ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumrpcl GIF version

Theorem isumrpcl 11504
Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrpcl.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumrpcl.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumrpcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrpcl.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
isumrpcl.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumrpcl (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 isumrpcl.3 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 isumrpcl.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2270 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 9539 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 uzss 9550 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
84, 7syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 1, 33sstr4g 3200 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
109sselda 3157 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
11 isumrpcl.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1210, 11syldan 282 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
13 isumrpcl.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpred 9698 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1510, 14syldan 282 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 isumrpcl.6 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1711, 13eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1817rpcnd 9700 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
193, 2, 18iserex 11349 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2016, 19mpbid 147 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 11439 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ)
22 fveq2 5517 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
2322eleq1d 2246 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ+))
2417ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2523, 24, 2rspcdva 2848 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
268sselda 3157 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 3eleqtrrdi 2271 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
2827, 17syldan 282 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
29 rpaddcl 9679 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
3029adantl 277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
316, 28, 30seq3-1 10462 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
32 uzid 9544 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
336, 32syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
3433, 1eleqtrrdi 2271 . . . 4 (𝜑𝑁𝑊)
3515recnd 7988 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
361, 6, 12, 35, 20isumclim2 11432 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
379sseld 3156 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝑊𝑚𝑍))
38 fveq2 5517 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
3938eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4039rspcv 2839 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+ → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4137, 24, 40syl6ci 1445 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑊 → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
4241imp 124 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+)
4342rpred 9698 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
4442rpge0d 9702 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → 0 ≤ (𝐹𝑚))
451, 34, 36, 43, 44climserle 11355 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4631, 45eqbrtrrd 4029 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4721, 25, 46rpgecld 9738 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wss 3131  dom cdm 4628  cfv 5218  (class class class)co 5877  cr 7812   + caddc 7816  cle 7995  cz 9255  cuz 9530  +crp 9655  seqcseq 10447  cli 11288  Σcsu 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364
This theorem is referenced by:  effsumlt  11702  eirraplem  11786
  Copyright terms: Public domain W3C validator