Theorem eqeltrdi 2295

Description: A membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqeltrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqeltrdi.2	⊢ 𝐵 ∈ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqeltrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem eqeltrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeltrdi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eqeltrdi.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐶
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
4	1, 3	eqeltrd 2281	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1469  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-ial 1556  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2197  df-clel 2200

This theorem is referenced by:  eqeltrrdi  2296  snexprc  4229  onsucelsucexmidlem  4576  dcextest  4628  nnpredcl  4670  ovprc  5979  nnmcl  6566  xpsnen  6915  pw1fin  7006  xpfi  7028  snexxph  7051  ctssdclemn0  7211  nninfisollemne  7232  nninfisol  7234  exmidonfinlem  7300  pw1on  7337  indpi  7454  nq0m0r  7568  genpelxp  7623  un0mulcl  9328  znegcl  9402  zeo  9477  eqreznegel  9734  xnegcl  9953  modqid0  10493  q2txmodxeq0  10527  ser0  10676  expcllem  10693  m1expcl2  10704  nn0ltexp2  10852  bcval  10892  bccl  10910  hashinfom  10921  resqrexlemlo  11266  iserge0  11596  sumrbdclem  11630  fsum3cvg  11631  summodclem3  11633  summodclem2a  11634  fisumss  11645  binom  11737  bcxmas  11742  prodf1  11795  prodrbdclem  11824  fproddccvg  11825  prodmodclem2a  11829  fprodntrivap  11837  prodssdc  11842  fprodssdc  11843  gcdval  12222  gcdcl  12229  lcmcl  12336  pcxnn0cl  12575  pcxcl  12576  pcmptcl  12607  infpnlem2  12625  zgz  12638  4sqlem19  12674  znf1o  14355  ssblps  14839  ssbl  14840  xmeter  14850  blssioo  14967  elply  15148  plycj  15175  1sgmprm  15408  lgslem4  15422  lgsne0  15457  2sqlem9  15543  2sqlem10  15544  bj-charfun  15676  012of  15863  2o01f  15864  nninfsellemeqinf  15886  nninffeq  15890  trilpolemclim  15908  iswomni0  15923