Theorem unitsubm 14083

Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitsubm.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitsubm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		unitsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		ringsrg 14010	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	1, 3, 4	unitssd 14073	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2229	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	2, 6	1unit 14071	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
8		unitsubm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8	oveq1i 6011	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
10	2, 9	unitgrp 14080	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
11	10	grpmndd 13546	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
12	8	ringmgp 13965	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
14		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
15		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = (𝑀 ↾s 𝑈)
16	13, 14, 15	issubm2 13506	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
17	12, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
18		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	8, 18	mgpbasg 13889	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
20	19	sseq2d 3254	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀)))
21	8, 6	ringidvalg 13924	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
22	21	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈))
23	20, 22	3anbi12d 1347	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
24	17, 23	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
25	5, 7, 11, 24	mpbir3and 1204	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  Basecbs 13032   ↾_s cress 13033  0_gc0g 13289  Mndcmnd 13449  SubMndcsubmnd 13491  mulGrpcmgp 13883  1_rcur 13922  Ringcrg 13959  Unitcui 14050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-tpos 6391  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-submnd 13493  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-cmn 13823  df-abl 13824  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-srg 13927  df-ring 13961  df-oppr 14031  df-dvdsr 14052  df-unit 14053

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752