resqrexlemcalc2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemcalc2 11024

Description: Lemma for resqrex 11035. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemcalc2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝜑,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑦,𝑧) 𝑁(𝑦,𝑧)

**Proof of Theorem resqrexlemcalc2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 11023	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
5	1, 2, 3	resqrexlemf 11016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
6	5	ffvelcdmda 5652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 9696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 8338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
11	6	rpap0d 9702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
12	7, 11	sqgt0apd 10682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
13	8, 12	elrpd 9693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ⁺)
14	8, 9	readdcld 7987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
15	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
16	8, 9	addge01d 8490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴)))
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴))
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
19	8	recnd 7986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
20	9	recnd 7986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncand 8269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹‘𝑁)↑2))
22	18, 21	breqtrd 4030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘𝑁)↑2))
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9755	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
24	8, 12	gt0ap0d 8586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
25	19, 24	dividapd 8743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = 1)
26	23, 25	breqtrd 4030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1)
27	10, 8, 24	redivclapd 8792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28		1red 7972	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
29	1, 2, 3	resqrexlemover 11019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
30		difrp 9692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ⁺))
31	9, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ⁺))
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
33		4re 8996	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35		4pos 9016	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
37	34, 36	elrpd 9693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ⁺)
38	32, 37	rpdivcld 9714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ⁺)
39	27, 28, 38	lemul1d 9740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
40	26, 39	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
41	10	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
42	34	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
43	34, 36	gt0ap0d 8586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 8789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
45	41	sqvald 10651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)))
46	42, 19	mulcomd 7979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4))
47	45, 46	oveq12d 5893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
48	44, 47	eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
49	38	rpcnd 9698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 7976	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
51	40, 48, 50	3brtr3d 4035	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
52	4, 51	eqbrtrd 4026	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 {csn 3593 class class class wbr 4004 × cxp 4625 ‘cfv 5217 (class class class)co 5875 ∈ cmpo 5877 ℝcr 7810 0cc0 7811 1c1 7812 + caddc 7814 · cmul 7816 < clt 7992 ≤ cle 7993 − cmin 8128 / cdiv 8629 ℕcn 8919 2c2 8970 4c4 8972 ℝ⁺crp 9653 seqcseq 10445 ↑cexp 10519

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-frec 6392 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-rp 9654 df-seqfrec 10446 df-exp 10520

This theorem is referenced by: resqrexlemcalc3 11025

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