Theorem subcand 8439

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
subcand.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
subcand	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem subcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcand.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐶))
2		negidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subaddd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		subcan 8342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
7	1, 6	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5956  ℂcc 7938   − cmin 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-setind 4592  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-sub 8260

This theorem is referenced by:  4sqlemffi  12789  gausslemma2dlem1f1o  15607