Theorem resqrexlemcalc2 11199

Description: Lemma for resqrex 11210. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 11198	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
5	1, 2, 3	resqrexlemf 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6	5	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 8426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
11	6	rpap0d 9796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
12	7, 11	sqgt0apd 10812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
13	8, 12	elrpd 9787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
14	8, 9	readdcld 8075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
15	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
16	8, 9	addge01d 8579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴)))
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴))
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
19	8	recnd 8074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
20	9	recnd 8074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncand 8357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
22	18, 21	breqtrd 4060	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘𝑁)↑2))
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
24	8, 12	gt0ap0d 8675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
25	19, 24	dividapd 8832	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = 1)
26	23, 25	breqtrd 4060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1)
27	10, 8, 24	redivclapd 8881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28		1red 8060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
29	1, 2, 3	resqrexlemover 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
30		difrp 9786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
31	9, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33		4re 9086	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35		4pos 9106	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
37	34, 36	elrpd 9787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
38	32, 37	rpdivcld 9808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
39	27, 28, 38	lemul1d 9834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
40	26, 39	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
41	10	recnd 8074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
42	34	recnd 8074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
43	34, 36	gt0ap0d 8675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 8878	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
45	41	sqvald 10781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)))
46	42, 19	mulcomd 8067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4))
47	45, 46	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
48	44, 47	eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
49	38	rpcnd 9792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 8064	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
51	40, 48, 50	3brtr3d 4065	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
52	4, 51	eqbrtrd 4056	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623   class class class wbr 4034   × cxp 4662  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903   < clt 8080   ≤ cle 8081   − cmin 8216   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  4c4 9062  ℝ⁺crp 9747  seqcseq 10558  ↑cexp 10649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-rp 9748  df-seqfrec 10559  df-exp 10650

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11200