Theorem unitsubm 13996

Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitsubm.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitsubm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2208	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		unitsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		ringsrg 13924	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	1, 3, 4	unitssd 13986	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2207	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	2, 6	1unit 13984	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
8		unitsubm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8	oveq1i 5977	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
10	2, 9	unitgrp 13993	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
11	10	grpmndd 13460	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
12	8	ringmgp 13879	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
14		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
15		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = (𝑀 ↾s 𝑈)
16	13, 14, 15	issubm2 13420	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
17	12, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
18		eqid 2207	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	8, 18	mgpbasg 13803	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
20	19	sseq2d 3231	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀)))
21	8, 6	ringidvalg 13838	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀))
22	21	eleq1d 2276	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈))
23	20, 22	3anbi12d 1326	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
24	17, 23	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
25	5, 7, 11, 24	mpbir3and 1183	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Basecbs 12947   ↾_s cress 12948  0_gc0g 13203  Mndcmnd 13363  SubMndcsubmnd 13405  mulGrpcmgp 13797  1_rcur 13836  Ringcrg 13873  Unitcui 13964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-tpos 6354  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-submnd 13407  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-cmn 13737  df-abl 13738  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-srg 13841  df-ring 13875  df-oppr 13945  df-dvdsr 13966  df-unit 13967

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665