Theorem resqrexlemdec 11689

Description: Lemma for resqrex 11704. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdec	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11687	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
5	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
7	6	ffvelcdmda 5811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
8	5, 7	rerpdivcld 10057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
9	7	rpred 10025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
10	1, 2, 3	resqrexlemover 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁)↑2))
11	7	rpcnd 10027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
12	11	sqvald 11028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) = ((𝐹‘𝑁) · (𝐹‘𝑁)))
13	10, 12	breqtrd 4134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑁) · (𝐹‘𝑁)))
14	5, 9, 7	ltdivmuld 10077	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁)) < (𝐹‘𝑁) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘𝑁) · (𝐹‘𝑁))))
15	13, 14	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) < (𝐹‘𝑁))
16	8, 9, 9, 15	ltadd2dd 8692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑁)))
17	11	2timesd 9477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑁)))
18	16, 17	breqtrrd 4136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) < (2 · (𝐹‘𝑁)))
19	9, 8	readdcld 8299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℝ)
20		2rp 9987	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
22	19, 9, 21	ltdivmuld 10077	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2) < (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) < (2 · (𝐹‘𝑁))))
23	18, 22	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2) < (𝐹‘𝑁))
24	4, 23	eqbrtrd 4130	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688   class class class wbr 4108   × cxp 4746  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ∈ cmpo 6051  ℝcr 8122  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   < clt 8304   ≤ cle 8305   / cdiv 8942  ℕcn 9233  2c2 9284  ℝ⁺crp 9982  seqcseq 10805  ↑cexp 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-rp 9983  df-seqfrec 10806  df-exp 10897

This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  11690