Theorem nn0ge0 9293

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9270	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9016	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9034	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8045	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8133	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9098	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4038	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897  0cc0 7898   < clt 8080   ≤ cle 8081  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-inn 9010  df-n0 9269

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9294  nn0ge0i  9295  nn0le0eq0  9296  nn0p1gt0  9297  0mnnnnn0  9300  nn0addge1  9314  nn0addge2  9315  nn0ge0d  9324  elnn0z  9358  nn0negleid  9413  nn0lt10b  9425  nn0ge0div  9432  nn0pnfge0  9885  xnn0xadd0  9961  0elfz  10212  fz0fzelfz0  10221  fz0fzdiffz0  10224  fzctr  10227  difelfzle  10228  elfzodifsumelfzo  10296  fvinim0ffz  10336  subfzo0  10337  adddivflid  10401  modqmuladdnn0  10479  modfzo0difsn  10506  uzennn  10547  bernneq  10771  bernneq3  10773  zzlesq  10819  faclbnd  10852  faclbnd6  10855  facubnd  10856  bcval5  10874  fihashneq0  10905  nn0maxcl  11409  dvdseq  12032  evennn02n  12066  nn0ehalf  12087  nn0oddm1d2  12093  bitsinv1  12146  gcdn0gt0  12172  nn0gcdid0  12175  absmulgcd  12211  algcvgblem  12244  algcvga  12246  lcmgcdnn  12277  hashgcdlem  12433  odzdvds  12441  pcfaclem  12545  znnen  12642  logbgcd1irr  15311  lgsdinn0  15397