Theorem nn0ge0 9521

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9498	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9244	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9262	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8274	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8361	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9326	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4113	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ℝcr 8126  0cc0 8127   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9522  nn0ge0i  9523  nn0le0eq0  9524  nn0p1gt0  9525  0mnnnnn0  9528  nn0addge1  9542  nn0addge2  9543  nn0ge0d  9556  elnn0z  9590  nn0negleid  9646  nn0lt10b  9658  nn0ge0div  9665  nn0pnfge0  10124  xnn0xadd0  10200  0elfz  10452  fz0fzelfz0  10461  fz0fzdiffz0  10464  fzctr  10467  difelfzle  10468  fzoun  10517  nn0p1elfzo  10521  elfzodifsumelfzo  10546  fvinim0ffz  10587  subfzo0  10588  adddivflid  10652  modqmuladdnn0  10730  modfzo0difsn  10757  uzennn  10798  bernneq  11022  bernneq3  11024  zzlesq  11070  faclbnd  11103  faclbnd6  11106  facubnd  11107  bcval5  11125  fihashneq0  11157  ccat0  11284  ccat2s1fvwd  11335  nn0maxcl  11910  dvdseq  12534  evennn02n  12568  nn0ehalf  12589  nn0oddm1d2  12595  bitsinv1  12648  gcdn0gt0  12674  nn0gcdid0  12677  absmulgcd  12713  algcvgblem  12746  algcvga  12748  lcmgcdnn  12779  hashgcdlem  12935  odzdvds  12943  pcfaclem  13047  znnen  13149  logbgcd1irr  15832  lgsdinn0  15921