ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc2 GIF version

Theorem resqrexlemcalc2 11026
Description: Lemma for resqrex 11037. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑁 + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcalc1 11025 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑁 + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))))
51, 2, 3resqrexlemf 11018 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
65ffvelcdmda 5653 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
76rpred 9698 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
87resqcld 10682 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ)
92adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 8340 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
116rpap0d 9704 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) # 0)
127, 11sqgt0apd 10684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘)↑2))
138, 12elrpd 9695 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ+)
148, 9readdcld 7989 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
153adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝐴)
168, 9addge01d 8492 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ≀ (((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴)))
1715, 16mpbid 147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ≀ (((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴))
188, 14, 9, 17lesub1dd 8520 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴) βˆ’ 𝐴))
198recnd 7988 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ β„‚)
209recnd 7988 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2119, 20pncand 8271 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) + 𝐴) βˆ’ 𝐴) = ((πΉβ€˜π‘)↑2))
2218, 21breqtrd 4031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π‘)↑2))
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9757 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)↑2) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)))
248, 12gt0ap0d 8588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) # 0)
2519, 24dividapd 8745 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) = 1)
2623, 25breqtrd 4031 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ≀ 1)
2710, 8, 24redivclapd 8794 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ∈ ℝ)
28 1red 7974 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
291, 2, 3resqrexlemover 11021 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2))
30 difrp 9694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2) ↔ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
319, 8, 30syl2anc 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 < ((πΉβ€˜π‘)↑2) ↔ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
3229, 31mpbid 147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
33 4re 8998 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3433a1i 9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ ℝ)
35 4pos 9018 . . . . . . . 8 0 < 4
3635a1i 9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 4)
3734, 36elrpd 9695 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ ℝ+)
3832, 37rpdivcld 9716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
3927, 28, 38lemul1d 9742 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) ≀ 1 ↔ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) ≀ (1 Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))))
4026, 39mpbid 147 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) ≀ (1 Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)))
4110recnd 7988 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
4234recnd 7988 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 ∈ β„‚)
4334, 36gt0ap0d 8588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 4 # 0)
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8791 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) Β· (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)) / (((πΉβ€˜π‘)↑2) Β· 4)))
4541sqvald 10653 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) = ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) Β· (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)))
4642, 19mulcomd 7981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2)) = (((πΉβ€˜π‘)↑2) Β· 4))
4745, 46oveq12d 5895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) Β· (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)) / (((πΉβ€˜π‘)↑2) Β· 4)))
4844, 47eqtr4d 2213 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / ((πΉβ€˜π‘)↑2)) Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) = (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))))
4938rpcnd 9700 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4) ∈ β„‚)
5049mulid2d 7978 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1 Β· ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4)) = ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
5140, 48, 503brtr3d 4036 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴)↑2) / (4 Β· ((πΉβ€˜π‘)↑2))) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
524, 51eqbrtrd 4027 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(𝑁 + 1))↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ 𝐴) / 4))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3594   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   Β· cmul 7818   < clt 7994   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  β„•cn 8921  2c2 8972  4c4 8974  β„+crp 9655  seqcseq 10447  β†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11027
  Copyright terms: Public domain W3C validator