Theorem nn0ge0 9469

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9446	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9192	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9210	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8222	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8309	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9274	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4097	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-inn 9186  df-n0 9445

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9470  nn0ge0i  9471  nn0le0eq0  9472  nn0p1gt0  9473  0mnnnnn0  9476  nn0addge1  9490  nn0addge2  9491  nn0ge0d  9502  elnn0z  9536  nn0negleid  9592  nn0lt10b  9604  nn0ge0div  9611  nn0pnfge0  10070  xnn0xadd0  10146  0elfz  10398  fz0fzelfz0  10407  fz0fzdiffz0  10410  fzctr  10413  difelfzle  10414  fzoun  10463  nn0p1elfzo  10467  elfzodifsumelfzo  10492  fvinim0ffz  10533  subfzo0  10534  adddivflid  10598  modqmuladdnn0  10676  modfzo0difsn  10703  uzennn  10744  bernneq  10968  bernneq3  10970  zzlesq  11016  faclbnd  11049  faclbnd6  11052  facubnd  11053  bcval5  11071  fihashneq0  11102  ccat0  11222  ccat2s1fvwd  11273  nn0maxcl  11848  dvdseq  12472  evennn02n  12506  nn0ehalf  12527  nn0oddm1d2  12533  bitsinv1  12586  gcdn0gt0  12612  nn0gcdid0  12615  absmulgcd  12651  algcvgblem  12684  algcvga  12686  lcmgcdnn  12717  hashgcdlem  12873  odzdvds  12881  pcfaclem  12985  znnen  13082  logbgcd1irr  15761  lgsdinn0  15850