Theorem fsum3cvg3 11165

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fisumcvg3.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 9345	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zssre 9061	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3106	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
6	2, 5	eqsstri 3129	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
7	1, 6	sstrdi 3109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		fsumcvg3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fimaxre2 10998	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
11		arch 8974	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
12	11	ad2antrl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 9172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		zmaxcl 10996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
18	16, 14, 17	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	15	nnred 8733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
20	14	zred 9173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		maxle2 10984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
22	19, 20, 21	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
23		eluz2 9332	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1165	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	14	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	1, 2	sseqtrdi 3145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
28	27	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
29	28, 3	sstrdi 3109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
30		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	29, 30	sseldd 3098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
32	25, 26, 31	3jca 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
33	27	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	sselda 3097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzle 9338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑧)
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑧)
37	31	zred 9173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
38	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
39	26	zred 9173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40		simprl 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42		breq1 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑥))
43		simprr 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44	43	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
45	42, 44, 30	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑥)
46		simplrr 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 < 𝑚)
47	41, 38, 46	ltled 7881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑚)
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 7886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑚)
49	20	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		maxle1 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
51	38, 49, 50	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
53	36, 52	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
54		elfz2 9797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
55	32, 53, 54	sylanbrc 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
56	55	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
57	56	ssrdv 3103	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
58		oveq2 5782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
59	58	sseq2d 3127	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
60	59	rspcev 2789	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
61	24, 57, 60	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
62	12, 61	rexlimddv 2554	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
63	10, 62	rexlimddv 2554	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
64	2	eleq2i 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
66	64, 65	sylan2br 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
67	66	adantlr 468	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
68		simprl 520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 468	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
72	71	adantlr 468	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
73		simprr 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 11163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
75		climrel 11049	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
76	75	releldmi 4778	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
77	74, 76	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
78	63, 77	rexlimddv 2554	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 819   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071  ifcif 3474  {cpr 3528   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  supcsup 6869  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620   + caddc 7623   < clt 7800   ≤ cle 7801  ℕcn 8720  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  seqcseq 10218   ⇝ cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  isumlessdc  11265