Theorem nn0ge0 9427

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9404	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9150	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9168	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8179	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8267	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9232	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4092	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 723	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  0cc0 8032   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9428  nn0ge0i  9429  nn0le0eq0  9430  nn0p1gt0  9431  0mnnnnn0  9434  nn0addge1  9448  nn0addge2  9449  nn0ge0d  9458  elnn0z  9492  nn0negleid  9548  nn0lt10b  9560  nn0ge0div  9567  nn0pnfge0  10026  xnn0xadd0  10102  0elfz  10353  fz0fzelfz0  10362  fz0fzdiffz0  10365  fzctr  10368  difelfzle  10369  fzoun  10418  nn0p1elfzo  10422  elfzodifsumelfzo  10447  fvinim0ffz  10488  subfzo0  10489  adddivflid  10553  modqmuladdnn0  10631  modfzo0difsn  10658  uzennn  10699  bernneq  10923  bernneq3  10925  zzlesq  10971  faclbnd  11004  faclbnd6  11007  facubnd  11008  bcval5  11026  fihashneq0  11057  ccat0  11177  ccat2s1fvwd  11228  nn0maxcl  11803  dvdseq  12427  evennn02n  12461  nn0ehalf  12482  nn0oddm1d2  12488  bitsinv1  12541  gcdn0gt0  12567  nn0gcdid0  12570  absmulgcd  12606  algcvgblem  12639  algcvga  12641  lcmgcdnn  12672  hashgcdlem  12828  odzdvds  12836  pcfaclem  12940  znnen  13037  logbgcd1irr  15710  lgsdinn0  15796