ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdec GIF version

Theorem resqrexlemdec 11001
Description: Lemma for resqrex 11016. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdec ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdec
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemfp1 10999 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
52adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
61, 2, 3resqrexlemf 10997 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
76ffvelcdmda 5647 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
85, 7rerpdivcld 9712 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
97rpred 9680 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
101, 2, 3resqrexlemover 11000 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
117rpcnd 9682 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
1211sqvald 10633 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) = ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
1310, 12breqtrd 4026 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
145, 9, 7ltdivmuld 9732 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁))))
1513, 14mpbird 167 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁))
168, 9, 9, 15ltadd2dd 8366 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
17112timesd 9147 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
1816, 17breqtrrd 4028 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁)))
199, 8readdcld 7974 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
20 2rp 9642 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
2120a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
2219, 9, 21ltdivmuld 9732 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁))))
2318, 22mpbird 167 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁))
244, 23eqbrtrd 4022 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4621  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  cr 7798  0cc0 7799  1c1 7800   + caddc 7802   · cmul 7804   < clt 7979  cle 7980   / cdiv 8615  cn 8905  2c2 8956  +crp 9637  seqcseq 10428  cexp 10502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-rp 9638  df-seqfrec 10429  df-exp 10503
This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  11002
  Copyright terms: Public domain W3C validator