Theorem trilpolemclim 16116

Description: Lemma for trilpo 16123. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemclim.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemclim	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem trilpolemclim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemclim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
2		oveq2 5965	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
3	2	oveq2d 5973	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑘)))
4		fveq2 5589	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 5975	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		2rp 9800	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9	6	nnzd 9514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	8, 9	rpexpcld 10864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
11	10	rpreccld 9849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) = 0)
14		0re 8092	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2297	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) = 1)
17		1re 8091	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	16, 17	eqeltrdi 2297	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
20	19	ffvelcdmda 5728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1})
21		elpri 3661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
22	20, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
23	15, 18, 22	mpjaodan 800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
24	12, 23	remulcld 8123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	1, 5, 6, 24	fvmptd3 5686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
26	25, 24	eqeltrd 2283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
27	11	rpge0d 9842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
28		0le0 9145	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
29	28, 13	breqtrrid 4089	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
30		0le1 8574	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
31	30, 16	breqtrrid 4089	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
32	29, 31, 22	mpjaodan 800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
33	12, 23, 27, 32	mulge0d 8714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
34	33, 25	breqtrrd 4079	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
35	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
36	13	oveq2d 5973	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 0))
37	11	rpcnd 9840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
39	38	mul01d 8485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · 0) = 0)
40	35, 36, 39	3eqtrd 2243	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = 0)
41	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
42	40, 41	eqbrtrd 4073	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
43	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
44	16	oveq2d 5973	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 1))
45	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 8109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · 1) = (1 / (2↑𝑘)))
47	43, 44, 46	3eqtrd 2243	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
48	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
49	48	leidd 8607	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
50	47, 49	eqbrtrd 4073	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
51	42, 50, 22	mpjaodan 800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
52	26, 34, 51	cvgcmp2n 16113	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cpr 3639   class class class wbr 4051   ↦ cmpt 4113  dom cdm 4683  ⟶wf 5276  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944  0cc0 7945  1c1 7946   + caddc 7948   · cmul 7950   ≤ cle 8128   / cdiv 8765  ℕcn 9056  2c2 9107  ℝ⁺crp 9795  seqcseq 10614  ↑cexp 10705   ⇝ cli 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-frec 6490  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-ico 10036  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-ihash 10943  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-clim 11665  df-sumdc 11740

This theorem is referenced by:  trilpolemcl  16117  trilpolemisumle  16118  trilpolemeq1  16120  trilpolemlt1  16121  nconstwlpolemgt0  16144