Theorem nn0ge0 9335

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9312	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9058	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9076	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8087	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8175	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9140	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4054	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 718	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  ℝcr 7939  0cc0 7940   < clt 8122   ≤ cle 8123  ℕcn 9051  ℕ₀cn0 9310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-xp 4688  df-cnv 4690  df-iota 5240  df-fv 5287  df-ov 5959  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-inn 9052  df-n0 9311

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9336  nn0ge0i  9337  nn0le0eq0  9338  nn0p1gt0  9339  0mnnnnn0  9342  nn0addge1  9356  nn0addge2  9357  nn0ge0d  9366  elnn0z  9400  nn0negleid  9456  nn0lt10b  9468  nn0ge0div  9475  nn0pnfge0  9928  xnn0xadd0  10004  0elfz  10255  fz0fzelfz0  10264  fz0fzdiffz0  10267  fzctr  10270  difelfzle  10271  fzoun  10320  elfzodifsumelfzo  10347  fvinim0ffz  10387  subfzo0  10388  adddivflid  10452  modqmuladdnn0  10530  modfzo0difsn  10557  uzennn  10598  bernneq  10822  bernneq3  10824  zzlesq  10870  faclbnd  10903  faclbnd6  10906  facubnd  10907  bcval5  10925  fihashneq0  10956  ccat0  11070  nn0maxcl  11606  dvdseq  12229  evennn02n  12263  nn0ehalf  12284  nn0oddm1d2  12290  bitsinv1  12343  gcdn0gt0  12369  nn0gcdid0  12372  absmulgcd  12408  algcvgblem  12441  algcvga  12443  lcmgcdnn  12474  hashgcdlem  12630  odzdvds  12638  pcfaclem  12742  znnen  12839  logbgcd1irr  15509  lgsdinn0  15595