Theorem nn0ge0 9588

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9565	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9311	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9329	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8326	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8413	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9393	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4134	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  nn0nlt0  9589  nn0ge0i  9590  nn0le0eq0  9591  nn0p1gt0  9592  0mnnnnn0  9595  nn0addge1  9609  nn0addge2  9610  nn0ge0d  9623  elnn0z  9657  nn0negleid  9713  nn0lt10b  9726  nn0ge0div  9733  nn0pnfge0  10193  xnn0xadd0  10269  0elfz  10525  fz0fzelfz0  10534  fz0fzdiffz0  10537  fzctr  10540  difelfzle  10541  fzoun  10590  nn0p1elfzo  10594  elfzodifsumelfzo  10619  fvinim0ffz  10660  subfzo0  10661  adddivflid  10727  modqmuladdnn0  10805  modfzo0difsn  10832  uzennn  10873  bernneq  11098  bernneq3  11100  zzlesq  11146  faclbnd  11179  faclbnd6  11182  facubnd  11183  bcval5  11201  fihashneq0  11233  ccat0  11364  ccat2s1fvwd  11415  nn0maxcl  11991  dvdseq  12615  evennn02n  12649  nn0ehalf  12670  nn0oddm1d2  12676  bitsinv1  12729  gcdn0gt0  12755  nn0gcdid0  12758  absmulgcd  12794  algcvgblem  12827  algcvga  12829  lcmgcdnn  12860  hashgcdlem  13016  odzdvds  13024  pcfaclem  13128  znnen  13289  logbgcd1irr  16069  log2tlbndlog2  16082  lgsdinn0  16167