Theorem nn0ge0 9599

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9576	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9320	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9338	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8332	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8419	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9402	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4135	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  nn0nlt0  9600  nn0ge0i  9601  nn0le0eq0  9602  nn0p1gt0  9603  0mnnnnn0  9606  nn0addge1  9620  nn0addge2  9621  nn0ge0d  9634  elnn0z  9668  nn0negleid  9724  nn0lt10b  9737  nn0ge0div  9744  nn0pnfge0  10210  xnn0xadd0  10286  0elfz  10542  fz0fzelfz0  10551  fz0fzdiffz0  10554  fzctr  10557  difelfzle  10558  fzoun  10607  nn0p1elfzo  10611  elfzodifsumelfzo  10636  fvinim0ffz  10677  subfzo0  10678  adddivflid  10748  modqmuladdnn0  10826  modfzo0difsn  10853  uzennn  10894  bernneq  11119  bernneq3  11121  zzlesq  11167  nn0sqdc  11168  faclbnd  11201  faclbnd6  11204  facubnd  11205  bcval5  11223  fihashneq0  11255  ccat0  11386  ccat2s1fvwd  11437  nn0maxcl  12014  dvdseq  12640  evennn02n  12674  nn0ehalf  12695  nn0oddm1d2  12701  bitsinv1  12754  gcdn0gt0  12780  nn0gcdid0  12783  absmulgcd  12819  algcvgblem  12852  algcvga  12854  lcmgcdnn  12885  sqrtrirr  13014  hashgcdlem  13045  odzdvds  13053  pcfaclem  13157  znnen  13347  logbgcd1irr  16203  log2tlbndlog2  16220  bcmono  16304  lgsdinn0  16372