Theorem upgr1elem1 16227

Description: Lemma for upgr1edc 16228. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1elem.s	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
upgr1elem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
upgr1elem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
upgr1elem.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
upgr1elem1	⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem upgr1elem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4117	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 1o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 1o))
2		breq1 4117	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
3	1, 2	orbi12d 801	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ↔ ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)))
4		upgr1elem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
5		upgr1elem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		upgr1elem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7		upgr1elem.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
8		pr1or2 7504	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ DECID 𝐵 = 𝐶) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
10	3, 4, 9	elrabd 2978	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
11	10	snssd 3844	1 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   ⊆ wss 3214  {csn 3694  {cpr 3695   class class class wbr 4114  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989

This theorem is referenced by:  upgr1edc  16228  uspgr1edc  16347