Theorem fsum3cvg3 11197

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fisumcvg3.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 9369	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zssre 9085	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3111	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
6	2, 5	eqsstri 3134	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
7	1, 6	sstrdi 3114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		fsumcvg3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fimaxre2 11030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
11		arch 8998	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
12	11	ad2antrl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 9196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		zmaxcl 11028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
18	16, 14, 17	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	15	nnred 8757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
20	14	zred 9197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		maxle2 11016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
22	19, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
23		eluz2 9356	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1166	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	14	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	1, 2	sseqtrdi 3150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
28	27	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
29	28, 3	sstrdi 3114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
30		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	29, 30	sseldd 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
32	25, 26, 31	3jca 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
33	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	sselda 3102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzle 9362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑧)
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑧)
37	31	zred 9197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
38	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
39	26	zred 9197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42		breq1 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑥))
43		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44	43	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
45	42, 44, 30	rspcdva 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑥)
46		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 < 𝑚)
47	41, 38, 46	ltled 7905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑚)
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 7910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑚)
49	20	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		maxle1 11015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
51	38, 49, 50	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 7910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
53	36, 52	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
54		elfz2 9828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
55	32, 53, 54	sylanbrc 414	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
56	55	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
57	56	ssrdv 3108	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
58		oveq2 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
59	58	sseq2d 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
60	59	rspcev 2793	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
61	24, 57, 60	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
62	12, 61	rexlimddv 2557	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
63	10, 62	rexlimddv 2557	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
64	2	eleq2i 2207	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
66	64, 65	sylan2br 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
67	66	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
68		simprl 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
72	71	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
73		simprr 522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 11195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
75		climrel 11081	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
76	75	releldmi 4786	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
77	74, 76	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
78	63, 77	rexlimddv 2557	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076  ifcif 3479  {cpr 3533   class class class wbr 3937  dom cdm 4547  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  Fincfn 6642  supcsup 6877  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644   + caddc 7647   < clt 7824   ≤ cle 7825  ℕcn 8744  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ...cfz 9821  seqcseq 10249   ⇝ cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-fz 9822  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080

This theorem is referenced by:  isumlessdc  11297