ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restid2 GIF version

Theorem restid2 12145
Description: The subspace topology over a subset of the base set is the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restid2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = 𝐽)

Proof of Theorem restid2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4104 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 274 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 simpr 109 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
42, 3ssexd 4068 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
5 simpl 108 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴𝑉)
6 restval 12142 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
74, 5, 6syl2anc 408 . 2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
83sselda 3097 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
98elpwid 3521 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐴)
10 df-ss 3084 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
119, 10sylib 121 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
1211mpteq2dva 4018 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐽𝑥))
13 mptresid 4873 . . . . 5 (𝑥𝐽𝑥) = ( I ↾ 𝐽)
1412, 13syl6eq 2188 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = ( I ↾ 𝐽))
1514rneqd 4768 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = ran ( I ↾ 𝐽))
16 rnresi 4896 . . 3 ran ( I ↾ 𝐽) = 𝐽
1715, 16syl6eq 2188 . 2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = 𝐽)
187, 17eqtrd 2172 1 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  cin 3070  wss 3071  𝒫 cpw 3510  cmpt 3989   I cid 4210  ran crn 4540  cres 4541  (class class class)co 5774  t crest 12136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-rest 12138
This theorem is referenced by:  restid  12147  topnidg  12149
  Copyright terms: Public domain W3C validator