Theorem ennnfoneleminc 12653

Description: Lemma for ennnfone 12667. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfoneleminc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.le	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑛,𝐹,𝑗,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9463	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9463	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)
6	2, 4, 5	3jca 1179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄))
7		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
8	7	sseq2d 3214	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))))
10		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑟))
11	10	sseq2d 3214	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))))
13		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑟 + 1)))
14	13	sseq2d 3214	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
16		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑄))
17	16	sseq2d 3214	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
18	17	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))))
19		ssidd 3205	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))
20	19	a1d 22	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
28		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑐))
29	28	neeq2d 2386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐)))
30	29	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
31	30	rexbii 2504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
32		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑏))
33	32	neeq1d 2385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
34	33	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
35	34	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
36	31, 35	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
37	36	ralbii 2503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
38		suceq 4438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → suc 𝑛 = suc 𝑎)
39	38	raleqdv 2699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
40	39	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
41	40	cbvralv 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
42	37, 41	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
43	27, 42	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
48		simplr2 1042	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℤ)
49		0red 8044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ∈ ℝ)
50	1	nn0red 9320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ∈ ℝ)
52	48	zred 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
53	1	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑃)
55		simplr3 1043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ≤ 𝑟)
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
57		elnn0z 9356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
58	48, 56, 57	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 12652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑟) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
60	21, 59	sstrd 3194	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
62	61	expcom 116	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → (𝜑 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
63	62	a2d 26	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9454	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
65	6, 64	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  ifcif 3562  {csn 3623  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  suc csuc 4401  ωcom 4627  ^◡ccnv 4663  dom cdm 4664   “ cima 4667  –onto→wfo 5257  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  freccfrec 6457   ↑_pm cpm 6717  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   ≤ cle 8079   − cmin 8214  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pm 6719  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12656  ennnfonelemrnh  12658