ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc2 GIF version

Theorem resqrexlemcalc2 11023
Description: Lemma for resqrex 11034. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑁 + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcalc1 11022 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑁 + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))))
51, 2, 3resqrexlemf 11015 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
65ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
76rpred 9695 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
87resqcld 10679 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ)
92adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 8337 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
116rpap0d 9701 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) # 0)
127, 11sqgt0apd 10681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘)↑2))
138, 12elrpd 9692 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ+)
148, 9readdcld 7986 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
153adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝐴)
168, 9addge01d 8489 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ≀ (((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴)))
1715, 16mpbid 147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ≀ (((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴))
188, 14, 9, 17lesub1dd 8517 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴) βˆ’ 𝐴))
198recnd 7985 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ β„‚)
209recnd 7985 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2119, 20pncand 8268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴) βˆ’ 𝐴) = ((πΉβ€˜π‘)↑2))
2218, 21breqtrd 4029 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π‘)↑2))
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9754 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)↑2) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)))
248, 12gt0ap0d 8585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) # 0)
2519, 24dividapd 8742 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) = 1)
2623, 25breqtrd 4029 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ≀ 1)
2710, 8, 24redivclapd 8791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ∈ ℝ)
28 1red 7971 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
291, 2, 3resqrexlemover 11018 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2))
30 difrp 9691 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2) ↔ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
319, 8, 30syl2anc 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2) ↔ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
3229, 31mpbid 147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
33 4re 8995 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3433a1i 9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ ℝ)
35 4pos 9015 . . . . . . . 8 0 < 4
3635a1i 9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 4)
3734, 36elrpd 9692 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ ℝ+)
3832, 37rpdivcld 9713 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
3927, 28, 38lemul1d 9739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ≀ 1 ↔ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) ≀ (1 Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))))
4026, 39mpbid 147 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) ≀ (1 Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)))
4110recnd 7985 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
4234recnd 7985 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„‚)
4334, 36gt0ap0d 8585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 # 0)
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8788 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) Β· (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)) / (((πΉβ€˜π‘)↑2) Β· 4)))
4541sqvald 10650 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) = ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) Β· (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)))
4642, 19mulcomd 7978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2)) = (((πΉβ€˜π‘)↑2) Β· 4))
4745, 46oveq12d 5892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) Β· (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)) / (((πΉβ€˜π‘)↑2) Β· 4)))
4844, 47eqtr4d 2213 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))))
4938rpcnd 9697 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ∈ β„‚)
5049mulid2d 7975 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1 Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) = ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
5140, 48, 503brtr3d 4034 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
524, 51eqbrtrd 4025 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑁 + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3592   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  β„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   Β· cmul 7815   < clt 7991   ≀ cle 7992   βˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  β„•cn 8918  2c2 8969  4c4 8971  β„+crp 9652  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11024
  Copyright terms: Public domain W3C validator