Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  effsumlt GIF version

Theorem effsumlt 11566
 Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
effsumlt (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9452 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 9158 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 effsumlt.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
43rpcnd 9583 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 effsumlt.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
65eftvalcn 11531 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
74, 6sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
83rpred 9581 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 reeftcl 11529 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
108, 9sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
117, 10eqeltrd 2231 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
121, 2, 11serfre 10352 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
13 effsumlt.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1412, 13ffvelrnd 5596 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
15 eqid 2154 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
16 peano2nn0 9109 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1713, 16syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18 eqidd 2155 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
19 nn0z 9166 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
20 rpexpcl 10416 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
213, 19, 20syl2an 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
22 faccl 10586 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2423nnrpd 9579 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
2521, 24rpdivcld 9599 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
267, 25eqeltrd 2231 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
275efcllem 11533 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
284, 27syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
291, 15, 17, 18, 26, 28isumrpcl 11368 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
3014, 29ltaddrpd 9615 . 2 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
315efval2 11539 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
324, 31syl 14 . . 3 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
3311recnd 7885 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
341, 15, 17, 18, 33, 28isumsplit 11365 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
3513nn0cnd 9124 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 7804 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
37 pncan 8060 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3835, 36, 37sylancl 410 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3938oveq2d 5830 . . . . . 6 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
4039sumeq1d 11240 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))
41 eqidd 2155 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4213, 1eleqtrdi 2247 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
43 elnn0uz 9455 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
4443, 33sylan2br 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4541, 42, 44fsum3ser 11271 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4640, 45eqtrd 2187 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4746oveq1d 5829 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4832, 34, 473eqtrd 2191 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4930, 48breqtrrd 3988 1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961   ↦ cmpt 4021  dom cdm 4579  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  ℝcr 7710  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   < clt 7891   − cmin 8025   / cdiv 8524  ℕcn 8812  ℕ0cn0 9069  ℤcz 9146  ℤ≥cuz 9418  ℝ+crp 9538  ...cfz 9890  seqcseq 10322  ↑cexp 10396  !cfa 10576   ⇝ cli 11152  Σcsu 11227  expce 11516 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-ico 9776  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-fac 10577  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228  df-ef 11522 This theorem is referenced by:  efgt1p2  11569  efgt1p  11570
 Copyright terms: Public domain W3C validator