Theorem opeq12 3890

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3888	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3889	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2287	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ⟨cop 3697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703

This theorem is referenced by:  opeq12i  3893  opeq12d  3896  cbvopab  4186  opth  4358  copsex2t  4366  copsex2g  4367  relop  4910  funopg  5391  fsn  5854  fnressn  5875  cbvoprab12  6135  eqopi  6379  f1o2ndf1  6437  tposoprab  6524  brecop  6872  th3q  6887  ecovcom  6889  ecovicom  6890  ecovass  6891  ecoviass  6892  ecovdi  6893  ecovidi  6894  xpf1o  7110  1qec  7719  enq0sym  7763  addnq0mo  7778  mulnq0mo  7779  addnnnq0  7780  mulnnnq0  7781  distrnq0  7790  mulcomnq0  7791  addassnq0  7793  addsrmo  8074  mulsrmo  8075  addsrpr  8076  mulsrpr  8077  axcnre  8212  fsumcnv  12148  fprodcnv  12336  eucalgval2  12775