ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subne0d GIF version

Theorem subne0d 8105
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. See also subap0d 8429 which is the same thing for apartness rather than negated equality. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
subne0d (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 negidd.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 pncand.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 subeq0 8011 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
65necon3bid 2350 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴𝐵))
71, 6mpbird 166 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309  (class class class)co 5781  cc 7641  0cc0 7643  cmin 7956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958
This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10199
  Copyright terms: Public domain W3C validator