Theorem nn0ge0 9135

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9112	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 8860	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 8878	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 7895	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 7982	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 8942	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 3985	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 706	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 120	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ℝcr 7748  0cc0 7749   < clt 7929   ≤ cle 7930  ℕcn 8853  ℕ₀cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-inn 8854  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9136  nn0ge0i  9137  nn0le0eq0  9138  nn0p1gt0  9139  0mnnnnn0  9142  nn0addge1  9156  nn0addge2  9157  nn0ge0d  9166  elnn0z  9200  nn0negleid  9255  nn0lt10b  9267  nn0ge0div  9274  nn0pnfge0  9723  xnn0xadd0  9799  0elfz  10049  fz0fzelfz0  10058  fz0fzdiffz0  10061  fzctr  10064  difelfzle  10065  elfzodifsumelfzo  10132  fvinim0ffz  10172  subfzo0  10173  adddivflid  10223  modqmuladdnn0  10299  modfzo0difsn  10326  uzennn  10367  bernneq  10571  bernneq3  10573  faclbnd  10650  faclbnd6  10653  facubnd  10654  bcval5  10672  fihashneq0  10704  dvdseq  11782  evennn02n  11815  nn0ehalf  11836  nn0oddm1d2  11842  gcdn0gt0  11907  nn0gcdid0  11910  absmulgcd  11946  algcvgblem  11977  algcvga  11979  lcmgcdnn  12010  hashgcdlem  12166  odzdvds  12173  pcfaclem  12275  znnen  12327  logbgcd1irr  13485  lgsdinn0  13549