ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdec GIF version

Theorem resqrexlemdec 10444
Description: Lemma for resqrex 10459. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdec ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdec
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemfp1 10442 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
52adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
61, 2, 3resqrexlemf 10440 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
76ffvelrnda 5434 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
85, 7rerpdivcld 9205 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
97rpred 9173 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
101, 2, 3resqrexlemover 10443 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
117rpcnd 9175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
1211sqvald 10083 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) = ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
1310, 12breqtrd 3869 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
145, 9, 7ltdivmuld 9225 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁))))
1513, 14mpbird 165 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁))
168, 9, 9, 15ltadd2dd 7900 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
17112timesd 8658 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
1816, 17breqtrrd 3871 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁)))
199, 8readdcld 7517 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
20 2rp 9139 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
2120a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
2219, 9, 21ltdivmuld 9225 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁))))
2318, 22mpbird 165 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁))
244, 23eqbrtrd 3865 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  {csn 3446   class class class wbr 3845   × cxp 4436  cfv 5015  (class class class)co 5652  cmpt2 5654  cr 7349  0cc0 7350  1c1 7351   + caddc 7353   · cmul 7355   < clt 7522  cle 7523   / cdiv 8139  cn 8422  2c2 8473  +crp 9134  seqcseq 9852  cexp 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955
This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator