Theorem nn0ge0 9417

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9394	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9140	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9158	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8169	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8257	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9222	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4090	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 721	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021  0cc0 8022   < clt 8204   ≤ cle 8205  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-inn 9134  df-n0 9393

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9418  nn0ge0i  9419  nn0le0eq0  9420  nn0p1gt0  9421  0mnnnnn0  9424  nn0addge1  9438  nn0addge2  9439  nn0ge0d  9448  elnn0z  9482  nn0negleid  9538  nn0lt10b  9550  nn0ge0div  9557  nn0pnfge0  10016  xnn0xadd0  10092  0elfz  10343  fz0fzelfz0  10352  fz0fzdiffz0  10355  fzctr  10358  difelfzle  10359  fzoun  10408  elfzodifsumelfzo  10436  fvinim0ffz  10477  subfzo0  10478  adddivflid  10542  modqmuladdnn0  10620  modfzo0difsn  10647  uzennn  10688  bernneq  10912  bernneq3  10914  zzlesq  10960  faclbnd  10993  faclbnd6  10996  facubnd  10997  bcval5  11015  fihashneq0  11046  ccat0  11163  ccat2s1fvwd  11214  nn0maxcl  11776  dvdseq  12399  evennn02n  12433  nn0ehalf  12454  nn0oddm1d2  12460  bitsinv1  12513  gcdn0gt0  12539  nn0gcdid0  12542  absmulgcd  12578  algcvgblem  12611  algcvga  12613  lcmgcdnn  12644  hashgcdlem  12800  odzdvds  12808  pcfaclem  12912  znnen  13009  logbgcd1irr  15681  lgsdinn0  15767