Theorem resqrexlemcalc3 11198

Description: Lemma for resqrex 11208. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
2	1	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
3	2	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
4		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
5	4	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(1 − 1)))
6	5	oveq2d 5941	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
7	3, 6	breq12d 4047	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1)))))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))))
9		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
10	9	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
11	10	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴))
12		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
13	12	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑘 − 1)))
14	13	oveq2d 5941	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
15	11, 14	breq12d 4047	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))))
17		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
19	18	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴))
20		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
21	20	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑((𝑘 + 1) − 1)))
22	21	oveq2d 5941	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
23	19, 22	breq12d 4047	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
24	23	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
25		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
26	25	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
27	26	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴))
28		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
29	28	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1)))
30	29	oveq2d 5941	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
31	27, 30	breq12d 4047	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
32	31	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))))
33		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33	renegcld 8423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
35		0red 8044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
36		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
38	36, 33, 37	resqrexlemf 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
39		1nn 9018	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
40	39	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
41	38, 40	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 9788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
43	42	resqcld 10808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
44	33	le0neg2d 8562	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
45	37, 44	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ≤ 0)
46	34, 35, 43, 45	leadd2dd 8604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) + 0))
47	43	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
48	33	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47, 48	negsubd 8360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
50	47	addridd 8192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + 0) = ((𝐹‘1)↑2))
51	46, 49, 50	3brtr3d 4065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘1)↑2))
52		1m1e0 9076	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
53	52	oveq2i 5936	. . . . . . 7 ⊢ (4↑(1 − 1)) = (4↑0)
54		4cn 9085	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
55		exp0 10652	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ → (4↑0) = 1)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (4↑0) = 1
57	53, 56	eqtri 2217	. . . . . 6 ⊢ (4↑(1 − 1)) = 1
58	57	oveq2i 5936	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / 1)
59	47	div1d 8824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / 1) = ((𝐹‘1)↑2))
60	58, 59	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = ((𝐹‘1)↑2))
61	51, 60	breqtrrd 4062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
62	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
63		peano2nn 9019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
65	62, 64	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
66	65	rpred 9788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
67	66	resqcld 10808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℝ)
68	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	67, 68	resubcld 8424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
71	38	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
72	71	rpred 9788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
73	72	resqcld 10808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
74	73, 68	resubcld 8424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
75		4re 9084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
76	75	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
77		4pos 9104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 4
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 4)
79	76, 78	elrpd 9785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
80	74, 79	rerpdivcld 9820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
81	80	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
82	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
83		nnz 9362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
84		peano2zm 9381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
87	79, 86	rpexpcld 10806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
88	82, 87	rerpdivcld 9820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
89	88, 79	rerpdivcld 9820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
91	36, 33, 37	resqrexlemcalc2 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
93	74, 88, 79	lediv1d 9835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ↔ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4)))
94	93	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
95	70, 81, 90, 92, 94	letrd 8167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
96	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
97	87	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
98	97	rpcnd 9790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
99	54	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℂ)
100	97	rpap0d 9794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) # 0)
101	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℝ+)
102	101	rpap0d 9794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 # 0)
103	96, 98, 99, 100, 102	divdivap1d 8866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
105	104	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106		pncan1 8420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
108	107	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
110		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
111		expm1t 10676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
112	54, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
113	109, 112	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
114	113	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
115	103, 114	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
116	95, 115	breqtrd 4060	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
117	116	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
118	117	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
119	118	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
120	8, 16, 24, 32, 61, 119	nnind 9023	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
121	120	impcom 125	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623   class class class wbr 4034   × cxp 4662  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   < clt 8078   ≤ cle 8079   − cmin 8214  -cneg 8215   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  4c4 9060  ℤcz 9343  ℝ⁺crp 9745  seqcseq 10556  ↑cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  11199  resqrexlemga  11205