Theorem subap0d 8017

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subap0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subap0d.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subap0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		subap0d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subap0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	negcld 7683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
5		apadd1 7985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
7	1, 6	mpbid 145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵))
8	2, 3	negsubd 7702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	3	negidd 7686	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐵) = 0)
10	7, 8, 9	3brtr3d 3840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  ℂcc 7251  0cc0 7253   + caddc 7256   − cmin 7556  -cneg 7557   # cap 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959

This theorem is referenced by:  abssubap0  10350  climuni  10506