Theorem 4sqlemffi 12914

Description: Lemma for 4sq 12928. ran 𝐹 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlemafi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sqlemafi.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4sqlemafi.a	⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
4sqlemffi.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
4sqlemffi	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁,𝑢   𝑃,𝑚,𝑢   𝜑,𝑚,𝑢   𝑣,𝐴   𝑣,𝑃   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑚)   𝐹(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem 4sqlemffi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlemffi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))
2	1	funmpt2 5356	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
3		funrel 5334	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Rel 𝐹
5		4sqlemafi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		peano2zm 9480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10		4sqlemafi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
12		elfzelz 10217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
14		zsqcl 10827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
16	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
17	15, 16	zmodcld 10562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
20	11, 19	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ ℤ)
21	20	rexlimdva2 2651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) → 𝑢 ∈ ℤ))
22	21	abssdv 3298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
23	10, 22	eqsstrid 3270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	sselda 3224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℤ)
25	9, 24	zsubcld 9570	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ)
26	25	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ)
27	8	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
29	24	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ ℤ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9566	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 ∈ ℂ)
32	23	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
33		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	32, 33	sseldd 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥))
38	28, 31, 36, 37	subcand 8494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 = 𝑥)
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥))
40	39	ralrimivva 2612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥))
41		oveq2 6008	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥))
42	1, 41	f1mpt 5894	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→ℤ ↔ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥)))
43	26, 40, 42	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℤ)
44		df-f1 5322	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→ℤ ↔ (𝐹:𝐴⟶ℤ ∧ Fun ◡𝐹))
45	43, 44	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ℤ ∧ Fun ◡𝐹))
46	45	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
47	1, 25	dmmptd 5453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
48		4sqlemafi.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
49	48, 5, 10	4sqlemafi 12913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 49	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ Fin)
51		fundmfibi 7101	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
52	2, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin)
53	50, 52	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
54		funrnfi 7105	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
55	4, 46, 53, 54	mp3an2i 1376	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   ↦ cmpt 4144  ^◡ccnv 4717  dom cdm 4718  ran crn 4719  Rel wrel 4723  Fun wfun 5311  ⟶wf 5313  –1-1→wf1 5314  (class class class)co 6000  Fincfn 6885  ℂcc 7993  0cc0 7995  1c1 7996   − cmin 8313  ℕcn 9106  2c2 9157  ℤcz 9442  ...cfz 10200   mod cmo 10539  ↑cexp 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756

This theorem is referenced by:  4sqlem11  12919