Theorem resqrexlemcalc3 10958

Description: Lemma for resqrex 10968. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
2	1	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
3	2	oveq1d 5857	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
4		oveq1 5849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
5	4	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(1 − 1)))
6	5	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
7	3, 6	breq12d 3995	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1)))))
8	7	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))))
9		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
10	9	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
11	10	oveq1d 5857	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴))
12		oveq1 5849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
13	12	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑘 − 1)))
14	13	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
15	11, 14	breq12d 3995	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))))
16	15	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))))
17		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
19	18	oveq1d 5857	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴))
20		oveq1 5849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
21	20	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑((𝑘 + 1) − 1)))
22	21	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
23	19, 22	breq12d 3995	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
24	23	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
25		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
26	25	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
27	26	oveq1d 5857	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴))
28		oveq1 5849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
29	28	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1)))
30	29	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
31	27, 30	breq12d 3995	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
32	31	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))))
33		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33	renegcld 8278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
35		0red 7900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
36		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
38	36, 33, 37	resqrexlemf 10949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
39		1nn 8868	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
40	39	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
41	38, 40	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 9632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
43	42	resqcld 10614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
44	33	le0neg2d 8416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
45	37, 44	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ≤ 0)
46	34, 35, 43, 45	leadd2dd 8458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) + 0))
47	43	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
48	33	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47, 48	negsubd 8215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
50	47	addid1d 8047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + 0) = ((𝐹‘1)↑2))
51	46, 49, 50	3brtr3d 4013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘1)↑2))
52		1m1e0 8926	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
53	52	oveq2i 5853	. . . . . . 7 ⊢ (4↑(1 − 1)) = (4↑0)
54		4cn 8935	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
55		exp0 10459	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ → (4↑0) = 1)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (4↑0) = 1
57	53, 56	eqtri 2186	. . . . . 6 ⊢ (4↑(1 − 1)) = 1
58	57	oveq2i 5853	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / 1)
59	47	div1d 8676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / 1) = ((𝐹‘1)↑2))
60	58, 59	syl5eq 2211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = ((𝐹‘1)↑2))
61	51, 60	breqtrrd 4010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
62	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
63		peano2nn 8869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
64	63	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
65	62, 64	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
66	65	rpred 9632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
67	66	resqcld 10614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℝ)
68	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	67, 68	resubcld 8279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
70	69	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
71	38	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
72	71	rpred 9632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
73	72	resqcld 10614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
74	73, 68	resubcld 8279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
75		4re 8934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
76	75	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
77		4pos 8954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 4
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 4)
79	76, 78	elrpd 9629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
80	74, 79	rerpdivcld 9664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
81	80	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
82	43	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
83		nnz 9210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
84		peano2zm 9229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
86	85	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
87	79, 86	rpexpcld 10612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
88	82, 87	rerpdivcld 9664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
89	88, 79	rerpdivcld 9664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
90	89	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
91	36, 33, 37	resqrexlemcalc2 10957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
92	91	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
93	74, 88, 79	lediv1d 9679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ↔ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4)))
94	93	biimpa 294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
95	70, 81, 90, 92, 94	letrd 8022	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
96	47	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
97	87	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
98	97	rpcnd 9634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
99	54	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℂ)
100	97	rpap0d 9638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) # 0)
101	79	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℝ+)
102	101	rpap0d 9638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 # 0)
103	96, 98, 99, 100, 102	divdivap1d 8718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
104		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
105	104	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106		pncan1 8275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
108	107	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
109	108	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
110		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
111		expm1t 10483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
112	54, 110, 111	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
113	109, 112	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
114	113	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
115	103, 114	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
116	95, 115	breqtrd 4008	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
117	116	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
118	117	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
119	118	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
120	8, 16, 24, 32, 61, 119	nnind 8873	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
121	120	impcom 124	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576   class class class wbr 3982   × cxp 4602  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ∈ cmpo 5844  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  -cneg 8070   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  4c4 8910  ℤcz 9191  ℝ⁺crp 9589  seqcseq 10380  ↑cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  10959  resqrexlemga  10965