Theorem subrgsubm 13790

Description: A subring is a submonoid of the multiplicative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgsubm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubm	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem subrgsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	subrgss 13778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
3		eqid 2196	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 13785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
5		subrgrcl 13782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7		subrgsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	6, 7	mgpress 13487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
9	5, 8	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	6	subrgring 13780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
11		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴))
12	11	ringmgp 13558	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ Mnd)
13	10, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ Mnd)
14	9, 13	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
15	7	ringmgp 13558	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
16		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
18		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
19	16, 17, 18	issubm2 13105	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
20	15, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
21	5, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
22	7, 1	mgpbasg 13482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
23	22	sseq2d 3213	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑀)))
24	7, 3	ringidvalg 13517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
25	24	eleq1d 2265	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴))
26	23, 25	3anbi12d 1324	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
27	26	bibi2d 232	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))))
28	5, 27	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))))
29	21, 28	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
30	2, 4, 14, 29	mpbir3and 1182	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678   ↾_s cress 12679  0_gc0g 12927  Mndcmnd 13057  SubMndcsubmnd 13090  mulGrpcmgp 13476  1_rcur 13515  Ringcrg 13552  SubRingcsubrg 13773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-submnd 13092  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-subrg 13775

This theorem is referenced by:  resrhm  13804  resrhm2b  13805  rhmima  13807  lgseisenlem4  15314