Theorem opeq12 3901

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3899	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3900	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2291	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⟨cop 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714

This theorem is referenced by:  opeq12i  3904  opeq12d  3907  cbvopab  4197  opth  4372  copsex2t  4380  copsex2g  4381  relop  4925  funopg  5406  fsn  5871  fnressn  5892  cbvoprab12  6152  eqopi  6396  f1o2ndf1  6454  tposoprab  6541  brecop  6889  th3q  6904  ecovcom  6906  ecovicom  6907  ecovass  6908  ecoviass  6909  ecovdi  6910  ecovidi  6911  xpf1o  7134  1qec  7745  enq0sym  7789  addnq0mo  7804  mulnq0mo  7805  addnnnq0  7806  mulnnnq0  7807  distrnq0  7816  mulcomnq0  7817  addassnq0  7819  addsrmo  8100  mulsrmo  8101  addsrpr  8102  mulsrpr  8103  axcnre  8238  fsumcnv  12182  fprodcnv  12370  eucalgval2  12809