Theorem 4sqlemffi 12565

Description: Lemma for 4sq 12579. ran 𝐹 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlemafi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sqlemafi.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4sqlemafi.a	⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
4sqlemffi.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
4sqlemffi	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁,𝑢   𝑃,𝑚,𝑢   𝜑,𝑚,𝑢   𝑣,𝐴   𝑣,𝑃   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑚)   𝐹(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem 4sqlemffi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlemffi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))
2	1	funmpt2 5297	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
3		funrel 5275	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Rel 𝐹
5		4sqlemafi.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		peano2zm 9364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10		4sqlemafi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
12		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
14		zsqcl 10702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
16	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
17	15, 16	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
20	11, 19	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ ℤ)
21	20	rexlimdva2 2617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) → 𝑢 ∈ ℤ))
22	21	abssdv 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
23	10, 22	eqsstrid 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	sselda 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℤ)
25	9, 24	zsubcld 9453	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ)
26	25	ralrimiva 2570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ)
27	8	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
29	24	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ ℤ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 ∈ ℂ)
32	23	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
33		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	32, 33	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥))
38	28, 31, 36, 37	subcand 8378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥)) → 𝑣 = 𝑥)
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥))
40	39	ralrimivva 2579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥))
41		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥))
42	1, 41	f1mpt 5818	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→ℤ ↔ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑃 − 1) − 𝑣) ∈ ℤ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑃 − 1) − 𝑣) = ((𝑃 − 1) − 𝑥) → 𝑣 = 𝑥)))
43	26, 40, 42	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℤ)
44		df-f1 5263	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→ℤ ↔ (𝐹:𝐴⟶ℤ ∧ Fun ◡𝐹))
45	43, 44	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ℤ ∧ Fun ◡𝐹))
46	45	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
47	1, 25	dmmptd 5388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
48		4sqlemafi.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
49	48, 5, 10	4sqlemafi 12564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 49	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ Fin)
51		fundmfibi 7004	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
52	2, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin)
53	50, 52	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
54		funrnfi 7008	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
55	4, 46, 53, 54	mp3an2i 1353	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   ↦ cmpt 4094  ^◡ccnv 4662  dom cdm 4663  ran crn 4664  Rel wrel 4668  Fun wfun 5252  ⟶wf 5254  –1-1→wf1 5255  (class class class)co 5922  Fincfn 6799  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   − cmin 8197  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326  ...cfz 10083   mod cmo 10414  ↑cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  4sqlem11  12570