Theorem subrgsubm 14267

Description: A subring is a submonoid of the multiplicative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgsubm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubm	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem subrgsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	subrgss 14255	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 14262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
5		subrgrcl 14259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7		subrgsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	6, 7	mgpress 13963	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
9	5, 8	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	6	subrgring 14257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
11		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴))
12	11	ringmgp 14034	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ Mnd)
13	10, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ Mnd)
14	9, 13	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
15	7	ringmgp 14034	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
16		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
17		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
18		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
19	16, 17, 18	issubm2 13574	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
20	15, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
21	5, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
22	7, 1	mgpbasg 13958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
23	22	sseq2d 3257	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑀)))
24	7, 3	ringidvalg 13993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
25	24	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴))
26	23, 25	3anbi12d 1349	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
27	26	bibi2d 232	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))))
28	5, 27	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))))
29	21, 28	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
30	2, 4, 14, 29	mpbir3and 1206	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13100   ↾_s cress 13101  0_gc0g 13357  Mndcmnd 13517  SubMndcsubmnd 13559  mulGrpcmgp 13952  1_rcur 13991  Ringcrg 14028  SubRingcsubrg 14250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-submnd 13561  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-subrg 14252

This theorem is referenced by:  resrhm  14281  resrhm2b  14282  rhmima  14284  lgseisenlem4  15821