ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3cvg3 GIF version

Theorem fsum3cvg3 11352
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumcvg3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4 (𝜑𝐴𝑍)
fisumcvg3.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
fsumcvg3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg3
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcvg3.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
2 fsumcvg3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssz 9499 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4 zssre 9212 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3156 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
62, 5eqsstri 3179 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℝ
71, 6sstrdi 3159 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 fsumcvg3.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 fimaxre2 11183 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
107, 8, 9syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
11 arch 9125 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
1211ad2antrl 487 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
13 fsumcvg3.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1413ad2antrr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 simprl 526 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615nnzd 9326 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
17 zmaxcl 11181 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1816, 14, 17syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1915nnred 8884 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
2014zred 9327 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 maxle2 11169 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
2219, 20, 21syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
23 eluz2 9486 . . . . . 6 (sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1176 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
2514adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
2618adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
271, 2sseqtrdi 3195 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2827ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2928, 3sstrdi 3159 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
30 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3129, 30sseldd 3148 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
3225, 26, 313jca 1172 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
3327ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
3433sselda 3147 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzle 9492 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑧)
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀𝑧)
3731zred 9327 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
3819adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
3926zred 9327 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40 simprl 526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4140ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 breq1 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
43 simprr 527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4443ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4542, 44, 30rspcdva 2839 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝑥)
46 simplrr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 < 𝑚)
4741, 38, 46ltled 8031 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝑚)
4837, 41, 38, 45, 47letrd 8036 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝑚)
4920adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
50 maxle1 11168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5138, 49, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5237, 38, 39, 48, 51letrd 8036 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5336, 52jca 304 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑀𝑧𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
54 elfz2 9965 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑧𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
5532, 53, 54sylanbrc 415 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
5655ex 114 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → (𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
5756ssrdv 3153 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
58 oveq2 5859 . . . . . . 7 (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
5958sseq2d 3177 . . . . . 6 (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
6059rspcev 2834 . . . . 5 ((sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6124, 57, 60syl2anc 409 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6212, 61rexlimddv 2592 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6310, 62rexlimddv 2592 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
642eleq2i 2237 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
65 fsumcvg3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
6664, 65sylan2br 286 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
6766adantlr 474 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
68 simprl 526 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
69 fsumcvg3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7069adantlr 474 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71 fisumcvg3.dc . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
7271adantlr 474 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
73 simprr 527 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
7467, 68, 70, 72, 73fsum3cvg2 11350 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
75 climrel 11236 . . . 4 Rel ⇝
7675releldmi 4848 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7774, 76syl 14 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7863, 77rexlimddv 2592 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  DECID wdc 829  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  wss 3121  ifcif 3525  {cpr 3582   class class class wbr 3987  dom cdm 4609  cfv 5196  (class class class)co 5851  Fincfn 6716  supcsup 6957  cc 7765  cr 7766  0cc0 7767   + caddc 7770   < clt 7947  cle 7948  cn 8871  cz 9205  cuz 9480  ...cfz 9958  seqcseq 10394  cli 11234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-er 6511  df-en 6717  df-fin 6719  df-sup 6959  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-rp 9604  df-fz 9959  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235
This theorem is referenced by:  isumlessdc  11452
  Copyright terms: Public domain W3C validator