Theorem nn0ge0 9268

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9245	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8991	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9009	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8021	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8109	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9073	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4034	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873  0cc0 7874   < clt 8056   ≤ cle 8057  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9269  nn0ge0i  9270  nn0le0eq0  9271  nn0p1gt0  9272  0mnnnnn0  9275  nn0addge1  9289  nn0addge2  9290  nn0ge0d  9299  elnn0z  9333  nn0negleid  9388  nn0lt10b  9400  nn0ge0div  9407  nn0pnfge0  9860  xnn0xadd0  9936  0elfz  10187  fz0fzelfz0  10196  fz0fzdiffz0  10199  fzctr  10202  difelfzle  10203  elfzodifsumelfzo  10271  fvinim0ffz  10311  subfzo0  10312  adddivflid  10364  modqmuladdnn0  10442  modfzo0difsn  10469  uzennn  10510  bernneq  10734  bernneq3  10736  zzlesq  10782  faclbnd  10815  faclbnd6  10818  facubnd  10819  bcval5  10837  fihashneq0  10868  dvdseq  11993  evennn02n  12026  nn0ehalf  12047  nn0oddm1d2  12053  gcdn0gt0  12118  nn0gcdid0  12121  absmulgcd  12157  algcvgblem  12190  algcvga  12192  lcmgcdnn  12223  hashgcdlem  12379  odzdvds  12386  pcfaclem  12490  znnen  12558  logbgcd1irr  15140  lgsdinn0  15205