Theorem opeq12 3715

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3713	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3714	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2193	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332  ⟨cop 3535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541

This theorem is referenced by:  opeq12i  3718  opeq12d  3721  cbvopab  4007  opth  4167  copsex2t  4175  copsex2g  4176  relop  4697  funopg  5165  fsn  5600  fnressn  5614  cbvoprab12  5853  eqopi  6078  f1o2ndf1  6133  tposoprab  6185  brecop  6527  th3q  6542  ecovcom  6544  ecovicom  6545  ecovass  6546  ecoviass  6547  ecovdi  6548  ecovidi  6549  xpf1o  6746  1qec  7220  enq0sym  7264  addnq0mo  7279  mulnq0mo  7280  addnnnq0  7281  mulnnnq0  7282  distrnq0  7291  mulcomnq0  7292  addassnq0  7294  addsrmo  7575  mulsrmo  7576  addsrpr  7577  mulsrpr  7578  axcnre  7713  fsumcnv  11238  eucalgval2  11770