Theorem trilpolemclim 13915

Description: Lemma for trilpo 13922. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemclim.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemclim	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem trilpolemclim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemclim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
2		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
3	2	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑘)))
4		fveq2 5486	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 5860	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
6		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		2rp 9594	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9	6	nnzd 9312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	8, 9	rpexpcld 10612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
11	10	rpreccld 9643	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
13		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) = 0)
14		0re 7899	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) = 1)
17		1re 7898	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	16, 17	eqeltrdi 2257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
20	19	ffvelrnda 5620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1})
21		elpri 3599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
22	20, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
23	15, 18, 22	mpjaodan 788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
24	12, 23	remulcld 7929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	1, 5, 6, 24	fvmptd3 5579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
26	25, 24	eqeltrd 2243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
27	11	rpge0d 9636	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
28		0le0 8946	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
29	28, 13	breqtrrid 4020	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
30		0le1 8379	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
31	30, 16	breqtrrid 4020	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
32	29, 31, 22	mpjaodan 788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
33	12, 23, 27, 32	mulge0d 8519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
34	33, 25	breqtrrd 4010	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
35	25	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
36	13	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 0))
37	11	rpcnd 9634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
38	37	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
39	38	mul01d 8291	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · 0) = 0)
40	35, 36, 39	3eqtrd 2202	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = 0)
41	27	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
42	40, 41	eqbrtrd 4004	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
43	25	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
44	16	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 1))
45	37	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
46	45	mulid1d 7916	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · 1) = (1 / (2↑𝑘)))
47	43, 44, 46	3eqtrd 2202	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
48	12	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
49	48	leidd 8412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
50	47, 49	eqbrtrd 4004	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
51	42, 50, 22	mpjaodan 788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
52	26, 34, 51	cvgcmp2n 13912	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cpr 3577   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  dom cdm 4604  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   ≤ cle 7934   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  ℝ⁺crp 9589  seqcseq 10380  ↑cexp 10454   ⇝ cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  trilpolemcl  13916  trilpolemisumle  13917  trilpolemeq1  13919  trilpolemlt1  13920  nconstwlpolemgt0  13942