Theorem fsum3cvg3 11337

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fisumcvg3.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 9485	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zssre 9198	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3151	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
6	2, 5	eqsstri 3174	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
7	1, 6	sstrdi 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		fsumcvg3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fimaxre2 11168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
11		arch 9111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
12	11	ad2antrl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑚)
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 9312	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		zmaxcl 11166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
18	16, 14, 17	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	15	nnred 8870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
20	14	zred 9313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		maxle2 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
22	19, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
23		eluz2 9472	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	14	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	1, 2	sseqtrdi 3190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
28	27	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
29	28, 3	sstrdi 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
30		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	29, 30	sseldd 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
32	25, 26, 31	3jca 1167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
33	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	sselda 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzle 9478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑧)
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑧)
37	31	zred 9313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
38	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
39	26	zred 9313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42		breq1 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑥))
43		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44	43	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
45	42, 44, 30	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑥)
46		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 < 𝑚)
47	41, 38, 46	ltled 8017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑚)
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 8022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝑚)
49	20	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		maxle1 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
51	38, 49, 50	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 8022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))
53	36, 52	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
54		elfz2 9951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
55	32, 53, 54	sylanbrc 414	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
56	55	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
57	56	ssrdv 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
58		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < )))
59	58	sseq2d 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))))
60	59	rspcev 2830	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup({𝑚, 𝑀}, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
61	24, 57, 60	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
62	12, 61	rexlimddv 2588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
63	10, 62	rexlimddv 2588	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
64	2	eleq2i 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
66	64, 65	sylan2br 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
67	66	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
68		simprl 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
72	71	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
73		simprr 522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 11335	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
75		climrel 11221	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
76	75	releldmi 4843	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
77	74, 76	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
78	63, 77	rexlimddv 2588	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ⊆ wss 3116  ifcif 3520  {cpr 3577   class class class wbr 3982  dom cdm 4604  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  supcsup 6947  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753   + caddc 7756   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  seqcseq 10380   ⇝ cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-fz 9945  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  isumlessdc  11437