Theorem rpcxple2 13553

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxple2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐵↑𝑐𝐶)))

Proof of Theorem rpcxple2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 994	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9640	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		simp1 992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4	3	relogcld 13518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 7937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
6		simp2 993	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 13518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
8	2, 7	remulcld 7937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
9		efle 13412	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
10	5, 8, 9	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
11		efle 13412	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
12	4, 7, 11	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
13	4, 7, 1	lemul2d 9685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
14	3	reeflogd 13519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
15	6	reeflogd 13519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
16	14, 15	breq12d 4000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	12, 13, 16	3bitr3rd 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
18	1	rpcnd 9642	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		rpcxpef 13530	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
20	3, 18, 19	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
21		rpcxpef 13530	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
22	6, 18, 21	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
23	20, 22	breq12d 4000	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
24	10, 17, 23	3bitr4d 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐵↑𝑐𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  ℝcr 7760   · cmul 7766   ≤ cle 7942  ℝ⁺crp 9597  expce 11592  logclog 13492  ↑_𝑐ccxp 13493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881  ax-pre-suploc 7882  ax-addf 7883  ax-mulf 7884

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-of 6058  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-map 6624  df-pm 6625  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-xneg 9716  df-xadd 9717  df-ioo 9836  df-ico 9838  df-icc 9839  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-bc 10669  df-ihash 10697  df-shft 10766  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304  df-ef 11598  df-e 11599  df-rest 12567  df-topgen 12586  df-psmet 12702  df-xmet 12703  df-met 12704  df-bl 12705  df-mopn 12706  df-top 12711  df-topon 12724  df-bases 12756  df-ntr 12811  df-cn 12903  df-cnp 12904  df-tx 12968  df-cncf 13273  df-limced 13340  df-dvap 13341  df-relog 13494  df-rpcxp 13495

This theorem is referenced by:  rpabscxpbnd  13574