ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumrpcl GIF version

Theorem isumrpcl 11497
Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrpcl.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumrpcl.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumrpcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrpcl.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
isumrpcl.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumrpcl (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 isumrpcl.3 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 isumrpcl.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2270 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 9535 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 uzss 9546 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
84, 7syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 1, 33sstr4g 3198 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
109sselda 3155 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
11 isumrpcl.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1210, 11syldan 282 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
13 isumrpcl.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpred 9694 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1510, 14syldan 282 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 isumrpcl.6 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1711, 13eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1817rpcnd 9696 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
193, 2, 18iserex 11342 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2016, 19mpbid 147 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 11432 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ)
22 fveq2 5515 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
2322eleq1d 2246 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ+))
2417ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2523, 24, 2rspcdva 2846 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
268sselda 3155 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 3eleqtrrdi 2271 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
2827, 17syldan 282 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
29 rpaddcl 9675 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
3029adantl 277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
316, 28, 30seq3-1 10457 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
32 uzid 9540 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
336, 32syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
3433, 1eleqtrrdi 2271 . . . 4 (𝜑𝑁𝑊)
3515recnd 7984 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
361, 6, 12, 35, 20isumclim2 11425 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
379sseld 3154 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝑊𝑚𝑍))
38 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
3938eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4039rspcv 2837 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+ → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4137, 24, 40syl6ci 1445 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑊 → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4241imp 124 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+)
4342rpred 9694 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
4442rpge0d 9698 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → 0 ≤ (𝐹𝑚))
451, 34, 36, 43, 44climserle 11348 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4631, 45eqbrtrrd 4027 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4721, 25, 46rpgecld 9734 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  dom cdm 4626  cfv 5216  (class class class)co 5874  cr 7809   + caddc 7813  cle 7991  cz 9251  cuz 9526  +crp 9651  seqcseq 10442  cli 11281  Σcsu 11356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357
This theorem is referenced by:  effsumlt  11695  eirraplem  11779
  Copyright terms: Public domain W3C validator