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Theorem resqrexlemcalc2 10992
Description: Lemma for resqrex 11003. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcalc1 10991 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
51, 2, 3resqrexlemf 10984 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
65ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 10649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
92adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 8312 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
116rpap0d 9673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
127, 11sqgt0apd 10651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹𝑁)↑2))
138, 12elrpd 9664 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
148, 9readdcld 7961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
153adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
168, 9addge01d 8464 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴)))
1715, 16mpbid 147 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴))
188, 14, 9, 17lesub1dd 8492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
198recnd 7960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
209recnd 7960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncand 8243 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹𝑁)↑2))
2218, 21breqtrd 4024 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑁)↑2))
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9726 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
248, 12gt0ap0d 8560 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
2519, 24dividapd 8716 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) = 1)
2623, 25breqtrd 4024 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1)
2710, 8, 24redivclapd 8765 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28 1red 7947 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
291, 2, 3resqrexlemover 10987 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
30 difrp 9663 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
319, 8, 30syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3229, 31mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33 4re 8969 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3433a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35 4pos 8989 . . . . . . . 8 0 < 4
3635a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
3734, 36elrpd 9664 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
3832, 37rpdivcld 9685 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
3927, 28, 38lemul1d 9711 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
4026, 39mpbid 147 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
4110recnd 7960 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
4234recnd 7960 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
4334, 36gt0ap0d 8560 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8762 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4541sqvald 10620 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)))
4642, 19mulcomd 7953 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐹𝑁)↑2) · 4))
4745, 46oveq12d 5883 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4844, 47eqtr4d 2211 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
4938rpcnd 9669 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
5049mulid2d 7950 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
5140, 48, 503brtr3d 4029 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
524, 51eqbrtrd 4020 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  {csn 3589   class class class wbr 3998   × cxp 4618  cfv 5208  (class class class)co 5865  cmpo 5867  cr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966  cle 7967  cmin 8102   / cdiv 8602  cn 8892  2c2 8943  4c4 8945  +crp 9624  seqcseq 10415  cexp 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490
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