Theorem restid2 13545

Description: The subspace topology over a subset of the base set is the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restid2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = 𝐽)

Proof of Theorem restid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
4	2, 3	ssexd 4255	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
5		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		restval 13542	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
8	3	sselda 3242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
9	8	elpwid 3685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10		df-ss 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
11	9, 10	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
12	11	mpteq2dva 4205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ 𝑥))
13		mptresid 5097	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐽) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ 𝑥)
14	12, 13	eqtr4di 2285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐽))
15	14	rneqd 4991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ( I ↾ 𝐽))
16		rnresi 5124	. . 3 ⊢ ran ( I ↾ 𝐽) = 𝐽
17	15, 16	eqtrdi 2283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = 𝐽)
18	7, 17	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674   ↦ cmpt 4176   I cid 4414  ran crn 4755   ↾ cres 4756  (class class class)co 6058   ↾_t crest 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-rest 13538

This theorem is referenced by:  restid  13547  topnidg  13549