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Theorem resqrexlemcalc3 10849
 Description: Lemma for resqrex 10859. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5433 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5801 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32oveq1d 5801 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
4 oveq1 5793 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
54oveq2d 5802 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(1 − 1)))
65oveq2d 5802 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
73, 6breq12d 3952 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1)))))
87imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))))
9 fveq2 5433 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
109oveq1d 5801 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
1110oveq1d 5801 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
12 oveq1 5793 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1312oveq2d 5802 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑘 − 1)))
1413oveq2d 5802 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
1511, 14breq12d 3952 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))))
1615imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))))
17 fveq2 5433 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817oveq1d 5801 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1918oveq1d 5801 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴))
20 oveq1 5793 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2120oveq2d 5802 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑((𝑘 + 1) − 1)))
2221oveq2d 5802 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
2319, 22breq12d 3952 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2423imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
25 fveq2 5433 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
2625oveq1d 5801 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
2726oveq1d 5801 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴))
28 oveq1 5793 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2928oveq2d 5802 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1)))
3029oveq2d 5802 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
3127, 30breq12d 3952 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
3231imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))))
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3433renegcld 8195 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 7820 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3836, 33, 37resqrexlemf 10840 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
39 1nn 8784 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
4039a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelrnd 5568 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
4241rpred 9542 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
4342resqcld 10510 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
4433le0neg2d 8333 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
4537, 44mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ≤ 0)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 8375 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) + 0))
4743recnd 7847 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
4833recnd 7847 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4947, 48negsubd 8132 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
5047addid1d 7964 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + 0) = ((𝐹‘1)↑2))
5146, 49, 503brtr3d 3969 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘1)↑2))
52 1m1e0 8842 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
5352oveq2i 5797 . . . . . . 7 (4↑(1 − 1)) = (4↑0)
54 4cn 8851 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
55 exp0 10357 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ → (4↑0) = 1)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7 (4↑0) = 1
5753, 56eqtri 2162 . . . . . 6 (4↑(1 − 1)) = 1
5857oveq2i 5797 . . . . 5 (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / 1)
5947div1d 8593 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / 1) = ((𝐹‘1)↑2))
6058, 59syl5eq 2186 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = ((𝐹‘1)↑2))
6151, 60breqtrrd 3966 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
6238adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
63 peano2nn 8785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6463adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6562, 64ffvelrnd 5568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
6665rpred 9542 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6766resqcld 10510 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℝ)
6833adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6967, 68resubcld 8196 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7069adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7138ffvelrnda 5567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
7271rpred 9542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7372resqcld 10510 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
7473, 68resubcld 8196 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
75 4re 8850 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
77 4pos 8870 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 4)
7976, 78elrpd 9539 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
8074, 79rerpdivcld 9574 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8180adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8243adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
83 nnz 9126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
84 peano2zm 9145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8685adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8779, 86rpexpcld 10508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
8882, 87rerpdivcld 9574 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
8988, 79rerpdivcld 9574 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9089adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 10848 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9291adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9374, 88, 79lediv1d 9589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ↔ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4)))
9493biimpa 294 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9570, 81, 90, 92, 94letrd 7939 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9647ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
9787adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 9544 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9954a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℂ)
10097rpap0d 9548 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) # 0)
10179adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℝ+)
102101rpap0d 9548 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 # 0)
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 8635 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
104 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
105104nncnd 8787 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 pncan1 8192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
108107oveq2d 5802 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
109108adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
110 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
111 expm1t 10381 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
11254, 110, 111sylancr 411 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
113109, 112eqtrd 2174 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
114113oveq2d 5802 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
115103, 114eqtr4d 2177 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
11695, 115breqtrd 3964 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
117116ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
118117expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
119118a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 8789 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
121120impcom 124 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2112  {csn 3534   class class class wbr 3939   × cxp 4549  ⟶wf 5131  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786   ∈ cmpo 5788  ℂcc 7671  ℝcr 7672  0cc0 7673  1c1 7674   + caddc 7676   · cmul 7678   < clt 7853   ≤ cle 7854   − cmin 7986  -cneg 7987   / cdiv 8485  ℕcn 8773  2c2 8824  4c4 8826  ℤcz 9107  ℝ+crp 9499  seqcseq 10278  ↑cexp 10352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-rp 9500  df-seqfrec 10279  df-exp 10353 This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  10850  resqrexlemga  10856
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