Theorem ennnfoneleminc 13246

Description: Lemma for ennnfone 13260. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfoneleminc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.le	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑛,𝐹,𝑗,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9716	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9716	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)
6	2, 4, 5	3jca 1204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄))
7		fveq2 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
8	7	sseq2d 3272	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))))
10		fveq2 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑟))
11	10	sseq2d 3272	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))))
13		fveq2 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑟 + 1)))
14	13	sseq2d 3272	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
16		fveq2 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑄))
17	16	sseq2d 3272	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
18	17	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))))
19		ssidd 3263	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))
20	19	a1d 22	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
28		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑐))
29	28	neeq2d 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐)))
30	29	cbvralv 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
31	30	rexbii 2551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
32		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑏))
33	32	neeq1d 2432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
34	33	ralbidv 2544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
35	34	cbvrexv 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
36	31, 35	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
37	36	ralbii 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
38		suceq 4528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → suc 𝑛 = suc 𝑎)
39	38	raleqdv 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
40	39	rexbidv 2545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
41	40	cbvralv 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
42	37, 41	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
43	27, 42	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
48		simplr2 1067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℤ)
49		0red 8291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ∈ ℝ)
50	1	nn0red 9571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ∈ ℝ)
52	48	zred 9718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
53	1	nn0ge0d 9573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑃)
55		simplr3 1068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ≤ 𝑟)
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
57		elnn0z 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
58	48, 56, 57	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 13245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑟) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
60	21, 59	sstrd 3252	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
62	61	expcom 116	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → (𝜑 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
63	62	a2d 26	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9707	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
65	6, 64	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ifcif 3624  {csn 3694  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ^◡ccnv 4753  dom cdm 4754   “ cima 4757  –onto→wfo 5355  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ∈ cmpo 6060  freccfrec 6634   ↑_pm cpm 6896  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   ≤ cle 8325   − cmin 8460  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pm 6898  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  13249  ennnfonelemrnh  13251