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Theorem resqrexlemcalc2 11008
Description: Lemma for resqrex 11019. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcalc1 11007 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
51, 2, 3resqrexlemf 11000 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
65ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 10665 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
92adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 8328 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
116rpap0d 9689 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
127, 11sqgt0apd 10667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹𝑁)↑2))
138, 12elrpd 9680 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
148, 9readdcld 7977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
153adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
168, 9addge01d 8480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴)))
1715, 16mpbid 147 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴))
188, 14, 9, 17lesub1dd 8508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
198recnd 7976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
209recnd 7976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncand 8259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹𝑁)↑2))
2218, 21breqtrd 4026 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑁)↑2))
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9742 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
248, 12gt0ap0d 8576 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
2519, 24dividapd 8732 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) = 1)
2623, 25breqtrd 4026 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1)
2710, 8, 24redivclapd 8781 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28 1red 7963 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
291, 2, 3resqrexlemover 11003 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
30 difrp 9679 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
319, 8, 30syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3229, 31mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33 4re 8985 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3433a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35 4pos 9005 . . . . . . . 8 0 < 4
3635a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
3734, 36elrpd 9680 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
3832, 37rpdivcld 9701 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
3927, 28, 38lemul1d 9727 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
4026, 39mpbid 147 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
4110recnd 7976 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
4234recnd 7976 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
4334, 36gt0ap0d 8576 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8778 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4541sqvald 10636 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)))
4642, 19mulcomd 7969 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐹𝑁)↑2) · 4))
4745, 46oveq12d 5887 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4844, 47eqtr4d 2213 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
4938rpcnd 9685 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
5049mulid2d 7966 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
5140, 48, 503brtr3d 4031 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
524, 51eqbrtrd 4022 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4621  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  4c4 8961  +crp 9640  seqcseq 10431  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11009
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