ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfoneleminc GIF version

Theorem ennnfoneleminc 12395
Description: Lemma for ennnfone 12409. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfoneleminc.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.q (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.le (𝜑𝑃𝑄)
Assertion
Ref Expression
ennnfoneleminc (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑛,𝐹,𝑗,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfoneleminc
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfoneleminc.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
21nn0zd 9362 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
3 ennnfoneleminc.q . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
43nn0zd 9362 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
5 ennnfoneleminc.le . . 3 (𝜑𝑃𝑄)
62, 4, 53jca 1177 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑄))
7 fveq2 5511 . . . . 5 (𝑤 = 𝑃 → (𝐻𝑤) = (𝐻𝑃))
87sseq2d 3185 . . . 4 (𝑤 = 𝑃 → ((𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤) ↔ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑃)))
98imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑃))))
10 fveq2 5511 . . . . 5 (𝑤 = 𝑟 → (𝐻𝑤) = (𝐻𝑟))
1110sseq2d 3185 . . . 4 (𝑤 = 𝑟 → ((𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤) ↔ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑟 → ((𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟))))
13 fveq2 5511 . . . . 5 (𝑤 = (𝑟 + 1) → (𝐻𝑤) = (𝐻‘(𝑟 + 1)))
1413sseq2d 3185 . . . 4 (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤) ↔ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
1514imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
16 fveq2 5511 . . . . 5 (𝑤 = 𝑄 → (𝐻𝑤) = (𝐻𝑄))
1716sseq2d 3185 . . . 4 (𝑤 = 𝑄 → ((𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤) ↔ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑄)))
1817imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑄 → ((𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑄))))
19 ssidd 3176 . . . 4 (𝑃 ∈ ℤ → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑃))
2019a1d 22 . . 3 (𝑃 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑃)))
21 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟))
22 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2322ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
24 ennnfonelemh.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
2524ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 𝐹:ω–onto𝐴)
26 ennnfonelemh.ne . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
28 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑐 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑐))
2928neeq2d 2366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑐 → ((𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑐)))
3029cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑐))
3130rexbii 2484 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑐))
32 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑏 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑏))
3332neeq1d 2365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐)))
3433ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐)))
3534cbvrexv 2704 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐))
3631, 35bitri 184 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐))
3736ralbii 2483 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐))
38 suceq 4399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑎 → suc 𝑛 = suc 𝑎)
3938raleqdv 2678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑎 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐)))
4039rexbidv 2478 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐)))
4140cbvralv 2703 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐))
4237, 41bitri 184 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐))
4327, 42sylib 122 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑐))
44 ennnfonelemh.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
45 ennnfonelemh.n . . . . . . . 8 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
46 ennnfonelemh.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
47 ennnfonelemh.h . . . . . . . 8 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
48 simplr2 1040 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 𝑟 ∈ ℤ)
49 0red 7949 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 0 ∈ ℝ)
501nn0red 9219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 𝑃 ∈ ℝ)
5248zred 9364 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
531nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
5453ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 0 ≤ 𝑃)
55 simplr3 1041 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 𝑃𝑟)
5649, 51, 52, 54, 55letrd 8071 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
57 elnn0z 9255 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
5848, 56, 57sylanbrc 417 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
5923, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58ennnfonelemss 12394 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → (𝐻𝑟) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
6021, 59sstrd 3165 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) ∧ (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
6160ex 115 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟)) → ((𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
6261expcom 116 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟) → (𝜑 → ((𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟) → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
6362a2d 26 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑟) → ((𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑟)) → (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
649, 12, 15, 18, 20, 63uzind 9353 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃𝑄) → (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑄)))
656, 64mpcom 36 1 (𝜑 → (𝐻𝑃) ⊆ (𝐻𝑄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cun 3127  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  {csn 3591  cop 3594   class class class wbr 4000  cmpt 4061  suc csuc 4362  ωcom 4586  ccnv 4622  dom cdm 4623  cima 4626  ontowfo 5210  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  freccfrec 6385  pm cpm 6643  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805  cle 7983  cmin 8118  0cn0 9165  cz 9242  seqcseq 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pm 6645  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432
This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12398  ennnfonelemrnh  12400
  Copyright terms: Public domain W3C validator