Theorem unitsubm 14399

Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitsubm.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitsubm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		unitsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		ringsrg 14325	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	1, 3, 4	unitssd 14389	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2238	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	2, 6	1unit 14387	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
8		unitsubm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8	oveq1i 6085	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
10	2, 9	unitgrp 14396	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
11	10	grpmndd 13795	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
12	8	ringmgp 14280	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
14		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
15		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = (𝑀 ↾s 𝑈)
16	13, 14, 15	issubm2 13757	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
17	12, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
18		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	8, 18	mgpbasg 14200	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
20	19	sseq2d 3278	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀)))
21	8, 6	ringidvalg 14239	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
22	21	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈))
23	20, 22	3anbi12d 1354	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
24	17, 23	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
25	5, 7, 11, 24	mpbir3and 1211	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330   ↾_s cress 13331  0_gc0g 13587  Mndcmnd 13706  SubMndcsubmnd 13742  mulGrpcmgp 14194  1_rcur 14237  Ringcrg 14274  Unitcui 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-tpos 6506  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-submnd 13744  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-cmn 14066  df-abl 14067  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-srg 14242  df-ring 14276  df-oppr 14346  df-dvdsr 14368  df-unit 14369

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106