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Theorem resqrexlemcalc3 10276
Description: Lemma for resqrex 10286. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5253 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5606 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32oveq1d 5606 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
4 oveq1 5598 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
54oveq2d 5607 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(1 − 1)))
65oveq2d 5607 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
73, 6breq12d 3824 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1)))))
87imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))))
9 fveq2 5253 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
109oveq1d 5606 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
1110oveq1d 5606 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
12 oveq1 5598 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1312oveq2d 5607 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑘 − 1)))
1413oveq2d 5607 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
1511, 14breq12d 3824 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))))
1615imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))))
17 fveq2 5253 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817oveq1d 5606 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1918oveq1d 5606 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴))
20 oveq1 5598 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2120oveq2d 5607 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑((𝑘 + 1) − 1)))
2221oveq2d 5607 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
2319, 22breq12d 3824 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2423imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
25 fveq2 5253 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
2625oveq1d 5606 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
2726oveq1d 5606 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴))
28 oveq1 5598 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2928oveq2d 5607 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1)))
3029oveq2d 5607 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
3127, 30breq12d 3824 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
3231imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))))
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3433renegcld 7761 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 7392 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3836, 33, 37resqrexlemf 10267 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
39 1nn 8327 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
4039a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelrnd 5380 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
4241rpred 9068 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
4342resqcld 9947 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
4433le0neg2d 7896 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
4537, 44mpbid 145 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ≤ 0)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 7937 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) + 0))
4743recnd 7419 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
4833recnd 7419 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4947, 48negsubd 7702 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
5047addid1d 7534 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + 0) = ((𝐹‘1)↑2))
5146, 49, 503brtr3d 3840 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘1)↑2))
52 1m1e0 8385 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
5352oveq2i 5602 . . . . . . 7 (4↑(1 − 1)) = (4↑0)
54 4cn 8394 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
55 exp0 9796 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ → (4↑0) = 1)
5654, 55ax-mp 7 . . . . . . 7 (4↑0) = 1
5753, 56eqtri 2103 . . . . . 6 (4↑(1 − 1)) = 1
5857oveq2i 5602 . . . . 5 (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / 1)
5947div1d 8145 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / 1) = ((𝐹‘1)↑2))
6058, 59syl5eq 2127 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = ((𝐹‘1)↑2))
6151, 60breqtrrd 3837 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
6238adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
63 peano2nn 8328 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6463adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6562, 64ffvelrnd 5380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
6665rpred 9068 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6766resqcld 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℝ)
6833adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6967, 68resubcld 7762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7069adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7138ffvelrnda 5379 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
7271rpred 9068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7372resqcld 9947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
7473, 68resubcld 7762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
75 4re 8393 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
77 4pos 8413 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 4)
7976, 78elrpd 9066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
8074, 79rerpdivcld 9100 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8180adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8243adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
83 nnz 8665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
84 peano2zm 8684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8685adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8779, 86rpexpcld 9945 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
8882, 87rerpdivcld 9100 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
8988, 79rerpdivcld 9100 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9089adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 10275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9291adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9374, 88, 79lediv1d 9115 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ↔ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4)))
9493biimpa 290 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9570, 81, 90, 92, 94letrd 7510 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9647ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
9787adantr 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 9070 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9954a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℂ)
10097rpap0d 9074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) # 0)
10179adantr 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℝ+)
102101rpap0d 9074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 # 0)
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 8185 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
104 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
105104nncnd 8330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 pncan1 7758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
108107oveq2d 5607 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
109108adantr 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
110 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
111 expm1t 9820 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
11254, 110, 111sylancr 405 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
113109, 112eqtrd 2115 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
114113oveq2d 5607 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
115103, 114eqtr4d 2118 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
11695, 115breqtrd 3835 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
117116ex 113 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
118117expcom 114 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
119118a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 8332 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
121120impcom 123 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  {csn 3422   class class class wbr 3811   × cxp 4399  wf 4965  cfv 4969  (class class class)co 5591  cmpt2 5593  cc 7251  cr 7252  0cc0 7253  1c1 7254   + caddc 7256   · cmul 7258   < clt 7425  cle 7426  cmin 7556  -cneg 7557   / cdiv 8037  cn 8316  2c2 8366  4c4 8368  cz 8646  +crp 9029  seqcseq 9740  cexp 9791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-rp 9030  df-iseq 9741  df-iexp 9792
This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  10277  resqrexlemga  10283
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