Theorem resqrexlemcalc2 10957

Description: Lemma for resqrex 10968. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 10956	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
5	1, 2, 3	resqrexlemf 10949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6	5	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	2	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 8279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
11	6	rpap0d 9638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
12	7, 11	sqgt0apd 10616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
13	8, 12	elrpd 9629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
14	8, 9	readdcld 7928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
15	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
16	8, 9	addge01d 8431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴)))
17	15, 16	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴))
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
19	8	recnd 7927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
20	9	recnd 7927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncand 8210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
22	18, 21	breqtrd 4008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘𝑁)↑2))
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
24	8, 12	gt0ap0d 8527	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
25	19, 24	dividapd 8682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = 1)
26	23, 25	breqtrd 4008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1)
27	10, 8, 24	redivclapd 8731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28		1red 7914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
29	1, 2, 3	resqrexlemover 10952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
30		difrp 9628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
31	9, 8, 30	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
32	29, 31	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33		4re 8934	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35		4pos 8954	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
37	34, 36	elrpd 9629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
38	32, 37	rpdivcld 9650	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
39	27, 28, 38	lemul1d 9676	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
40	26, 39	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
41	10	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
42	34	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
43	34, 36	gt0ap0d 8527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 8728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
45	41	sqvald 10585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)))
46	42, 19	mulcomd 7920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4))
47	45, 46	oveq12d 5860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
48	44, 47	eqtr4d 2201	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
49	38	rpcnd 9634	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 7917	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
51	40, 48, 50	3brtr3d 4013	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
52	4, 51	eqbrtrd 4004	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576   class class class wbr 3982   × cxp 4602  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ∈ cmpo 5844  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  4c4 8910  ℝ⁺crp 9589  seqcseq 10380  ↑cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  10958