Theorem xrmaxleim 11220

Description: Value of maximum when we know which extended real is larger. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxleim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵))

Proof of Theorem xrmaxleim

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9768	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		prid2g 3694	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
6		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		xrlenlt 7996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
9	6, 8	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
10		breq2 4002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐵 < 𝑦 ↔ 𝐵 < 𝐴))
11	10	notbid 667	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
13	9, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
14		xrltnr 9750	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
15	14	ad4antlr 495	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
16		breq2 4002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐵 < 𝑦 ↔ 𝐵 < 𝐵))
17	16	notbid 667	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐵))
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐵))
19	15, 18	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
20		elpri 3612	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
21	20	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
22	13, 19, 21	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
23	2, 3, 5, 22	supmaxti 6993	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵)
24	23	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  {cpr 3590   class class class wbr 3998  supcsup 6971  ℝ^*cxr 7965   < clt 7966   ≤ cle 7967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-apti 7901

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-cnv 4628  df-iota 5170  df-riota 5821  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972

This theorem is referenced by:  xrmaxltsup  11234  xrmaxadd  11237  xrmineqinf  11245