ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpdivcxp GIF version

Theorem rpdivcxp 13965
Description: Complex exponentiation of a quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcxp ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem rpdivcxp
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
21rpreccld 9681 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
3 rpmulcxp 13963 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐵)↑𝑐𝐶)))
42, 3syld3an2 1285 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐵)↑𝑐𝐶)))
5 cxprec 13964 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐵)↑𝑐𝐶) = (1 / (𝐵𝑐𝐶)))
653adant1 1015 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐵)↑𝑐𝐶) = (1 / (𝐵𝑐𝐶)))
76oveq2d 5884 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐵)↑𝑐𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐵𝑐𝐶))))
84, 7eqtrd 2210 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐵𝑐𝐶))))
9 simp1 997 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
109rpcnd 9672 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
111rpcnd 9672 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
121rpap0d 9676 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 # 0)
1310, 11, 12divrecapd 8726 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
1413oveq1d 5883 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 · (1 / 𝐵))↑𝑐𝐶))
15 rpcncxpcl 13956 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
16153adant2 1016 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
17 rpcncxpcl 13956 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
18173adant1 1015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
19 cxpap0 13958 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) # 0)
20193adant1 1015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) # 0)
2116, 18, 20divrecapd 8726 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐵𝑐𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐵𝑐𝐶))))
228, 14, 213eqtr4d 2220 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cc 7787  0cc0 7789  1c1 7790   · cmul 7794   # cap 8515   / cdiv 8605  +crp 9627  𝑐ccxp 13911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909  ax-pre-suploc 7910  ax-addf 7911  ax-mulf 7912
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-of 6076  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-map 6643  df-pm 6644  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-ioo 9866  df-ico 9868  df-icc 9869  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-fac 10677  df-bc 10699  df-ihash 10727  df-shft 10795  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333  df-ef 11627  df-e 11628  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-met 13122  df-bl 13123  df-mopn 13124  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174  df-ntr 13229  df-cn 13321  df-cnp 13322  df-tx 13386  df-cncf 13691  df-limced 13758  df-dvap 13759  df-relog 13912  df-rpcxp 13913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator