ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc3 GIF version

Theorem resqrexlemcalc3 11009
Description: Lemma for resqrex 11019. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
4 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
54oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(1 − 1)))
65oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
73, 6breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1)))))
87imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))))
9 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
109oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
1110oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
12 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1312oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑘 − 1)))
1413oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
1511, 14breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))))
17 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1918oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴))
20 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2120oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑((𝑘 + 1) − 1)))
2221oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
2319, 22breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2423imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
25 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
2625oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
2726oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴))
28 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2928oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1)))
3029oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
3127, 30breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
3231imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))))
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3433renegcld 8327 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 7949 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3836, 33, 37resqrexlemf 11000 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
39 1nn 8919 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
4039a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelcdmd 5648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
4241rpred 9683 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
4342resqcld 10665 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
4433le0neg2d 8465 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
4537, 44mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ≤ 0)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 8507 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) + 0))
4743recnd 7976 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
4833recnd 7976 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4947, 48negsubd 8264 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
5047addid1d 8096 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + 0) = ((𝐹‘1)↑2))
5146, 49, 503brtr3d 4031 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘1)↑2))
52 1m1e0 8977 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
5352oveq2i 5880 . . . . . . 7 (4↑(1 − 1)) = (4↑0)
54 4cn 8986 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
55 exp0 10510 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ → (4↑0) = 1)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7 (4↑0) = 1
5753, 56eqtri 2198 . . . . . 6 (4↑(1 − 1)) = 1
5857oveq2i 5880 . . . . 5 (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / 1)
5947div1d 8726 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / 1) = ((𝐹‘1)↑2))
6058, 59eqtrid 2222 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = ((𝐹‘1)↑2))
6151, 60breqtrrd 4028 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
6238adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
63 peano2nn 8920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6463adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6562, 64ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
6665rpred 9683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6766resqcld 10665 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℝ)
6833adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6967, 68resubcld 8328 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7069adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7138ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
7271rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7372resqcld 10665 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
7473, 68resubcld 8328 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
75 4re 8985 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
77 4pos 9005 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 4)
7976, 78elrpd 9680 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
8074, 79rerpdivcld 9715 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8180adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8243adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
83 nnz 9261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
84 peano2zm 9280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8685adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8779, 86rpexpcld 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
8882, 87rerpdivcld 9715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
8988, 79rerpdivcld 9715 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9089adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 11008 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9291adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9374, 88, 79lediv1d 9730 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ↔ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4)))
9493biimpa 296 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9570, 81, 90, 92, 94letrd 8071 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9647ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
9787adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 9685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9954a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℂ)
10097rpap0d 9689 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) # 0)
10179adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℝ+)
102101rpap0d 9689 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 # 0)
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 8768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
104 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
105104nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 pncan1 8324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
108107oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
109108adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
110 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
111 expm1t 10534 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
11254, 110, 111sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
113109, 112eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
114113oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
115103, 114eqtr4d 2213 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
11695, 115breqtrd 4026 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
117116ex 115 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
118117expcom 116 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
119118a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 8924 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
121120impcom 125 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4621  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  -cneg 8119   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  4c4 8961  cz 9242  +crp 9640  seqcseq 10431  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  11010  resqrexlemga  11016
  Copyright terms: Public domain W3C validator