Theorem trilpolemclim 16751

Description: Lemma for trilpo 16758. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemclim.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemclim	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem trilpolemclim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemclim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
2		oveq2 6036	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
3	2	oveq2d 6044	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑘)))
4		fveq2 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 6046	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		2rp 9937	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9	6	nnzd 9645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	8, 9	rpexpcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
11	10	rpreccld 9986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) = 0)
14		0re 8222	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) = 1)
17		1re 8221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	16, 17	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
20	19	ffvelcdmda 5790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1})
21		elpri 3696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
22	20, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
23	15, 18, 22	mpjaodan 806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
24	12, 23	remulcld 8252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	1, 5, 6, 24	fvmptd3 5749	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
26	25, 24	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
27	11	rpge0d 9979	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
28		0le0 9274	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
29	28, 13	breqtrrid 4131	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
30		0le1 8703	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
31	30, 16	breqtrrid 4131	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
32	29, 31, 22	mpjaodan 806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
33	12, 23, 27, 32	mulge0d 8843	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
34	33, 25	breqtrrd 4121	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
35	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
36	13	oveq2d 6044	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 0))
37	11	rpcnd 9977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
39	38	mul01d 8614	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · 0) = 0)
40	35, 36, 39	3eqtrd 2268	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = 0)
41	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
42	40, 41	eqbrtrd 4115	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
43	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
44	16	oveq2d 6044	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 1))
45	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 8239	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · 1) = (1 / (2↑𝑘)))
47	43, 44, 46	3eqtrd 2268	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
48	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
49	48	leidd 8736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
50	47, 49	eqbrtrd 4115	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
51	42, 50, 22	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
52	26, 34, 51	cvgcmp2n 16748	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cpr 3674   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  dom cdm 4731  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   ≤ cle 8257   / cdiv 8894  ℕcn 9185  2c2 9236  ℝ⁺crp 9932  seqcseq 10755  ↑cexp 10846   ⇝ cli 11901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977

This theorem is referenced by:  trilpolemcl  16752  trilpolemisumle  16753  trilpolemeq1  16755  trilpolemlt1  16756  nconstwlpolemgt0  16780