Theorem effsumlt 12437

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumlt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
effsumlt	⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9936	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 9635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		effsumlt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 10078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		effsumlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
6	5	eftvalcn 12402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7	4, 6	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8	3	rpred 10076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		reeftcl 12400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
12	1, 2, 11	serfre 10899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
13		effsumlt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	12, 13	ffvelcdmd 5835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
15		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
16		peano2nn0 9582	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17	13, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
19		nn0z 9643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
20		rpexpcl 10973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
21	3, 19, 20	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
22		faccl 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 10074	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
25	21, 24	rpdivcld 10094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
26	7, 25	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
27	5	efcllem 12404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
28	4, 27	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	1, 15, 17, 18, 26, 28	isumrpcl 12239	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
30	14, 29	ltaddrpd 10110	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
31	5	efval2 12410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
32	4, 31	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
33	11	recnd 8344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	1, 15, 17, 18, 33, 28	isumsplit 12236	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
35	13	nn0cnd 9601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 8262	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		pncan 8522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
38	35, 36, 37	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 6091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
40	39	sumeq1d 12110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))
41		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	13, 1	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
43		elnn0uz 9939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
44	43, 33	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	41, 42, 44	fsum3ser 12142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
46	40, 45	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
47	46	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
48	32, 34, 47	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
49	30, 48	breqtrrd 4153	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  dom cdm 4769  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   − cmin 8487   / cdiv 8992  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ℝ⁺crp 10033  ...cfz 10390  seqcseq 10862  ↑cexp 10953  !cfa 11141   ⇝ cli 12022  Σcsu 12097  expce 12387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393

This theorem is referenced by:  efgt1p2  12440  efgt1p  12441