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Theorem resqrexlemcalc2 10347
Description: Lemma for resqrex 10358. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcalc1 10346 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
51, 2, 3resqrexlemf 10339 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
65ffvelrnda 5399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 10012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
92adantr 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 7806 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
116rpap0d 9114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
127, 11sqgt0apd 10014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹𝑁)↑2))
138, 12elrpd 9106 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
148, 9readdcld 7464 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
153adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
168, 9addge01d 7954 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴)))
1715, 16mpbid 145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴))
188, 14, 9, 17lesub1dd 7982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
198recnd 7463 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
209recnd 7463 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncand 7741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹𝑁)↑2))
2218, 21breqtrd 3846 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑁)↑2))
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9167 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
248, 12gt0ap0d 8049 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
2519, 24dividapd 8195 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) = 1)
2623, 25breqtrd 3846 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1)
2710, 8, 24redivclapd 8241 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28 1red 7450 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
291, 2, 3resqrexlemover 10342 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
30 difrp 9105 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
319, 8, 30syl2anc 403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3229, 31mpbid 145 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33 4re 8437 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3433a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35 4pos 8457 . . . . . . . 8 0 < 4
3635a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
3734, 36elrpd 9106 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
3832, 37rpdivcld 9126 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
3927, 28, 38lemul1d 9152 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
4026, 39mpbid 145 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
4110recnd 7463 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
4234recnd 7463 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
4334, 36gt0ap0d 8049 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8239 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4541sqvald 9983 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)))
4642, 19mulcomd 7456 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐹𝑁)↑2) · 4))
4745, 46oveq12d 5633 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4844, 47eqtr4d 2120 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
4938rpcnd 9110 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
5049mulid2d 7453 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
5140, 48, 503brtr3d 3851 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
524, 51eqbrtrd 3842 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  {csn 3431   class class class wbr 3822   × cxp 4411  cfv 4983  (class class class)co 5615  cmpt2 5617  cr 7296  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302   < clt 7469  cle 7470  cmin 7600   / cdiv 8081  cn 8360  2c2 8410  4c4 8412  +crp 9069  seqcseq 9782  cexp 9856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-rp 9070  df-iseq 9783  df-iexp 9857
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