Theorem resqrexlemcalc2 11180

Description: Lemma for resqrex 11191. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 11179	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
5	1, 2, 3	resqrexlemf 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6	5	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 8407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
11	6	rpap0d 9777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
12	7, 11	sqgt0apd 10793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
13	8, 12	elrpd 9768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
14	8, 9	readdcld 8056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
15	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
16	8, 9	addge01d 8560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴)))
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴))
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
19	8	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
20	9	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncand 8338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
22	18, 21	breqtrd 4059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘𝑁)↑2))
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
24	8, 12	gt0ap0d 8656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
25	19, 24	dividapd 8813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = 1)
26	23, 25	breqtrd 4059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1)
27	10, 8, 24	redivclapd 8862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28		1red 8041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
29	1, 2, 3	resqrexlemover 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
30		difrp 9767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
31	9, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33		4re 9067	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35		4pos 9087	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
37	34, 36	elrpd 9768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
38	32, 37	rpdivcld 9789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
39	27, 28, 38	lemul1d 9815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
40	26, 39	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
41	10	recnd 8055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
42	34	recnd 8055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
43	34, 36	gt0ap0d 8656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 8859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
45	41	sqvald 10762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)))
46	42, 19	mulcomd 8048	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4))
47	45, 46	oveq12d 5940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
48	44, 47	eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
49	38	rpcnd 9773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 8045	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
51	40, 48, 50	3brtr3d 4064	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
52	4, 51	eqbrtrd 4055	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3622   class class class wbr 4033   × cxp 4661  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  4c4 9043  ℝ⁺crp 9728  seqcseq 10539  ↑cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11181