Theorem subap0d 8552

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subap0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subap0d.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subap0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		subap0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subap0d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subap0 8551	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))
6	1, 5	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  ℂcc 7761  0cc0 7763   − cmin 8079   # cap 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-ltxr 7948  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490

This theorem is referenced by:  abssubap0  11043  climuni  11245  pwm1geoserap1  11460  geolim  11463  geolim2  11464  georeclim  11465  geoisum1c  11472  tanaddap  11691  cnopnap  13349  limcimo  13389  dvlemap  13404  dvconst  13416  dvid  13417  dvcnp2cntop  13418  dvaddxxbr  13420  dvmulxxbr  13421  dvcoapbr  13426  dvcjbr  13427  dvrecap  13432  dvef  13443