Theorem nn0ge0 9567

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9544	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9290	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9308	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8316	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8403	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9372	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4129	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168  0cc0 8169   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9568  nn0ge0i  9569  nn0le0eq0  9570  nn0p1gt0  9571  0mnnnnn0  9574  nn0addge1  9588  nn0addge2  9589  nn0ge0d  9602  elnn0z  9636  nn0negleid  9692  nn0lt10b  9705  nn0ge0div  9712  nn0pnfge0  10172  xnn0xadd0  10248  0elfz  10503  fz0fzelfz0  10512  fz0fzdiffz0  10515  fzctr  10518  difelfzle  10519  fzoun  10568  nn0p1elfzo  10572  elfzodifsumelfzo  10597  fvinim0ffz  10638  subfzo0  10639  adddivflid  10705  modqmuladdnn0  10783  modfzo0difsn  10810  uzennn  10851  bernneq  11076  bernneq3  11078  zzlesq  11124  faclbnd  11157  faclbnd6  11160  facubnd  11161  bcval5  11179  fihashneq0  11211  ccat0  11342  ccat2s1fvwd  11393  nn0maxcl  11969  dvdseq  12593  evennn02n  12627  nn0ehalf  12648  nn0oddm1d2  12654  bitsinv1  12707  gcdn0gt0  12733  nn0gcdid0  12736  absmulgcd  12772  algcvgblem  12805  algcvga  12807  lcmgcdnn  12838  hashgcdlem  12994  odzdvds  13002  pcfaclem  13106  znnen  13267  logbgcd1irr  15992  lgsdinn0  16081