Theorem nn0ge0 9265

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8989	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9007	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8019	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8107	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9071	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4033	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871  0cc0 7872   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9266  nn0ge0i  9267  nn0le0eq0  9268  nn0p1gt0  9269  0mnnnnn0  9272  nn0addge1  9286  nn0addge2  9287  nn0ge0d  9296  elnn0z  9330  nn0negleid  9385  nn0lt10b  9397  nn0ge0div  9404  nn0pnfge0  9857  xnn0xadd0  9933  0elfz  10184  fz0fzelfz0  10193  fz0fzdiffz0  10196  fzctr  10199  difelfzle  10200  elfzodifsumelfzo  10268  fvinim0ffz  10308  subfzo0  10309  adddivflid  10361  modqmuladdnn0  10439  modfzo0difsn  10466  uzennn  10507  bernneq  10731  bernneq3  10733  zzlesq  10779  faclbnd  10812  faclbnd6  10815  facubnd  10816  bcval5  10834  fihashneq0  10865  dvdseq  11990  evennn02n  12023  nn0ehalf  12044  nn0oddm1d2  12050  gcdn0gt0  12115  nn0gcdid0  12118  absmulgcd  12154  algcvgblem  12187  algcvga  12189  lcmgcdnn  12220  hashgcdlem  12376  odzdvds  12383  pcfaclem  12487  znnen  12555  logbgcd1irr  15099  lgsdinn0  15164