ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3cvg3 GIF version

Theorem fsum3cvg3 11388
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumcvg3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4 (𝜑𝐴𝑍)
fisumcvg3.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
fsumcvg3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg3
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcvg3.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
2 fsumcvg3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssz 9536 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4 zssre 9249 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3164 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
62, 5eqsstri 3187 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℝ
71, 6sstrdi 3167 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 fsumcvg3.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 fimaxre2 11219 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
107, 8, 9syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
11 arch 9162 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
1211ad2antrl 490 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
13 fsumcvg3.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1413ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 simprl 529 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615nnzd 9363 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
17 zmaxcl 11217 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1816, 14, 17syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1915nnred 8921 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
2014zred 9364 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 maxle2 11205 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
2219, 20, 21syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
23 eluz2 9523 . . . . . 6 (sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1181 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
2514adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
2618adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
271, 2sseqtrdi 3203 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2827ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2928, 3sstrdi 3167 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
30 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3129, 30sseldd 3156 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
3225, 26, 313jca 1177 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
3327ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
3433sselda 3155 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzle 9529 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑧)
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀𝑧)
3731zred 9364 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
3819adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
3926zred 9364 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4140ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
43 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4443ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4542, 44, 30rspcdva 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝑥)
46 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 < 𝑚)
4741, 38, 46ltled 8066 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝑚)
4837, 41, 38, 45, 47letrd 8071 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝑚)
4920adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
50 maxle1 11204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5138, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5237, 38, 39, 48, 51letrd 8071 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
5336, 52jca 306 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑀𝑧𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
54 elfz2 10002 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑧𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
5532, 53, 54sylanbrc 417 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
5655ex 115 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → (𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
5756ssrdv 3161 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
58 oveq2 5877 . . . . . . 7 (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
5958sseq2d 3185 . . . . . 6 (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
6059rspcev 2841 . . . . 5 ((sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6124, 57, 60syl2anc 411 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6212, 61rexlimddv 2599 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
6310, 62rexlimddv 2599 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
642eleq2i 2244 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
65 fsumcvg3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
6664, 65sylan2br 288 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
6766adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
68 simprl 529 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
69 fsumcvg3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7069adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71 fisumcvg3.dc . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
7271adantlr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
73 simprr 531 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
7467, 68, 70, 72, 73fsum3cvg2 11386 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
75 climrel 11272 . . . 4 Rel ⇝
7675releldmi 4862 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7774, 76syl 14 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7863, 77rexlimddv 2599 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129  ifcif 3534  {cpr 3592   class class class wbr 4000  dom cdm 4623  cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  supcsup 6975  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983  cn 8908  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431  cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-fz 9996  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271
This theorem is referenced by:  isumlessdc  11488
  Copyright terms: Public domain W3C validator