Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxleim GIF version

Theorem xrmaxleim 11074
 Description: Value of maximum when we know which extended real is larger. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxleim ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵))

Proof of Theorem xrmaxleim
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9642 . . . 4 ((𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 275 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 simplr 520 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 prid2g 3638 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
53, 4syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
6 simpllr 524 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴𝐵)
7 xrlenlt 7882 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
87ad3antrrr 484 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
96, 8mpbid 146 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
10 breq2 3943 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
1110notbid 657 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1211adantl 275 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
139, 12mpbird 166 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
14 xrltnr 9625 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
1514ad4antlr 487 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
16 breq2 3943 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐵 < 𝑦𝐵 < 𝐵))
1716notbid 657 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐵))
1817adantl 275 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐵))
1915, 18mpbird 166 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
20 elpri 3557 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
2120adantl 275 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
2213, 19, 21mpjaodan 788 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
232, 3, 5, 22supmaxti 6908 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵)
2423ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2112  {cpr 3535   class class class wbr 3939  supcsup 6886  ℝ*cxr 7852   < clt 7853   ≤ cle 7854 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-apti 7788 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-br 3940  df-opab 4000  df-xp 4557  df-cnv 4559  df-iota 5100  df-riota 5742  df-sup 6888  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859 This theorem is referenced by:  xrmaxltsup  11088  xrmaxadd  11091  xrmineqinf  11099
 Copyright terms: Public domain W3C validator