Theorem nn0ge0 9201

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9178	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8926	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 8944	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 7957	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8045	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9008	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4008	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 716	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810  0cc0 7811   < clt 7992   ≤ cle 7993  ℕcn 8919  ℕ₀cn0 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-inn 8920  df-n0 9177

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9202  nn0ge0i  9203  nn0le0eq0  9204  nn0p1gt0  9205  0mnnnnn0  9208  nn0addge1  9222  nn0addge2  9223  nn0ge0d  9232  elnn0z  9266  nn0negleid  9321  nn0lt10b  9333  nn0ge0div  9340  nn0pnfge0  9791  xnn0xadd0  9867  0elfz  10118  fz0fzelfz0  10127  fz0fzdiffz0  10130  fzctr  10133  difelfzle  10134  elfzodifsumelfzo  10201  fvinim0ffz  10241  subfzo0  10242  adddivflid  10292  modqmuladdnn0  10368  modfzo0difsn  10395  uzennn  10436  bernneq  10641  bernneq3  10643  faclbnd  10721  faclbnd6  10724  facubnd  10725  bcval5  10743  fihashneq0  10774  dvdseq  11854  evennn02n  11887  nn0ehalf  11908  nn0oddm1d2  11914  gcdn0gt0  11979  nn0gcdid0  11982  absmulgcd  12018  algcvgblem  12049  algcvga  12051  lcmgcdnn  12082  hashgcdlem  12238  odzdvds  12245  pcfaclem  12347  znnen  12399  logbgcd1irr  14388  lgsdinn0  14452