ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 GIF version

Theorem nn0ge0 8634
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 8611 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnre 8367 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 nngt0 8385 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4 0re 7435 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 ltle 7519 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
64, 5mpan 415 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
72, 3, 6sylc 61 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8 0le0 8449 . . . 4 0 ≤ 0
9 breq2 3826 . . . 4 (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
108, 9mpbiri 166 . . 3 (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
117, 10jaoi 669 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
121, 11sylbi 119 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3822  cr 7296  0cc0 7297   < clt 7469  cle 7470  cn 8360  0cn0 8609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-cnv 4421  df-iota 4948  df-fv 4991  df-ov 5618  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-inn 8361  df-n0 8610
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  8635  nn0ge0i  8636  nn0le0eq0  8637  nn0p1gt0  8638  0mnnnnn0  8641  nn0addge1  8655  nn0addge2  8656  nn0ge0d  8665  elnn0z  8699  nn0lt10b  8763  nn0ge0div  8769  nn0pnfge0  9196  0elfz  9463  fz0fzelfz0  9469  fz0fzdiffz0  9472  fzctr  9475  difelfzle  9476  elfzodifsumelfzo  9543  fvinim0ffz  9583  subfzo0  9584  adddivflid  9630  modqmuladdnn0  9706  modfzo0difsn  9733  bernneq  9992  bernneq3  9994  faclbnd  10067  faclbnd6  10070  facubnd  10071  ibcval5  10089  fihashneq0  10121  dvdseq  10774  evennn02n  10807  nn0ehalf  10828  nn0oddm1d2  10834  gcdn0gt0  10894  nn0gcdid0  10897  absmulgcd  10931  algcvgblem  10956  ialgcvga  10958  lcmgcdnn  10989  hashgcdlem  11128  znnen  11136
  Copyright terms: Public domain W3C validator