Theorem trilpolemclim 15596

Description: Lemma for trilpo 15603. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemclim.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemclim	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem trilpolemclim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemclim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
2		oveq2 5927	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
3	2	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑘)))
4		fveq2 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
5	3, 4	oveq12d 5937	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		2rp 9727	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9	6	nnzd 9441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	8, 9	rpexpcld 10771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
11	10	rpreccld 9776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) = 0)
14		0re 8021	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) = 1)
17		1re 8020	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	16, 17	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
20	19	ffvelcdmda 5694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1})
21		elpri 3642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
22	20, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ∨ (𝐹‘𝑘) = 1))
23	15, 18, 22	mpjaodan 799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
24	12, 23	remulcld 8052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	1, 5, 6, 24	fvmptd3 5652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
26	25, 24	eqeltrd 2270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
27	11	rpge0d 9769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
28		0le0 9073	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
29	28, 13	breqtrrid 4068	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
30		0le1 8502	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
31	30, 16	breqtrrid 4068	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
32	29, 31, 22	mpjaodan 799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
33	12, 23, 27, 32	mulge0d 8642	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
34	33, 25	breqtrrd 4058	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
35	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
36	13	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 0))
37	11	rpcnd 9767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
39	38	mul01d 8414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → ((1 / (2↑𝑘)) · 0) = 0)
40	35, 36, 39	3eqtrd 2230	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) = 0)
41	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑘)))
42	40, 41	eqbrtrd 4052	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
43	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)))
44	16	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · (𝐹‘𝑘)) = ((1 / (2↑𝑘)) · 1))
45	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 8038	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → ((1 / (2↑𝑘)) · 1) = (1 / (2↑𝑘)))
47	43, 44, 46	3eqtrd 2230	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
48	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
49	48	leidd 8535	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (1 / (2↑𝑘)) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
50	47, 49	eqbrtrd 4052	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑘) = 1) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
51	42, 50, 22	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
52	26, 34, 51	cvgcmp2n 15593	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cpr 3620   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  dom cdm 4660  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   ≤ cle 8057   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035  ℝ⁺crp 9722  seqcseq 10521  ↑cexp 10612   ⇝ cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-ico 9963  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  trilpolemcl  15597  trilpolemisumle  15598  trilpolemeq1  15600  trilpolemlt1  15601  nconstwlpolemgt0  15624