Theorem nn0ge0 9291

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9268	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9014	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9032	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8043	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8131	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9096	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4038	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895  0cc0 7896   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9292  nn0ge0i  9293  nn0le0eq0  9294  nn0p1gt0  9295  0mnnnnn0  9298  nn0addge1  9312  nn0addge2  9313  nn0ge0d  9322  elnn0z  9356  nn0negleid  9411  nn0lt10b  9423  nn0ge0div  9430  nn0pnfge0  9883  xnn0xadd0  9959  0elfz  10210  fz0fzelfz0  10219  fz0fzdiffz0  10222  fzctr  10225  difelfzle  10226  elfzodifsumelfzo  10294  fvinim0ffz  10334  subfzo0  10335  adddivflid  10399  modqmuladdnn0  10477  modfzo0difsn  10504  uzennn  10545  bernneq  10769  bernneq3  10771  zzlesq  10817  faclbnd  10850  faclbnd6  10853  facubnd  10854  bcval5  10872  fihashneq0  10903  nn0maxcl  11407  dvdseq  12030  evennn02n  12064  nn0ehalf  12085  nn0oddm1d2  12091  bitsinv1  12144  gcdn0gt0  12170  nn0gcdid0  12173  absmulgcd  12209  algcvgblem  12242  algcvga  12244  lcmgcdnn  12275  hashgcdlem  12431  odzdvds  12439  pcfaclem  12543  znnen  12640  logbgcd1irr  15287  lgsdinn0  15373