ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcp1nk GIF version

Theorem bcp1nk 10501
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 and 𝐾 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bcp1nk (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk
StepHypRef Expression
1 elfzel1 9798 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ∈ ℤ)
2 elfzel2 9797 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 9799 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 1zzd 9074 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5 fzaddel 9832 . . . . . 6 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1217 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
76ibi 175 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
8 1e0p1 9216 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq1i 5777 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 + 1))
107, 9eleqtrrdi 2231 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
11 bcm1k 10499 . . 3 ((𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
1210, 11syl 14 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
133zcnd 9167 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 7706 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 7961 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1613, 14, 15sylancl 409 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1716oveq2d 5783 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
18 bcp1n 10500 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
1917, 18eqtrd 2170 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
2016oveq2d 5783 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
2120oveq1d 5782 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))
2219, 21oveq12d 5785 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
23 bcrpcl 10492 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 9478 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
252peano2zd 9169 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2625zred 9166 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
273zred 9166 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
282zred 9166 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 elfzle2 9801 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
3028ltp1d 8681 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3127, 28, 26, 29, 30lelttrd 7880 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 < (𝑁 + 1))
32 znnsub 9098 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
333, 25, 32syl2anc 408 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
3431, 33mpbid 146 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
3526, 34nndivred 8763 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ)
3635recnd 7787 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
3734nnred 8726 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ)
38 elfznn0 9887 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
39 nn0p1nn 9009 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4038, 39syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4137, 40nndivred 8763 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
4241recnd 7787 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
4324, 36, 42mulassd 7782 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))))
4425zcnd 9167 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4534nncnd 8727 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
4640nncnd 8727 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4734nnap0d 8759 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) # 0)
4840nnap0d 8759 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) # 0)
4944, 45, 46, 47, 48dmdcanap2d 8574 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1)))
5049oveq2d 5783 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5143, 50eqtrd 2170 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5222, 51eqtrd 2170 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5312, 52eqtrd 2170 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793  cmin 7926   / cdiv 8425  cn 8713  0cn0 8970  cz 9047  ...cfz 9783  Ccbc 10486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-seqfrec 10212  df-fac 10465  df-bc 10487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator