ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  summodclem2 GIF version

Theorem summodclem2 11361
Description: Lemma for summodc 11362. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summodclem2.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
Assertion
Ref Expression
summodclem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐹   𝜑,𝑘,𝑛   𝐴,𝑓,𝑗,𝑚,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚   𝜑,𝑓,𝑚   𝑥,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛   𝑦,𝑓,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem summodclem2
Dummy variables 𝑎 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5510 . . . . 5 (𝑚 = 𝑎 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑎))
21sseq2d 3185 . . . 4 (𝑚 = 𝑎 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑎)))
31raleqdv 2678 . . . 4 (𝑚 = 𝑎 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴))
4 seqeq1 10421 . . . . 5 (𝑚 = 𝑎 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑎( + , 𝐹))
54breq1d 4010 . . . 4 (𝑚 = 𝑎 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
62, 3, 53anbi123d 1312 . . 3 (𝑚 = 𝑎 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
76cbvrexv 2704 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
8 simplr3 1041 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
9 simplr1 1039 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑎))
10 uzssz 9523 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑎) ⊆ ℤ
119, 10sstrdi 3167 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12 1zzd 9256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 1 ∈ ℤ)
13 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413nnzd 9350 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1512, 14fzfigd 10404 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
16 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
17 f1oeng 6750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
1918ensymd 6776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
20 enfii 6867 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2115, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
22 zfz1iso 10792 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
2311, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
24 isummo.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
25 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝜑)
26 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
2928dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
30 simpr2 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴)
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑎)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴)
32 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑎)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑎))
3329, 31, 32rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑎)) → DECID 𝑘𝐴)
34 summodclem2.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
35 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵, 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵, 0))
36 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
37 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑎 ∈ ℤ)
38 simplr1 1039 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑎))
39 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
40 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
4124, 27, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40summodclem2a 11360 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
4241expr 375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4342exlimdv 1819 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4423, 43mpd 13 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
45 climuni 11272 . . . . . . . . 9 ((seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
468, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
4746anassrs 400 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
48 eqeq2 2187 . . . . . . 7 (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4947, 48syl5ibrcom 157 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
5049expimpd 363 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
5150exlimdv 1819 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
5251rexlimdva 2594 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
5352r19.29an 2619 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑎) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑎)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑎( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
547, 53sylan2b 287 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴 ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  csb 3057  wss 3129  ifcif 3534   class class class wbr 4000  cmpt 4061  1-1-ontowf1o 5210  cfv 5211   Isom wiso 5212  (class class class)co 5868  cen 6731  Fincfn 6733  cc 7787  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792   < clt 7969  cle 7970  cn 8895  cz 9229  cuz 9504  ...cfz 9982  seqcseq 10418  chash 10726  cli 11257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-ihash 10727  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258
This theorem is referenced by:  summodc  11362
  Copyright terms: Public domain W3C validator