ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restid2 GIF version

Theorem restid2 12859
Description: The subspace topology over a subset of the base set is the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restid2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = 𝐽)

Proof of Theorem restid2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4209 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 276 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 simpr 110 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
42, 3ssexd 4169 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
5 simpl 109 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴𝑉)
6 restval 12856 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
74, 5, 6syl2anc 411 . 2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
83sselda 3179 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
98elpwid 3612 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐴)
10 df-ss 3166 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
119, 10sylib 122 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
1211mpteq2dva 4119 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐽𝑥))
13 mptresid 4996 . . . . 5 ( I ↾ 𝐽) = (𝑥𝐽𝑥)
1412, 13eqtr4di 2244 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = ( I ↾ 𝐽))
1514rneqd 4891 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = ran ( I ↾ 𝐽))
16 rnresi 5022 . . 3 ran ( I ↾ 𝐽) = 𝐽
1715, 16eqtrdi 2242 . 2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = 𝐽)
187, 17eqtrd 2226 1 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  Vcvv 2760  cin 3152  wss 3153  𝒫 cpw 3601  cmpt 4090   I cid 4319  ran crn 4660  cres 4661  (class class class)co 5918  t crest 12850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-rest 12852
This theorem is referenced by:  restid  12861  topnidg  12863
  Copyright terms: Public domain W3C validator