Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3cvg3 GIF version

Theorem fsum3cvg3 11172
 Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumcvg3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4 (𝜑𝐴𝑍)
fisumcvg3.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
fsumcvg3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg3
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcvg3.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
2 fsumcvg3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssz 9352 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4 zssre 9068 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3106 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
62, 5eqsstri 3129 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℝ
71, 6sstrdi 3109 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 fsumcvg3.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 fimaxre2 11005 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
107, 8, 9syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
11 arch 8981 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
1211ad2antrl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
13 fsumcvg3.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1413ad2antrr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 simprl 520 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615nnzd 9179 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
17 zmaxcl 11003 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1816, 14, 17syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1915nnred 8740 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
2014zred 9180 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 maxle2 10991 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
2219, 20, 21syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
23 eluz2 9339 . . . . . 6 (sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1165 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
2514adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
2618adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
271, 2sseqtrdi 3145 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2827ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2928, 3sstrdi 3109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
30 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3129, 30sseldd 3098 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
3225, 26, 313jca 1161 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
3327ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
3433sselda 3097 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzle 9345 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑧)
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀𝑧)
3731zred 9180 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
3819adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
3926zred 9180 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4140ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
43 simprr 521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4443ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4542, 44, 30rspcdva 2794 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝑥)
46 simplrr 525 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 < 𝑚)
4741, 38, 46ltled 7888 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝑚)
4837, 41, 38, 45, 47letrd 7893 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝑚)
4920adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
50 maxle1 10990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5138, 49, 50syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5237, 38, 39, 48, 51letrd 7893 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5336, 52jca 304 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑀𝑧𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
54 elfz2 9804 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑧𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
5532, 53, 54sylanbrc 413 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
5655ex 114 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → (𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
5756ssrdv 3103 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
58 oveq2 5782 . . . . . . 7 (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
5958sseq2d 3127 . . . . . 6 (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
6059rspcev 2789 . . . . 5 ((sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6124, 57, 60syl2anc 408 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6212, 61rexlimddv 2554 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6310, 62rexlimddv 2554 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
642eleq2i 2206 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
65 fsumcvg3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
6664, 65sylan2br 286 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
6766adantlr 468 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
68 simprl 520 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
69 fsumcvg3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7069adantlr 468 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71 fisumcvg3.dc . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
7271adantlr 468 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
73 simprr 521 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
7467, 68, 70, 72, 73fsum3cvg2 11170 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
75 climrel 11056 . . . 4 Rel ⇝
7675releldmi 4778 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7774, 76syl 14 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7863, 77rexlimddv 2554 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 819   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071  ifcif 3474  {cpr 3528   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  supcsup 6869  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627   + caddc 7630   < clt 7807   ≤ cle 7808  ℕcn 8727  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ...cfz 9797  seqcseq 10225   ⇝ cli 11054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-fz 9798  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055 This theorem is referenced by:  isumlessdc  11272
 Copyright terms: Public domain W3C validator