Theorem ennnfoneleminc 13302

Description: Lemma for ennnfone 13316. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfoneleminc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.le	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑛,𝐹,𝑗,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝐴(𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝑃(𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝐻(𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝑁(𝑗, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)
6	2, 4, 5	3jca 1208	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄))
7		fveq2 5695	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
8	7	sseq2d 3278	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))))
10		fveq2 5695	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑟))
11	10	sseq2d 3278	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))))
13		fveq2 5695	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑟 + 1)))
14	13	sseq2d 3278	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
16		fveq2 5695	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑄))
17	16	sseq2d 3278	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
18	17	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))))
19		ssidd 3269	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))
20	19	a1d 22	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23	22	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
27	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
28		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑐))
29	28	neeq2d 2439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐)))
30	29	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
31	30	rexbii 2557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
32		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑏))
33	32	neeq1d 2438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
34	33	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
35	34	cbvrexv 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
36	31, 35	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
37	36	ralbii 2556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
38		suceq 4547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → suc 𝑛 = suc 𝑎)
39	38	raleqdv 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
40	39	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
41	40	cbvralv 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
42	37, 41	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
43	27, 42	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
48		simplr2 1071	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℤ)
49		0red 8327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ∈ ℝ)
50	1	nn0red 9621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ∈ ℝ)
52	48	zred 9768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
53	1	nn0ge0d 9623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
54	53	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑃)
55		simplr3 1072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ≤ 𝑟)
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
57		elnn0z 9657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
58	48, 56, 57	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 13301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑟) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
60	21, 59	sstrd 3258	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
62	61	expcom 116	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → (𝜑 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
63	62	a2d 26	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9757	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
65	6, 64	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  suc csuc 4510  ωcom 4737  ^◡ccnv 4773  dom cdm 4774   “ cima 4777  –onto→wfo 5375  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  freccfrec 6661   ↑_pm cpm 6923  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   ≤ cle 8361   − cmin 8497  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pm 6925  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  ennnfonelemex  13305  ennnfonelemrnh  13307