Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fveq2 5496 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1)) |
2 | 1 | oveq1d 5868 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2)) |
3 | 2 | oveq1d 5868 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴)) |
4 | | oveq1 5860 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1)) |
5 | 4 | oveq2d 5869 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 1 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(1
− 1))) |
6 | 5 | oveq2d 5869 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1
− 1)))) |
7 | 3, 6 | breq12d 4002 |
. . . 4
⊢ (𝑤 = 1 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 −
1))))) |
8 | 7 | imbi2d 229 |
. . 3
⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 −
1)))))) |
9 | | fveq2 5496 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘)) |
10 | 9 | oveq1d 5868 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2)) |
11 | 10 | oveq1d 5868 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴)) |
12 | | oveq1 5860 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1)) |
13 | 12 | oveq2d 5869 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑘 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑘 − 1))) |
14 | 13 | oveq2d 5869 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) /
(4↑(𝑘 −
1)))) |
15 | 11, 14 | breq12d 4002 |
. . . 4
⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))) |
16 | 15 | imbi2d 229 |
. . 3
⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 −
1)))))) |
17 | | fveq2 5496 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1))) |
18 | 17 | oveq1d 5868 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)) |
19 | 18 | oveq1d 5868 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴)) |
20 | | oveq1 5860 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1)) |
21 | 20 | oveq2d 5869 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑((𝑘 + 1) − 1))) |
22 | 21 | oveq2d 5869 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) /
(4↑((𝑘 + 1) −
1)))) |
23 | 19, 22 | breq12d 4002 |
. . . 4
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) −
1))))) |
24 | 23 | imbi2d 229 |
. . 3
⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) −
1)))))) |
25 | | fveq2 5496 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁)) |
26 | 25 | oveq1d 5868 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑤)↑2) = ((𝐹‘𝑁)↑2)) |
27 | 26 | oveq1d 5868 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) |
28 | | oveq1 5860 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1)) |
29 | 28 | oveq2d 5869 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑁 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1))) |
30 | 29 | oveq2d 5869 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) /
(4↑(𝑁 −
1)))) |
31 | 27, 30 | breq12d 4002 |
. . . 4
⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))) |
32 | 31 | imbi2d 229 |
. . 3
⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 −
1)))))) |
33 | | resqrexlemex.a |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
34 | 33 | renegcld 8299 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ) |
35 | | 0red 7921 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
36 | | resqrexlemex.seq |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+
↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})) |
37 | | resqrexlemex.agt0 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴) |
38 | 36, 33, 37 | resqrexlemf 10971 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+) |
39 | | 1nn 8889 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
ℕ |
40 | 39 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℕ) |
41 | 38, 40 | ffvelrnd 5632 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈
ℝ+) |
42 | 41 | rpred 9653 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ) |
43 | 42 | resqcld 10635 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈
ℝ) |
44 | 33 | le0neg2d 8437 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0)) |
45 | 37, 44 | mpbid 146 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -𝐴 ≤ 0) |
46 | 34, 35, 43, 45 | leadd2dd 8479 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) + 0)) |
47 | 43 | recnd 7948 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈
ℂ) |
48 | 33 | recnd 7948 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
49 | 47, 48 | negsubd 8236 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴)) |
50 | 47 | addid1d 8068 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + 0) = ((𝐹‘1)↑2)) |
51 | 46, 49, 50 | 3brtr3d 4020 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘1)↑2)) |
52 | | 1m1e0 8947 |
. . . . . . . 8
⊢ (1
− 1) = 0 |
53 | 52 | oveq2i 5864 |
. . . . . . 7
⊢
(4↑(1 − 1)) = (4↑0) |
54 | | 4cn 8956 |
. . . . . . . 8
⊢ 4 ∈
ℂ |
55 | | exp0 10480 |
. . . . . . . 8
⊢ (4 ∈
ℂ → (4↑0) = 1) |
56 | 54, 55 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢
(4↑0) = 1 |
57 | 53, 56 | eqtri 2191 |
. . . . . 6
⊢
(4↑(1 − 1)) = 1 |
58 | 57 | oveq2i 5864 |
. . . . 5
⊢ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1
− 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / 1) |
59 | 47 | div1d 8697 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / 1) = ((𝐹‘1)↑2)) |
60 | 58, 59 | eqtrid 2215 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1)))
= ((𝐹‘1)↑2)) |
61 | 51, 60 | breqtrrd 4017 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 −
1)))) |
62 | 38 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+) |
63 | | peano2nn 8890 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈
ℕ) |
64 | 63 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ) |
65 | 62, 64 | ffvelrnd 5632 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈
ℝ+) |
66 | 65 | rpred 9653 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) |
67 | 66 | resqcld 10635 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ∈
ℝ) |
68 | 33 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ) |
69 | 67, 68 | resubcld 8300 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ) |
70 | 69 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ) |
71 | 38 | ffvelrnda 5631 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈
ℝ+) |
72 | 71 | rpred 9653 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) |
73 | 72 | resqcld 10635 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ) |
74 | 73, 68 | resubcld 8300 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ) |
75 | | 4re 8955 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 4 ∈
ℝ |
76 | 75 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈
ℝ) |
77 | | 4pos 8975 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 <
4 |
78 | 77 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 <
4) |
79 | 76, 78 | elrpd 9650 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈
ℝ+) |
80 | 74, 79 | rerpdivcld 9685 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ) |
81 | 80 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ) |
82 | 43 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘1)↑2) ∈
ℝ) |
83 | | nnz 9231 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℤ) |
84 | | peano2zm 9250 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈
ℤ) |
85 | 83, 84 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈
ℤ) |
86 | 85 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ) |
87 | 79, 86 | rpexpcld 10633 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈
ℝ+) |
88 | 82, 87 | rerpdivcld 9685 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈
ℝ) |
89 | 88, 79 | rerpdivcld 9685 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈
ℝ) |
90 | 89 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) /
(4↑(𝑘 − 1))) /
4) ∈ ℝ) |
91 | 36, 33, 37 | resqrexlemcalc2 10979 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4)) |
92 | 91 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4)) |
93 | 74, 88, 79 | lediv1d 9700 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ↔ ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) /
4))) |
94 | 93 | biimpa 294 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) /
4)) |
95 | 70, 81, 90, 92, 94 | letrd 8043 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) /
4)) |
96 | 47 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((𝐹‘1)↑2) ∈
ℂ) |
97 | 87 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) →
(4↑(𝑘 − 1))
∈ ℝ+) |
98 | 97 | rpcnd 9655 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) →
(4↑(𝑘 − 1))
∈ ℂ) |
99 | 54 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈
ℂ) |
100 | 97 | rpap0d 9659 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) →
(4↑(𝑘 − 1)) #
0) |
101 | 79 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈
ℝ+) |
102 | 101 | rpap0d 9659 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 #
0) |
103 | 96, 98, 99, 100, 102 | divdivap1d 8739 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) /
(4↑(𝑘 − 1))) /
4) = (((𝐹‘1)↑2)
/ ((4↑(𝑘 − 1))
· 4))) |
104 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ) |
105 | 104 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
106 | | pncan1 8296 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘) |
107 | 105, 106 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘) |
108 | 107 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) =
(4↑𝑘)) |
109 | 108 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) →
(4↑((𝑘 + 1) −
1)) = (4↑𝑘)) |
110 | | simplr 525 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 𝑘 ∈
ℕ) |
111 | | expm1t 10504 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((4
∈ ℂ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)) |
112 | 54, 110, 111 | sylancr 412 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) →
(4↑𝑘) =
((4↑(𝑘 − 1))
· 4)) |
113 | 109, 112 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) →
(4↑((𝑘 + 1) −
1)) = ((4↑(𝑘 −
1)) · 4)) |
114 | 113 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘1)↑2) /
(4↑((𝑘 + 1) −
1))) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) ·
4))) |
115 | 103, 114 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) /
(4↑(𝑘 − 1))) /
4) = (((𝐹‘1)↑2)
/ (4↑((𝑘 + 1) −
1)))) |
116 | 95, 115 | breqtrd 4015 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) −
1)))) |
117 | 116 | ex 114 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) −
1))))) |
118 | 117 | expcom 115 |
. . . 4
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) −
1)))))) |
119 | 118 | a2d 26 |
. . 3
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) −
1)))))) |
120 | 8, 16, 24, 32, 61, 119 | nnind 8894 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))) |
121 | 120 | impcom 124 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))) |