theorem enmkvlem 7153
Description: Lemma for enmkv 7154. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
enmkvlem (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Markov → 𝐵 ∈ Markov))

Proof of Theorem enmkvlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6741 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
21biimpi 120 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
32ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
4 f1ofn 5458 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐵 Fn 𝐴)
54ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → Fn 𝐴)
6 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐵1-1-onto𝐴)
76ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐵1-1-onto𝐴)
8 f1of 5457 . . . . . . . . . . . . 13 (:𝐵1-1-onto𝐴:𝐵𝐴)
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐵𝐴)
10 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
119, 10ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦) ∈ 𝐴)
12 fvco2 5581 . . . . . . . . . . 11 (( Fn 𝐴 ∧ (𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
135, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
14 fveqeq2 5520 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦) → (((𝑔)‘𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o))
15 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o)
1614, 15, 11rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o)
17 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐴1-1-onto𝐵)
18 f1ocnvfv2 5773 . . . . . . . . . . . 12 ((:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐵) → (‘(𝑦)) = 𝑦)
1917, 18sylancom 420 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (‘(𝑦)) = 𝑦)
2019fveq2d 5515 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔‘(‘(𝑦))) = (𝑔𝑦))
2113, 16, 203eqtr3rd 2219 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔𝑦) = 1o)
2221ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)
2322ex 115 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
2423con3d 631 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (¬ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o → ¬ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
25 fveq1 5510 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓𝑥) = ((𝑔)‘𝑥))
2625eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
2726ralbidv 2477 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
2827notbid 667 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
2925eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = ∅ ↔ ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
3029rexbidv 2478 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
3128, 30imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔) → ((¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅)))
32 ismkvmap 7146 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)))
3332ibi 176 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))
3433ad3antlr 493 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))
35 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵))
36 2onn 6516 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ ω
37 relen 6738 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel ≈
3837brrelex2i 4667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
39 elmapg 6655 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
4036, 38, 39sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
4140ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
4235, 41mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔:𝐵⟶2o)
4342adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑔:𝐵⟶2o)
44 f1of 5457 . . . . . . . . . 10 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴𝐵)
4544adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → :𝐴𝐵)
46 fco 5377 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐵⟶2o:𝐴𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
4743, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
48 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴 ∈ Markov)
49 elmapg 6655 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Markov) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
5036, 48, 49sylancr 414 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
5147, 50mpbird 167 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴))
5231, 34, 51rspcdva 2846 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (¬ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
534ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fn 𝐴)
54 fvco2 5581 . . . . . . . . . 10 (( Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
5553, 54sylancom 420 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
5655eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
5745ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥) ∈ 𝐵)
58 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → 𝑦 = (𝑥))
5958fveqeq2d 5519 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → ((𝑔𝑦) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
6057, 59rspcedv 2845 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔‘(𝑥)) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
6156, 60sylbid 150 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
6261rexlimdva 2594 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
6324, 52, 623syld 57 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (¬ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
643, 63exlimddv 1898 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (¬ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
6564ralrimiva 2550 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) → ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(¬ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
66 ismkvmap 7146 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Markov ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(¬ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅)))
6738, 66syl 14 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Markov ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(¬ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅)))
6867adantr 276 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) → (𝐵 ∈ Markov ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(¬ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅)))
6965, 68mpbird 167 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Markov) → 𝐵 ∈ Markov)
7069ex 115 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Markov → 𝐵 ∈ Markov))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  c0 3422   class class class wbr 4000  ωcom 4586  ccnv 4622  ccom 4627   Fn wfn 5207  wf 5208  1-1-ontowf1o 5211  cfv 5212  (class class class)co 5869  1oc1o 6404  2oc2o 6405  𝑚 cmap 6642  cen 6732  Markovcmarkov 7143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-en 6735  df-markov 7144
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