Theorem subap0d 8981

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subap0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subap0d.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subap0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		subap0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subap0d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subap0 8980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))
6	1, 5	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186   − cmin 8505   # cap 8918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919

This theorem is used by:  abssubap0  11880  climuni  12085  pwm1geoserap1  12301  geolim  12304  geolim2  12305  georeclim  12306  geoisum1c  12313  tanaddap  12532  cnopnap  15849  limcimo  15903  dvlemap  15918  dvconst  15932  dvid  15933  dvconstre  15934  dvidre  15935  dvconstss  15936  dvcnp2cntop  15937  dvaddxxbr  15939  dvmulxxbr  15940  dvcoapbr  15945  dvcjbr  15946  dvrecap  15951  dvef  15965