Theorem opeq12 3760

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3758	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3759	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2219	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343  ⟨cop 3579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585

This theorem is referenced by:  opeq12i  3763  opeq12d  3766  cbvopab  4053  opth  4215  copsex2t  4223  copsex2g  4224  relop  4754  funopg  5222  fsn  5657  fnressn  5671  cbvoprab12  5916  eqopi  6140  f1o2ndf1  6196  tposoprab  6248  brecop  6591  th3q  6606  ecovcom  6608  ecovicom  6609  ecovass  6610  ecoviass  6611  ecovdi  6612  ecovidi  6613  xpf1o  6810  1qec  7329  enq0sym  7373  addnq0mo  7388  mulnq0mo  7389  addnnnq0  7390  mulnnnq0  7391  distrnq0  7400  mulcomnq0  7401  addassnq0  7403  addsrmo  7684  mulsrmo  7685  addsrpr  7686  mulsrpr  7687  axcnre  7822  fsumcnv  11378  fprodcnv  11566  eucalgval2  11985