Theorem nn0ge0 9426

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9403	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9149	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8266	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9231	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4092	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 723	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030  0cc0 8031   < clt 8213   ≤ cle 8214  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-inn 9143  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9427  nn0ge0i  9428  nn0le0eq0  9429  nn0p1gt0  9430  0mnnnnn0  9433  nn0addge1  9447  nn0addge2  9448  nn0ge0d  9457  elnn0z  9491  nn0negleid  9547  nn0lt10b  9559  nn0ge0div  9566  nn0pnfge0  10025  xnn0xadd0  10101  0elfz  10352  fz0fzelfz0  10361  fz0fzdiffz0  10364  fzctr  10367  difelfzle  10368  fzoun  10417  elfzodifsumelfzo  10445  fvinim0ffz  10486  subfzo0  10487  adddivflid  10551  modqmuladdnn0  10629  modfzo0difsn  10656  uzennn  10697  bernneq  10921  bernneq3  10923  zzlesq  10969  faclbnd  11002  faclbnd6  11005  facubnd  11006  bcval5  11024  fihashneq0  11055  ccat0  11172  ccat2s1fvwd  11223  nn0maxcl  11785  dvdseq  12408  evennn02n  12442  nn0ehalf  12463  nn0oddm1d2  12469  bitsinv1  12522  gcdn0gt0  12548  nn0gcdid0  12551  absmulgcd  12587  algcvgblem  12620  algcvga  12622  lcmgcdnn  12653  hashgcdlem  12809  odzdvds  12817  pcfaclem  12921  znnen  13018  logbgcd1irr  15690  lgsdinn0  15776