Theorem nn0ge0 9593

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9570	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnre 9314	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nngt0 9332	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4		0re 8327	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ltle 8414	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8		0le0 9396	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
9		breq2 4134	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
11	7, 10	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179  0cc0 8180   < clt 8361   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-inn 9308  df-n0 9569

This theorem is used by:  nn0nlt0  9594  nn0ge0i  9595  nn0le0eq0  9596  nn0p1gt0  9597  0mnnnnn0  9600  nn0addge1  9614  nn0addge2  9615  nn0ge0d  9628  elnn0z  9662  nn0negleid  9718  nn0lt10b  9731  nn0ge0div  9738  nn0pnfge0  10204  xnn0xadd0  10280  0elfz  10536  fz0fzelfz0  10545  fz0fzdiffz0  10548  fzctr  10551  difelfzle  10552  fzoun  10601  nn0p1elfzo  10605  elfzodifsumelfzo  10630  fvinim0ffz  10671  subfzo0  10672  adddivflid  10742  modqmuladdnn0  10820  modfzo0difsn  10847  uzennn  10888  bernneq  11113  bernneq3  11115  zzlesq  11161  nn0sqdc  11162  faclbnd  11195  faclbnd6  11198  facubnd  11199  bcval5  11217  fihashneq0  11249  ccat0  11380  ccat2s1fvwd  11431  nn0maxcl  12008  dvdseq  12634  evennn02n  12668  nn0ehalf  12689  nn0oddm1d2  12695  bitsinv1  12748  gcdn0gt0  12774  nn0gcdid0  12777  absmulgcd  12813  algcvgblem  12846  algcvga  12848  lcmgcdnn  12879  sqrtrirr  13008  hashgcdlem  13039  odzdvds  13047  pcfaclem  13151  znnen  13341  logbgcd1irr  16164  log2tlbndlog2  16181  bcmono  16265  lgsdinn0  16333