ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdec GIF version

Theorem resqrexlemdec 10675
Description: Lemma for resqrex 10690. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdec ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdec
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemfp1 10673 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
52adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
61, 2, 3resqrexlemf 10671 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
76ffvelrnda 5509 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
85, 7rerpdivcld 9414 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
97rpred 9382 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
101, 2, 3resqrexlemover 10674 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
117rpcnd 9384 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
1211sqvald 10314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) = ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
1310, 12breqtrd 3919 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
145, 9, 7ltdivmuld 9434 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁))))
1513, 14mpbird 166 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁))
168, 9, 9, 15ltadd2dd 8103 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
17112timesd 8866 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
1816, 17breqtrrd 3921 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁)))
199, 8readdcld 7719 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
20 2rp 9348 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
2120a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
2219, 9, 21ltdivmuld 9434 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁))))
2318, 22mpbird 166 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁))
244, 23eqbrtrd 3915 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  {csn 3493   class class class wbr 3895   × cxp 4497  cfv 5081  (class class class)co 5728  cmpo 5730  cr 7546  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   · cmul 7552   < clt 7724  cle 7725   / cdiv 8345  cn 8630  2c2 8681  +crp 9343  seqcseq 10111  cexp 10185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-rp 9344  df-seqfrec 10112  df-exp 10186
This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10676
  Copyright terms: Public domain W3C validator