Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemclim GIF version

Theorem trilpolemclim 13259
Description: Lemma for trilpo 13266. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemclim.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))
Assertion
Ref Expression
trilpolemclim (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem trilpolemclim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemclim.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))
2 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
32oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑘)))
4 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
53, 4oveq12d 5792 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)))
6 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7 2rp 9453 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
87a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
96nnzd 9179 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
108, 9rpexpcld 10455 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
1110rpreccld 9501 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
1211rpred 9490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
13 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → (𝐹𝑘) = 0)
14 0re 7773 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1513, 14eqeltrdi 2230 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
16 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (𝐹𝑘) = 1)
17 1re 7772 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
1816, 17eqeltrdi 2230 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
19 trilpolemgt1.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2019ffvelrnda 5555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ {0, 1})
21 elpri 3550 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) ∈ {0, 1} → ((𝐹𝑘) = 0 ∨ (𝐹𝑘) = 1))
2220, 21syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) = 0 ∨ (𝐹𝑘) = 1))
2315, 18, 22mpjaodan 787 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2412, 23remulcld 7803 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
251, 5, 6, 24fvmptd3 5514 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)))
2625, 24eqeltrd 2216 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2711rpge0d 9494 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
28 0le0 8816 . . . . . 6 0 ≤ 0
2928, 13breqtrrid 3966 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
30 0le1 8250 . . . . . 6 0 ≤ 1
3130, 16breqtrrid 3966 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
3229, 31, 22mpjaodan 787 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
3312, 23, 27, 32mulge0d 8390 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)))
3433, 25breqtrrd 3956 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
3525adantr 274 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → (𝐺𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)))
3613oveq2d 5790 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 0))
3711rpcnd 9492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
3837adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
3938mul01d 8162 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · 0) = 0)
4035, 36, 393eqtrd 2176 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → (𝐺𝑘) = 0)
4127adantr 274 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
4240, 41eqbrtrd 3950 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 0) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
4325adantr 274 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (𝐺𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)))
4416oveq2d 5790 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 1))
4537adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
4645mulid1d 7790 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · 1) = (1 / (2↑𝑘)))
4743, 44, 463eqtrd 2176 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (𝐺𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
4812adantr 274 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
4948leidd 8283 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
5047, 49eqbrtrd 3950 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑘) = 1) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
5142, 50, 22mpjaodan 787 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
5226, 34, 51cvgcmp2n 13258 1 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  {cpr 3528   class class class wbr 3929  cmpt 3989  dom cdm 4539  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632  cle 7808   / cdiv 8439  cn 8727  2c2 8778  +crp 9448  seqcseq 10225  cexp 10299  cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by:  trilpolemcl  13260  trilpolemisumle  13261  trilpolemeq1  13263  trilpolemlt1  13264
  Copyright terms: Public domain W3C validator