Theorem nn0ge0 8995

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8972	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8720	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 8738	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 7759	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 7844	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 8802	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 3928	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 705	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 120	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ℝcr 7612  0cc0 7613   < clt 7793   ≤ cle 7794  ℕcn 8713  ℕ₀cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-inn 8714  df-n0 8971

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  8996  nn0ge0i  8997  nn0le0eq0  8998  nn0p1gt0  8999  0mnnnnn0  9002  nn0addge1  9016  nn0addge2  9017  nn0ge0d  9026  elnn0z  9060  nn0lt10b  9124  nn0ge0div  9131  nn0pnfge0  9570  xnn0xadd0  9643  0elfz  9891  fz0fzelfz0  9897  fz0fzdiffz0  9900  fzctr  9903  difelfzle  9904  elfzodifsumelfzo  9971  fvinim0ffz  10011  subfzo0  10012  adddivflid  10058  modqmuladdnn0  10134  modfzo0difsn  10161  uzennn  10202  bernneq  10405  bernneq3  10407  faclbnd  10480  faclbnd6  10483  facubnd  10484  bcval5  10502  fihashneq0  10534  dvdseq  11535  evennn02n  11568  nn0ehalf  11589  nn0oddm1d2  11595  gcdn0gt0  11655  nn0gcdid0  11658  absmulgcd  11694  algcvgblem  11719  algcvga  11721  lcmgcdnn  11752  hashgcdlem  11892  znnen  11900