Theorem opeq12 3864

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3862	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3863	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2284	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  ⟨cop 3672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678

This theorem is referenced by:  opeq12i  3867  opeq12d  3870  cbvopab  4160  opth  4329  copsex2t  4337  copsex2g  4338  relop  4880  funopg  5360  fsn  5819  fnressn  5840  cbvoprab12  6095  eqopi  6335  f1o2ndf1  6393  tposoprab  6446  brecop  6794  th3q  6809  ecovcom  6811  ecovicom  6812  ecovass  6813  ecoviass  6814  ecovdi  6815  ecovidi  6816  xpf1o  7030  1qec  7608  enq0sym  7652  addnq0mo  7667  mulnq0mo  7668  addnnnq0  7669  mulnnnq0  7670  distrnq0  7679  mulcomnq0  7680  addassnq0  7682  addsrmo  7963  mulsrmo  7964  addsrpr  7965  mulsrpr  7966  axcnre  8101  fsumcnv  12016  fprodcnv  12204  eucalgval2  12643