Theorem opeq12 3887

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3885	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3886	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2287	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ⟨cop 3694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3217  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700

This theorem is referenced by:  opeq12i  3890  opeq12d  3893  cbvopab  4183  opth  4355  copsex2t  4363  copsex2g  4364  relop  4907  funopg  5388  fsn  5851  fnressn  5872  cbvoprab12  6129  eqopi  6368  f1o2ndf1  6426  tposoprab  6513  brecop  6861  th3q  6876  ecovcom  6878  ecovicom  6879  ecovass  6880  ecoviass  6881  ecovdi  6882  ecovidi  6883  xpf1o  7099  1qec  7705  enq0sym  7749  addnq0mo  7764  mulnq0mo  7765  addnnnq0  7766  mulnnnq0  7767  distrnq0  7776  mulcomnq0  7777  addassnq0  7779  addsrmo  8060  mulsrmo  8061  addsrpr  8062  mulsrpr  8063  axcnre  8198  fsumcnv  12127  fprodcnv  12315  eucalgval2  12754