ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absgtap GIF version

Theorem absgtap 11068
Description: Greater-than of absolute value implies apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
absgtap.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
absgtap.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
absgtap.lt (𝜑𝐵 < (abs‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
absgtap (𝜑𝐴 # 𝐵)

Proof of Theorem absgtap
StepHypRef Expression
1 absgtap.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
21rpred 9272 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31rpge0d 9276 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
42, 3absidd 10731 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
5 absgtap.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
65abscld 10745 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7 absgtap.lt . . . . 5 (𝜑𝐵 < (abs‘𝐴))
82, 6, 7ltapd 8210 . . . 4 (𝜑𝐵 # (abs‘𝐴))
94, 8eqbrtrd 3887 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐵) # (abs‘𝐴))
101rpcnd 9274 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 absext 10627 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) # (abs‘𝐴) → 𝐵 # 𝐴))
1210, 5, 11syl2anc 404 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐵) # (abs‘𝐴) → 𝐵 # 𝐴))
139, 12mpd 13 . 2 (𝜑𝐵 # 𝐴)
14 apsym 8180 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 # 𝐴𝐴 # 𝐵))
1510, 5, 14syl2anc 404 . 2 (𝜑 → (𝐵 # 𝐴𝐴 # 𝐵))
1613, 15mpbid 146 1 (𝜑𝐴 # 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 1445   class class class wbr 3867  cfv 5049  cc 7445   < clt 7619   # cap 8155  +crp 9233  abscabs 10561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563
This theorem is referenced by:  georeclim  11071
  Copyright terms: Public domain W3C validator