Theorem opeq12 3906

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3904	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3905	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2291	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  opeq12i  3909  opeq12d  3912  cbvopab  4203  opth  4379  copsex2t  4387  copsex2g  4388  relop  4932  funopg  5414  fsn  5883  fnressn  5904  cbvoprab12  6165  eqopi  6410  f1o2ndf1  6468  tposoprab  6556  brecop  6904  th3q  6919  ecovcom  6921  ecovicom  6922  ecovass  6923  ecoviass  6924  ecovdi  6925  ecovidi  6926  xpf1o  7150  1qec  7761  enq0sym  7805  addnq0mo  7820  mulnq0mo  7821  addnnnq0  7822  mulnnnq0  7823  distrnq0  7832  mulcomnq0  7833  addassnq0  7835  addsrmo  8116  mulsrmo  8117  addsrpr  8118  mulsrpr  8119  axcnre  8254  fsumcnv  12228  fprodcnv  12416  eucalgval2  12855