Theorem 4sqlemffi 12534

Description: Lemma for 4sq 12548. ran 𝐹 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlemafi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sqlemafi.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4sqlemafi.a	⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
4sqlemffi.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
4sqlemffi	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁,𝑢   𝑃,𝑚,𝑢   𝜑,𝑚,𝑢   𝑣,𝐴   𝑣,𝑃   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑚)   𝐹(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem 4sqlemffi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlemffi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))
2	1	funmpt2 5293	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
3		funrel 5271	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Rel 𝐹
5		4sqlemafi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		peano2zm 9355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10		4sqlemafi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
12		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
14		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
16	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
17	15, 16	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
20	11, 19	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ ℤ)
21	20	rexlimdva2 2614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) → 𝑢 ∈ ℤ))
22	21	abssdv 3253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
23	10, 22	eqsstrid 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	sselda 3179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℤ)
25	9, 24	zsubcld 9444	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ)
26	25	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ)
27	8	zcnd 9440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
29	24	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ ℤ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 ∈ ℂ)
32	23	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
33		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	32, 33	sseldd 3180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 9440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥))
38	28, 31, 36, 37	subcand 8371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 = 𝑥)
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥))
40	39	ralrimivva 2576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥))
41		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥))
42	1, 41	f1mpt 5814	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→ℤ ↔ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥)))
43	26, 40, 42	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℤ)
44		df-f1 5259	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→ℤ ↔ (𝐹:𝐴⟶ℤ ∧ Fun ◡𝐹))
45	43, 44	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ℤ ∧ Fun ◡𝐹))
46	45	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
47	1, 25	dmmptd 5384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
48		4sqlemafi.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
49	48, 5, 10	4sqlemafi 12533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 49	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ Fin)
51		fundmfibi 6997	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
52	2, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin)
53	50, 52	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
54		funrnfi 7001	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
55	4, 46, 53, 54	mp3an2i 1353	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153   ↦ cmpt 4090  ^◡ccnv 4658  dom cdm 4659  ran crn 4660  Rel wrel 4664  Fun wfun 5248  ⟶wf 5250  –1-1→wf1 5251  (class class class)co 5918  Fincfn 6794  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   − cmin 8190  ℕcn 8982  2c2 9033  ℤcz 9317  ...cfz 10074   mod cmo 10393  ↑cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  4sqlem11  12539