Theorem upgr1elem1 15763

Description: Lemma for upgr1edc 15764. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1elem.s	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
upgr1elem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
upgr1elem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
upgr1elem.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
upgr1elem1	⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem upgr1elem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4051	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 1o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 1o))
2		breq1 4051	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
3	1, 2	orbi12d 795	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ↔ ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)))
4		upgr1elem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
5		upgr1elem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		upgr1elem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7		upgr1elem.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
8		pr1or2 7313	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ DECID 𝐵 = 𝐶) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
10	3, 4, 9	elrabd 2933	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
11	10	snssd 3781	1 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489   ⊆ wss 3168  {csn 3635  {cpr 3636   class class class wbr 4048  1_oc1o 6505  2_oc2o 6506   ≈ cen 6835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-1o 6512  df-2o 6513  df-er 6630  df-en 6838

This theorem is referenced by:  upgr1edc  15764