Theorem subap0d 8779

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subap0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subap0d.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subap0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		subap0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subap0d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subap0 8778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))
6	1, 5	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  0cc0 7987   − cmin 8305   # cap 8716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717

This theorem is referenced by:  abssubap0  11587  climuni  11790  pwm1geoserap1  12005  geolim  12008  geolim2  12009  georeclim  12010  geoisum1c  12017  tanaddap  12236  cnopnap  15270  limcimo  15324  dvlemap  15339  dvconst  15353  dvid  15354  dvconstre  15355  dvidre  15356  dvconstss  15357  dvcnp2cntop  15358  dvaddxxbr  15360  dvmulxxbr  15361  dvcoapbr  15366  dvcjbr  15367  dvrecap  15372  dvef  15386