Theorem nn0ge0 9160

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9137	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8885	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 8903	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 7920	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8007	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 422	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 8967	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 3993	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 120	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9161  nn0ge0i  9162  nn0le0eq0  9163  nn0p1gt0  9164  0mnnnnn0  9167  nn0addge1  9181  nn0addge2  9182  nn0ge0d  9191  elnn0z  9225  nn0negleid  9280  nn0lt10b  9292  nn0ge0div  9299  nn0pnfge0  9748  xnn0xadd0  9824  0elfz  10074  fz0fzelfz0  10083  fz0fzdiffz0  10086  fzctr  10089  difelfzle  10090  elfzodifsumelfzo  10157  fvinim0ffz  10197  subfzo0  10198  adddivflid  10248  modqmuladdnn0  10324  modfzo0difsn  10351  uzennn  10392  bernneq  10596  bernneq3  10598  faclbnd  10675  faclbnd6  10678  facubnd  10679  bcval5  10697  fihashneq0  10729  dvdseq  11808  evennn02n  11841  nn0ehalf  11862  nn0oddm1d2  11868  gcdn0gt0  11933  nn0gcdid0  11936  absmulgcd  11972  algcvgblem  12003  algcvga  12005  lcmgcdnn  12036  hashgcdlem  12192  odzdvds  12199  pcfaclem  12301  znnen  12353  logbgcd1irr  13679  lgsdinn0  13743