Theorem resqrexlemcalc2 10672

Description: Lemma for resqrex 10683. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 10671	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
5	1, 2, 3	resqrexlemf 10664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6	5	ffvelrnda 5507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	2	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 8055	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
11	6	rpap0d 9381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
12	7, 11	sqgt0apd 10338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
13	8, 12	elrpd 9373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
14	8, 9	readdcld 7712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
15	3	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
16	8, 9	addge01d 8206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴)))
17	15, 16	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴))
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
19	8	recnd 7711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
20	9	recnd 7711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncand 7990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
22	18, 21	breqtrd 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘𝑁)↑2))
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
24	8, 12	gt0ap0d 8302	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
25	19, 24	dividapd 8452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = 1)
26	23, 25	breqtrd 3917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1)
27	10, 8, 24	redivclapd 8500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28		1red 7698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
29	1, 2, 3	resqrexlemover 10667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
30		difrp 9372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
31	9, 8, 30	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
32	29, 31	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33		4re 8700	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35		4pos 8720	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
37	34, 36	elrpd 9373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
38	32, 37	rpdivcld 9393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
39	27, 28, 38	lemul1d 9419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
40	26, 39	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
41	10	recnd 7711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
42	34	recnd 7711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
43	34, 36	gt0ap0d 8302	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 8498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
45	41	sqvald 10307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)))
46	42, 19	mulcomd 7704	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4))
47	45, 46	oveq12d 5744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
48	44, 47	eqtr4d 2148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
49	38	rpcnd 9377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 7701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
51	40, 48, 50	3brtr3d 3922	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
52	4, 51	eqbrtrd 3913	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  {csn 3491   class class class wbr 3893   × cxp 4495  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726   ∈ cmpo 5728  ℝcr 7539  0cc0 7540  1c1 7541   + caddc 7543   · cmul 7545   < clt 7717   ≤ cle 7718   − cmin 7849   / cdiv 8338  ℕcn 8623  2c2 8674  4c4 8676  ℝ⁺crp 9336  seqcseq 10104  ↑cexp 10178

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-rp 9337  df-seqfrec 10105  df-exp 10179

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  10673