Theorem fsum3cvg3 10850

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fisumcvg3.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 9099	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zssre 8818	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3035	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
6	2, 5	eqsstri 3057	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
7	1, 6	syl6ss 3038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		fsumcvg3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fimaxre2 10719	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anc 404	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
11		arch 8731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
12	11	ad2antrl 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		simprl 499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 8928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		zmaxcl 10717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
18	16, 14, 17	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	15	nnred 8496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
20	14	zred 8929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		maxle2 10706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
22	19, 20, 21	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
23		eluz2 9086	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	14	adantr 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	18	adantr 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	1, 2	syl6sseq 3073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
28	27	ad3antrrr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
29	28, 3	syl6ss 3038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
30		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	29, 30	sseldd 3027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
32	25, 26, 31	3jca 1124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
33	27	ad2antrr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	sselda 3026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzle 9092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑧)
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑧)
37	31	zred 8929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
38	19	adantr 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
39	26	zred 8929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40		simprl 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42		breq1 3854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑥))
43		simprr 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44	43	ad2antrr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
45	42, 44, 30	rspcdva 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑥)
46		simplrr 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 < 𝑚)
47	41, 38, 46	ltled 7663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑚)
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 7668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑚)
49	20	adantr 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		maxle1 10705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
51	38, 49, 50	syl2anc 404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 7668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
53	36, 52	jca 301	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
54		elfz2 9492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
55	32, 53, 54	sylanbrc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
56	55	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
57	56	ssrdv 3032	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
58		oveq2 5674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
59	58	sseq2d 3055	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
60	59	rspcev 2723	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
61	24, 57, 60	syl2anc 404	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
62	12, 61	rexlimddv 2494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
63	10, 62	rexlimddv 2494	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
64	2	eleq2i 2155	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
66	64, 65	sylan2br 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
67	66	adantlr 462	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
68		simprl 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 462	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
72	71	adantlr 462	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
73		simprr 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 10848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
75		climrel 10729	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
76	75	releldmi 4687	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
77	74, 76	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
78	63, 77	rexlimddv 2494	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 781   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  ∃wrex 2361   ⊆ wss 3000  ifcif 3397  {cpr 3451   class class class wbr 3851  dom cdm 4452  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  Fincfn 6511  supcsup 6731  ℂcc 7409  ℝcr 7410  0cc0 7411   + caddc 7414   < clt 7583   ≤ cle 7584  ℕcn 8483  ℤcz 8811  ℤ_≥cuz 9080  ...cfz 9485  seqcseq 9913   ⇝ cli 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-er 6306  df-en 6512  df-fin 6514  df-sup 6733  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-fz 9486  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728

This theorem is referenced by:  isumlessdc  10951