Theorem trilpolemclim 17292

Description: Lemma for trilpo 17299. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemclim.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemclim	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem trilpolemclim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemclim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
2		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
3	2	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑘)))
4		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 6106	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		2rp 10076	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9	6	nnzd 9778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	8, 9	rpexpcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
11	10	rpreccld 10125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 10114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) = 0)
14		0re 8332	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) = 1)
17		1re 8331	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	16, 17	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
20	19	ffvelcdmda 5846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1})
21		elpri 3732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
22	20, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
23	15, 18, 22	mpjaodan 810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
24	12, 23	remulcld 8362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	1, 5, 6, 24	fvmptd3 5802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
26	25, 24	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
27	11	rpge0d 10118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
28		0le0 9402	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
29	28, 13	breqtrrid 4169	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
30		0le1 8816	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
31	30, 16	breqtrrid 4169	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
32	29, 31, 22	mpjaodan 810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
33	12, 23, 27, 32	mulge0d 8957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
34	33, 25	breqtrrd 4159	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
35	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
36	13	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 0))
37	11	rpcnd 10116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
39	38	mul01d 8727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · 0) = 0)
40	35, 36, 39	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = 0)
41	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
42	40, 41	eqbrtrd 4153	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
43	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
44	16	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 1))
45	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 8349	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · 1) = (1 / (2↑𝑘)))
47	43, 44, 46	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
48	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
49	48	leidd 8849	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
50	47, 49	eqbrtrd 4153	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
51	42, 50, 22	mpjaodan 810	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
52	26, 34, 51	cvgcmp2n 17288	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  dom cdm 4776  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   ≤ cle 8367   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  ℝ⁺crp 10071  seqcseq 10905  ↑cexp 10996   ⇝ cli 12069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  trilpolemcl  17293  trilpolemisumle  17294  trilpolemeq1  17296  trilpolemlt1  17297  nconstwlpolemgt0  17321