Theorem nn0ge0 9390

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9367	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9113	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9131	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8142	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8230	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9195	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4086	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 721	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994  0cc0 7995   < clt 8177   ≤ cle 8178  ℕcn 9106  ℕ₀cn0 9365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107  df-n0 9366

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9391  nn0ge0i  9392  nn0le0eq0  9393  nn0p1gt0  9394  0mnnnnn0  9397  nn0addge1  9411  nn0addge2  9412  nn0ge0d  9421  elnn0z  9455  nn0negleid  9511  nn0lt10b  9523  nn0ge0div  9530  nn0pnfge0  9983  xnn0xadd0  10059  0elfz  10310  fz0fzelfz0  10319  fz0fzdiffz0  10322  fzctr  10325  difelfzle  10326  fzoun  10375  elfzodifsumelfzo  10402  fvinim0ffz  10442  subfzo0  10443  adddivflid  10507  modqmuladdnn0  10585  modfzo0difsn  10612  uzennn  10653  bernneq  10877  bernneq3  10879  zzlesq  10925  faclbnd  10958  faclbnd6  10961  facubnd  10962  bcval5  10980  fihashneq0  11011  ccat0  11126  nn0maxcl  11731  dvdseq  12354  evennn02n  12388  nn0ehalf  12409  nn0oddm1d2  12415  bitsinv1  12468  gcdn0gt0  12494  nn0gcdid0  12497  absmulgcd  12533  algcvgblem  12566  algcvga  12568  lcmgcdnn  12599  hashgcdlem  12755  odzdvds  12763  pcfaclem  12867  znnen  12964  logbgcd1irr  15635  lgsdinn0  15721