Theorem upgr1elem1 16041

Description: Lemma for upgr1edc 16042. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1elem.s	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
upgr1elem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
upgr1elem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
upgr1elem.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
upgr1elem1	⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem upgr1elem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 1o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 1o))
2		breq1 4096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
3	1, 2	orbi12d 801	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ↔ ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)))
4		upgr1elem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
5		upgr1elem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		upgr1elem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7		upgr1elem.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
8		pr1or2 7442	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ DECID 𝐵 = 𝐶) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 1o ∨ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
10	3, 4, 9	elrabd 2965	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
11	10	snssd 3823	1 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   ⊆ wss 3201  {csn 3673  {cpr 3674   class class class wbr 4093  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ≈ cen 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953

This theorem is referenced by:  upgr1edc  16042  uspgr1edc  16161