Theorem nn0ge0 9405

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9382	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9128	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8157	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8245	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9210	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4087	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 721	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8009  0cc0 8010   < clt 8192   ≤ cle 8193  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9406  nn0ge0i  9407  nn0le0eq0  9408  nn0p1gt0  9409  0mnnnnn0  9412  nn0addge1  9426  nn0addge2  9427  nn0ge0d  9436  elnn0z  9470  nn0negleid  9526  nn0lt10b  9538  nn0ge0div  9545  nn0pnfge0  9999  xnn0xadd0  10075  0elfz  10326  fz0fzelfz0  10335  fz0fzdiffz0  10338  fzctr  10341  difelfzle  10342  fzoun  10391  elfzodifsumelfzo  10419  fvinim0ffz  10459  subfzo0  10460  adddivflid  10524  modqmuladdnn0  10602  modfzo0difsn  10629  uzennn  10670  bernneq  10894  bernneq3  10896  zzlesq  10942  faclbnd  10975  faclbnd6  10978  facubnd  10979  bcval5  10997  fihashneq0  11028  ccat0  11144  nn0maxcl  11751  dvdseq  12374  evennn02n  12408  nn0ehalf  12429  nn0oddm1d2  12435  bitsinv1  12488  gcdn0gt0  12514  nn0gcdid0  12517  absmulgcd  12553  algcvgblem  12586  algcvga  12588  lcmgcdnn  12619  hashgcdlem  12775  odzdvds  12783  pcfaclem  12887  znnen  12984  logbgcd1irr  15656  lgsdinn0  15742