Theorem opeq12 3885

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3883	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3884	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2285	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ⟨cop 3692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698

This theorem is referenced by:  opeq12i  3888  opeq12d  3891  cbvopab  4181  opth  4353  copsex2t  4361  copsex2g  4362  relop  4905  funopg  5386  fsn  5849  fnressn  5870  cbvoprab12  6127  eqopi  6366  f1o2ndf1  6424  tposoprab  6511  brecop  6859  th3q  6874  ecovcom  6876  ecovicom  6877  ecovass  6878  ecoviass  6879  ecovdi  6880  ecovidi  6881  xpf1o  7097  1qec  7703  enq0sym  7747  addnq0mo  7762  mulnq0mo  7763  addnnnq0  7764  mulnnnq0  7765  distrnq0  7774  mulcomnq0  7775  addassnq0  7777  addsrmo  8058  mulsrmo  8059  addsrpr  8060  mulsrpr  8061  axcnre  8196  fsumcnv  12123  fprodcnv  12311  eucalgval2  12750