Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  summodclem2 GIF version

Theorem summodclem2 11212
 Description: Lemma for summodc 11213. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summodclem2.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
Assertion
Ref Expression
summodclem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐹   𝜑,𝑘,𝑛   𝐴,𝑓,𝑗,𝑚,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚   𝜑,𝑓,𝑚   𝑥,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛   𝑦,𝑓,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem summodclem2
Dummy variables 𝑎 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5433 . . . . 5 (𝑚 = 𝑎 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑎))
21sseq2d 3134 . . . 4 (𝑚 = 𝑎 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑎)))
31raleqdv 2637 . . . 4 (𝑚 = 𝑎 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴))
4 seqeq1 10281 . . . . 5 (𝑚 = 𝑎 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑎( + , 𝐹))
54breq1d 3949 . . . 4 (𝑚 = 𝑎 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
62, 3, 53anbi123d 1291 . . 3 (𝑚 = 𝑎 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
76cbvrexv 2660 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
8 simplr3 1026 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
9 simplr1 1024 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑎))
10 uzssz 9398 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑎) ⊆ ℤ
119, 10sstrdi 3116 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12 1zzd 9134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 1 ∈ ℤ)
13 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413nnzd 9225 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1512, 14fzfigd 10264 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
16 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
17 f1oeng 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
1815, 16, 17syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
1918ensymd 6689 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
20 enfii 6780 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2115, 19, 20syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
22 zfz1iso 10645 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
2311, 21, 22syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
24 isummo.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
25 simplll 523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝜑)
26 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 eleq1w 2202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
2928dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
30 simpr2 989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴)
3130ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑎)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴)
32 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑎)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑎))
3329, 31, 32rspcdva 2800 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑎)) → DECID 𝑘𝐴)
34 summodclem2.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
35 eqid 2141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵, 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
36 simprll 527 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
37 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑎 ∈ ℤ)
38 simplr1 1024 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑎))
39 simprlr 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
40 simprr 522 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
4124, 27, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40summodclem2a 11211 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
4241expr 373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4342exlimdv 1787 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4423, 43mpd 13 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
45 climuni 11123 . . . . . . . . 9 ((seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
468, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
4746anassrs 398 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
48 eqeq2 2151 . . . . . . 7 (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4947, 48syl5ibrcom 156 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
5049expimpd 361 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
5150exlimdv 1787 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
5251rexlimdva 2554 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
5352r19.29an 2579 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
547, 53sylan2b 285 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 2112  ∀wral 2418  ∃wrex 2419  ⦋csb 3009   ⊆ wss 3078  ifcif 3481   class class class wbr 3939   ↦ cmpt 3999  –1-1-onto→wf1o 5134  ‘cfv 5135   Isom wiso 5136  (class class class)co 5786   ≈ cen 6644  Fincfn 6646  ℂcc 7671  0cc0 7673  1c1 7674   + caddc 7676   < clt 7853   ≤ cle 7854  ℕcn 8773  ℤcz 9107  ℤ≥cuz 9379  ...cfz 9850  seqcseq 10278  ♯chash 10582   ⇝ cli 11108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-oadd 6329  df-er 6441  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-ihash 10583  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109 This theorem is referenced by:  summodc  11213
 Copyright terms: Public domain W3C validator