Theorem suppvalfn 6443

Description: The value of the operation constructing the support of a function with a given domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalfn	⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍})

Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝑖,𝐹

Proof of Theorem suppvalfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5455	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
2	1	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → Fun 𝐹)
3		fnex 5908	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
4	3	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
5		simp3 1026	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
6		suppval1 6441	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍})
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍})
8		fndm 5457	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → dom 𝐹 = 𝑋)
9	8	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → dom 𝐹 = 𝑋)
10	9	rabeqdv 2809	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍} = {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍})
11	7, 10	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  {crab 2526  Vcvv 2815  dom cdm 4751  Fun wfun 5348   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   supp csupp 6437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-supp 6438

This theorem is referenced by:  elsuppfn  6445  rrgsupp  14428