Theorem opeq12 3869

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3867	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3868	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2284	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ⟨cop 3676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682

This theorem is referenced by:  opeq12i  3872  opeq12d  3875  cbvopab  4165  opth  4335  copsex2t  4343  copsex2g  4344  relop  4886  funopg  5367  fsn  5827  fnressn  5848  cbvoprab12  6105  eqopi  6344  f1o2ndf1  6402  tposoprab  6489  brecop  6837  th3q  6852  ecovcom  6854  ecovicom  6855  ecovass  6856  ecoviass  6857  ecovdi  6858  ecovidi  6859  xpf1o  7073  1qec  7651  enq0sym  7695  addnq0mo  7710  mulnq0mo  7711  addnnnq0  7712  mulnnnq0  7713  distrnq0  7722  mulcomnq0  7723  addassnq0  7725  addsrmo  8006  mulsrmo  8007  addsrpr  8008  mulsrpr  8009  axcnre  8144  fsumcnv  12061  fprodcnv  12249  eucalgval2  12688