Theorem nn0ge0 8796

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8773	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8527	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 8545	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 7585	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 7669	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 416	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 8609	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 3871	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 674	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 120	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 667   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ℝcr 7446  0cc0 7447   < clt 7619   ≤ cle 7620  ℕcn 8520  ℕ₀cn0 8771

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-inn 8521  df-n0 8772

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  8797  nn0ge0i  8798  nn0le0eq0  8799  nn0p1gt0  8800  0mnnnnn0  8803  nn0addge1  8817  nn0addge2  8818  nn0ge0d  8827  elnn0z  8861  nn0lt10b  8925  nn0ge0div  8932  nn0pnfge0  9360  xnn0xadd0  9433  0elfz  9681  fz0fzelfz0  9687  fz0fzdiffz0  9690  fzctr  9693  difelfzle  9694  elfzodifsumelfzo  9761  fvinim0ffz  9801  subfzo0  9802  adddivflid  9848  modqmuladdnn0  9924  modfzo0difsn  9951  bernneq  10205  bernneq3  10207  faclbnd  10280  faclbnd6  10283  facubnd  10284  bcval5  10302  fihashneq0  10334  dvdseq  11292  evennn02n  11325  nn0ehalf  11346  nn0oddm1d2  11352  gcdn0gt0  11412  nn0gcdid0  11415  absmulgcd  11449  algcvgblem  11474  algcvga  11476  lcmgcdnn  11507  hashgcdlem  11646  znnen  11654