Theorem opeq12 3859

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3857	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3858	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2282	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ⟨cop 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675

This theorem is referenced by:  opeq12i  3862  opeq12d  3865  cbvopab  4155  opth  4323  copsex2t  4331  copsex2g  4332  relop  4872  funopg  5352  fsn  5809  fnressn  5829  cbvoprab12  6084  eqopi  6324  f1o2ndf1  6380  tposoprab  6432  brecop  6780  th3q  6795  ecovcom  6797  ecovicom  6798  ecovass  6799  ecoviass  6800  ecovdi  6801  ecovidi  6802  xpf1o  7013  1qec  7586  enq0sym  7630  addnq0mo  7645  mulnq0mo  7646  addnnnq0  7647  mulnnnq0  7648  distrnq0  7657  mulcomnq0  7658  addassnq0  7660  addsrmo  7941  mulsrmo  7942  addsrpr  7943  mulsrpr  7944  axcnre  8079  fsumcnv  11963  fprodcnv  12151  eucalgval2  12590