Theorem nn0ge0 9276

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9253	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8999	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9017	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8028	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8116	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9081	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4038	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7880  0cc0 7881   < clt 8063   ≤ cle 8064  ℕcn 8992  ℕ₀cn0 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-inn 8993  df-n0 9252

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9277  nn0ge0i  9278  nn0le0eq0  9279  nn0p1gt0  9280  0mnnnnn0  9283  nn0addge1  9297  nn0addge2  9298  nn0ge0d  9307  elnn0z  9341  nn0negleid  9396  nn0lt10b  9408  nn0ge0div  9415  nn0pnfge0  9868  xnn0xadd0  9944  0elfz  10195  fz0fzelfz0  10204  fz0fzdiffz0  10207  fzctr  10210  difelfzle  10211  elfzodifsumelfzo  10279  fvinim0ffz  10319  subfzo0  10320  adddivflid  10384  modqmuladdnn0  10462  modfzo0difsn  10489  uzennn  10530  bernneq  10754  bernneq3  10756  zzlesq  10802  faclbnd  10835  faclbnd6  10838  facubnd  10839  bcval5  10857  fihashneq0  10888  nn0maxcl  11392  dvdseq  12015  evennn02n  12049  nn0ehalf  12070  nn0oddm1d2  12076  bitsinv1  12129  gcdn0gt0  12155  nn0gcdid0  12158  absmulgcd  12194  algcvgblem  12227  algcvga  12229  lcmgcdnn  12260  hashgcdlem  12416  odzdvds  12424  pcfaclem  12528  znnen  12625  logbgcd1irr  15213  lgsdinn0  15299