Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemclim GIF version

Theorem trilpolemclim 14787
Description: Lemma for trilpo 14794. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ{0, 1})
trilpolemclim.g ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐นโ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
trilpolemclim (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐‘›,๐น
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘›)   ๐บ(๐‘›)

Proof of Theorem trilpolemclim
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemclim.g . . . 4 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐นโ€˜๐‘›)))
2 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2โ†‘๐‘›) = (2โ†‘๐‘˜))
32oveq2d 5891 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘›)) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4 fveq2 5516 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘˜))
53, 4oveq12d 5893 . . . 4 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐นโ€˜๐‘›)) = ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
6 simpr 110 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
7 2rp 9658 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
87a1i 9 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
96nnzd 9374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
108, 9rpexpcld 10678 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
1110rpreccld 9707 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
1211rpred 9696 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
13 simpr 110 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = 0)
14 0re 7957 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
1513, 14eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
16 simpr 110 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = 1)
17 1re 7956 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
1816, 17eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
19 trilpolemgt1.f . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ{0, 1})
2019ffvelcdmda 5652 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ {0, 1})
21 elpri 3616 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ {0, 1} โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = 0 โˆจ (๐นโ€˜๐‘˜) = 1))
2220, 21syl 14 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = 0 โˆจ (๐นโ€˜๐‘˜) = 1))
2315, 18, 22mpjaodan 798 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
2412, 23remulcld 7988 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
251, 5, 6, 24fvmptd3 5610 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
2625, 24eqeltrd 2254 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
2711rpge0d 9700 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
28 0le0 9008 . . . . . 6 0 โ‰ค 0
2928, 13breqtrrid 4042 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
30 0le1 8438 . . . . . 6 0 โ‰ค 1
3130, 16breqtrrid 4042 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
3229, 31, 22mpjaodan 798 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
3312, 23, 27, 32mulge0d 8578 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
3433, 25breqtrrd 4032 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
3525adantr 276 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
3613oveq2d 5891 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท 0))
3711rpcnd 9698 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3837adantr 276 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3938mul01d 8350 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท 0) = 0)
4035, 36, 393eqtrd 2214 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = 0)
4127adantr 276 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4240, 41eqbrtrd 4026 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4325adantr 276 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
4416oveq2d 5891 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท 1))
4537adantr 276 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4645mulridd 7974 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘˜)) ยท 1) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4743, 44, 463eqtrd 2214 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4812adantr 276 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4948leidd 8471 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
5047, 49eqbrtrd 4026 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐นโ€˜๐‘˜) = 1) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
5142, 50, 22mpjaodan 798 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
5226, 34, 51cvgcmp2n 14784 1 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {cpr 3594   class class class wbr 4004   โ†ฆ cmpt 4065  dom cdm 4627  โŸถwf 5213  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โ‰ค cle 7993   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„+crp 9653  seqcseq 10445  โ†‘cexp 10519   โ‡ cli 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  trilpolemcl  14788  trilpolemisumle  14789  trilpolemeq1  14791  trilpolemlt1  14792  nconstwlpolemgt0  14814
  Copyright terms: Public domain W3C validator