Theorem subap0d 8399

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subap0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subap0d.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subap0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		subap0d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subap0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	negcld 8053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
5		apadd1 8363	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
7	1, 6	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵))
8	2, 3	negsubd 8072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	3	negidd 8056	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐵) = 0)
10	7, 8, 9	3brtr3d 3954	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613   + caddc 7616   − cmin 7926  -cneg 7927   # cap 8336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337

This theorem is referenced by:  abssubap0  10855  climuni  11055  pwm1geoserap1  11270  geolim  11273  geolim2  11274  georeclim  11275  geoisum1c  11282  tanaddap  11435  cnopnap  12752  limcimo  12792  dvlemap  12807  dvconst  12819  dvid  12820  dvcnp2cntop  12821  dvaddxxbr  12823  dvmulxxbr  12824  dvcoapbr  12829  dvcjbr  12830  dvrecap  12835  dvef  12845