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Theorem resqrexlemcalc2 10672
Description: Lemma for resqrex 10683. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcalc1 10671 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
51, 2, 3resqrexlemf 10664 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
65ffvelrnda 5507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 10336 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
92adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 8055 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
116rpap0d 9381 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
127, 11sqgt0apd 10338 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹𝑁)↑2))
138, 12elrpd 9373 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
148, 9readdcld 7712 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
153adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
168, 9addge01d 8206 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴)))
1715, 16mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴))
188, 14, 9, 17lesub1dd 8234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
198recnd 7711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
209recnd 7711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncand 7990 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹𝑁)↑2))
2218, 21breqtrd 3917 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑁)↑2))
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9434 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
248, 12gt0ap0d 8302 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
2519, 24dividapd 8452 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) = 1)
2623, 25breqtrd 3917 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1)
2710, 8, 24redivclapd 8500 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28 1red 7698 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
291, 2, 3resqrexlemover 10667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
30 difrp 9372 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
319, 8, 30syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3229, 31mpbid 146 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33 4re 8700 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3433a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35 4pos 8720 . . . . . . . 8 0 < 4
3635a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
3734, 36elrpd 9373 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
3832, 37rpdivcld 9393 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
3927, 28, 38lemul1d 9419 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
4026, 39mpbid 146 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
4110recnd 7711 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
4234recnd 7711 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
4334, 36gt0ap0d 8302 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8498 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4541sqvald 10307 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)))
4642, 19mulcomd 7704 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐹𝑁)↑2) · 4))
4745, 46oveq12d 5744 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4844, 47eqtr4d 2148 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
4938rpcnd 9377 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
5049mulid2d 7701 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
5140, 48, 503brtr3d 3922 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
524, 51eqbrtrd 3913 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  {csn 3491   class class class wbr 3893   × cxp 4495  cfv 5079  (class class class)co 5726  cmpo 5728  cr 7539  0cc0 7540  1c1 7541   + caddc 7543   · cmul 7545   < clt 7717  cle 7718  cmin 7849   / cdiv 8338  cn 8623  2c2 8674  4c4 8676  +crp 9336  seqcseq 10104  cexp 10178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-rp 9337  df-seqfrec 10105  df-exp 10179
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