Theorem opeq12 3811

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3809	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3810	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2249	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ⟨cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  opeq12i  3814  opeq12d  3817  cbvopab  4105  opth  4271  copsex2t  4279  copsex2g  4280  relop  4817  funopg  5293  fsn  5737  fnressn  5751  cbvoprab12  6000  eqopi  6239  f1o2ndf1  6295  tposoprab  6347  brecop  6693  th3q  6708  ecovcom  6710  ecovicom  6711  ecovass  6712  ecoviass  6713  ecovdi  6714  ecovidi  6715  xpf1o  6914  1qec  7474  enq0sym  7518  addnq0mo  7533  mulnq0mo  7534  addnnnq0  7535  mulnnnq0  7536  distrnq0  7545  mulcomnq0  7546  addassnq0  7548  addsrmo  7829  mulsrmo  7830  addsrpr  7831  mulsrpr  7832  axcnre  7967  fsumcnv  11621  fprodcnv  11809  eucalgval2  12248