Theorem nn0ge0 9204

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9181	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8929	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 8947	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 7960	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8048	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9011	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4009	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 716	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ℝcr 7813  0cc0 7814   < clt 7995   ≤ cle 7996  ℕcn 8922  ℕ₀cn0 9179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-inn 8923  df-n0 9180

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9205  nn0ge0i  9206  nn0le0eq0  9207  nn0p1gt0  9208  0mnnnnn0  9211  nn0addge1  9225  nn0addge2  9226  nn0ge0d  9235  elnn0z  9269  nn0negleid  9324  nn0lt10b  9336  nn0ge0div  9343  nn0pnfge0  9794  xnn0xadd0  9870  0elfz  10121  fz0fzelfz0  10130  fz0fzdiffz0  10133  fzctr  10136  difelfzle  10137  elfzodifsumelfzo  10204  fvinim0ffz  10244  subfzo0  10245  adddivflid  10295  modqmuladdnn0  10371  modfzo0difsn  10398  uzennn  10439  bernneq  10644  bernneq3  10646  faclbnd  10724  faclbnd6  10727  facubnd  10728  bcval5  10746  fihashneq0  10777  dvdseq  11857  evennn02n  11890  nn0ehalf  11911  nn0oddm1d2  11917  gcdn0gt0  11982  nn0gcdid0  11985  absmulgcd  12021  algcvgblem  12052  algcvga  12054  lcmgcdnn  12085  hashgcdlem  12241  odzdvds  12248  pcfaclem  12350  znnen  12402  logbgcd1irr  14573  lgsdinn0  14637