ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subne0d GIF version

Theorem subne0d 8280
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. See also subap0d 8604 which is the same thing for apartness rather than negated equality. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
subne0d (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 negidd.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 pncand.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 subeq0 8186 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
65necon3bid 2388 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴𝐵))
71, 6mpbird 167 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  (class class class)co 5878  cc 7812  0cc0 7814  cmin 8131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133
This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10399
  Copyright terms: Public domain W3C validator