ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumrpcl GIF version

Theorem isumrpcl 11231
Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrpcl.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumrpcl.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumrpcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrpcl.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
isumrpcl.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumrpcl (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 isumrpcl.3 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 isumrpcl.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2210 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 9303 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 uzss 9314 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
84, 7syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 1, 33sstr4g 3110 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
109sselda 3067 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
11 isumrpcl.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1210, 11syldan 280 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
13 isumrpcl.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpred 9451 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1510, 14syldan 280 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 isumrpcl.6 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1711, 13eqeltrd 2194 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1817rpcnd 9453 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
193, 2, 18iserex 11076 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2016, 19mpbid 146 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 11166 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ)
22 fveq2 5389 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
2322eleq1d 2186 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ+))
2417ralrimiva 2482 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2523, 24, 2rspcdva 2768 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
268sselda 3067 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 3eleqtrrdi 2211 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
2827, 17syldan 280 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
29 rpaddcl 9433 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
3029adantl 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
316, 28, 30seq3-1 10201 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
32 uzid 9308 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
336, 32syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
3433, 1eleqtrrdi 2211 . . . 4 (𝜑𝑁𝑊)
3515recnd 7762 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
361, 6, 12, 35, 20isumclim2 11159 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
379sseld 3066 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝑊𝑚𝑍))
38 fveq2 5389 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
3938eleq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4039rspcv 2759 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+ → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4137, 24, 40syl6ci 1406 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑊 → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4241imp 123 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+)
4342rpred 9451 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
4442rpge0d 9455 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → 0 ≤ (𝐹𝑚))
451, 34, 36, 43, 44climserle 11082 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4631, 45eqbrtrrd 3922 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4721, 25, 46rpgecld 9491 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wss 3041  dom cdm 4509  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587   + caddc 7591  cle 7769  cz 9022  cuz 9294  +crp 9409  seqcseq 10186  cli 11015  Σcsu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by:  effsumlt  11325  eirraplem  11410
  Copyright terms: Public domain W3C validator