ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc3 GIF version

Theorem resqrexlemcalc3 11027
Description: Lemma for resqrex 11037. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜1))
21oveq1d 5892 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜1)↑2))
32oveq1d 5892 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) = (((πΉβ€˜1)↑2) βˆ’ 𝐴))
4 oveq1 5884 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 β†’ (𝑀 βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
54oveq2d 5893 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (4↑(𝑀 βˆ’ 1)) = (4↑(1 βˆ’ 1)))
65oveq2d 5893 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(1 βˆ’ 1))))
73, 6breq12d 4018 . . . 4 (𝑀 = 1 β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(1 βˆ’ 1)))))
87imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1)))) ↔ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(1 βˆ’ 1))))))
9 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘˜))
109oveq1d 5892 . . . . . 6 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))
1110oveq1d 5892 . . . . 5 (𝑀 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) = (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴))
12 oveq1 5884 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘˜ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) = (π‘˜ βˆ’ 1))
1312oveq2d 5893 . . . . . 6 (𝑀 = π‘˜ β†’ (4↑(𝑀 βˆ’ 1)) = (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
1413oveq2d 5893 . . . . 5 (𝑀 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
1511, 14breq12d 4018 . . . 4 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) ↔ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1)))) ↔ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
17 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
1817oveq1d 5892 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2))
1918oveq1d 5892 . . . . 5 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) = (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴))
20 oveq1 5884 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
2120oveq2d 5893 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (4↑(𝑀 βˆ’ 1)) = (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)))
2221oveq2d 5893 . . . . 5 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))))
2319, 22breq12d 4018 . . . 4 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) ↔ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)))))
2423imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1)))) ↔ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))))))
25 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘))
2625oveq1d 5892 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) = ((πΉβ€˜π‘)↑2))
2726oveq1d 5892 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) = (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴))
28 oveq1 5884 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑁 β†’ (𝑀 βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
2928oveq2d 5893 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 β†’ (4↑(𝑀 βˆ’ 1)) = (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))
3029oveq2d 5893 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))))
3127, 30breq12d 4018 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1))) ↔ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
3231imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘€)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑀 βˆ’ 1)))) ↔ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))))))
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3433renegcld 8339 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 7960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
3836, 33, 37resqrexlemf 11018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
39 1nn 8932 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
4039a1i 9 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
4138, 40ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ+)
4241rpred 9698 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
4342resqcld 10682 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ)
4433le0neg2d 8477 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ -𝐴 ≀ 0))
4537, 44mpbid 147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -𝐴 ≀ 0)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 8519 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + -𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + 0))
4743recnd 7988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ β„‚)
4833recnd 7988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4947, 48negsubd 8276 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + -𝐴) = (((πΉβ€˜1)↑2) βˆ’ 𝐴))
5047addid1d 8108 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + 0) = ((πΉβ€˜1)↑2))
5146, 49, 503brtr3d 4036 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((πΉβ€˜1)↑2))
52 1m1e0 8990 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 1) = 0
5352oveq2i 5888 . . . . . . 7 (4↑(1 βˆ’ 1)) = (4↑0)
54 4cn 8999 . . . . . . . 8 4 ∈ β„‚
55 exp0 10526 . . . . . . . 8 (4 ∈ β„‚ β†’ (4↑0) = 1)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7 (4↑0) = 1
5753, 56eqtri 2198 . . . . . 6 (4↑(1 βˆ’ 1)) = 1
5857oveq2i 5888 . . . . 5 (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(1 βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) / 1)
5947div1d 8739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / 1) = ((πΉβ€˜1)↑2))
6058, 59eqtrid 2222 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(1 βˆ’ 1))) = ((πΉβ€˜1)↑2))
6151, 60breqtrrd 4033 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(1 βˆ’ 1))))
6238adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
63 peano2nn 8933 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
6463adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
6562, 64ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+)
6665rpred 9698 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6766resqcld 10682 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) ∈ ℝ)
6833adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6967, 68resubcld 8340 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
7069adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
7138ffvelcdmda 5653 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
7271rpred 9698 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7372resqcld 10682 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ℝ)
7473, 68resubcld 8340 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
75 4re 8998 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 4 ∈ ℝ)
77 4pos 9018 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 < 4)
7976, 78elrpd 9695 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 4 ∈ ℝ+)
8074, 79rerpdivcld 9730 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8180adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8243adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ)
83 nnz 9274 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„€)
84 peano2zm 9293 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€)
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€)
8685adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€)
8779, 86rpexpcld 10680 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
8882, 87rerpdivcld 9730 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
8988, 79rerpdivcld 9730 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) / 4) ∈ ℝ)
9089adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) / 4) ∈ ℝ)
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 11026 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
9291adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
9374, 88, 79lediv1d 9745 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ≀ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) / 4)))
9493biimpa 296 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ≀ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) / 4))
9570, 81, 90, 92, 94letrd 8083 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) / 4))
9647ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ β„‚)
9787adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 9700 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9954a1i 9 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ 4 ∈ β„‚)
10097rpap0d 9704 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) # 0)
10179adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ 4 ∈ ℝ+)
102101rpap0d 9704 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ 4 # 0)
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 8781 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) / 4) = (((πΉβ€˜1)↑2) / ((4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· 4)))
104 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
105104nncnd 8935 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
106 pncan1 8336 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
108107oveq2d 5893 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = (4β†‘π‘˜))
109108adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = (4β†‘π‘˜))
110 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
111 expm1t 10550 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (4β†‘π‘˜) = ((4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· 4))
11254, 110, 111sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (4β†‘π‘˜) = ((4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· 4))
113109, 112eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = ((4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· 4))
114113oveq2d 5893 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) / ((4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· 4)))
115103, 114eqtr4d 2213 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) / 4) = (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))))
11695, 115breqtrd 4031 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))))
117116ex 115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)))))
118117expcom 116 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))))))
119118a2d 26 . . 3 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))))))
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 8937 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
121120impcom 125 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3594   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   Β· cmul 7818   < clt 7994   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130  -cneg 8131   / cdiv 8631  β„•cn 8921  2c2 8972  4c4 8974  β„€cz 9255  β„+crp 9655  seqcseq 10447  β†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  11028  resqrexlemga  11034
  Copyright terms: Public domain W3C validator