Theorem 2zinfmin 11265

Description: Two ways to express the minimum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2zinfmin	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem 2zinfmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		zre 9271	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		mingeb 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
7	6	iftrued 3553	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
8	5, 7	eqtr4d 2223	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵))
9		mincom 11251	. . . 4 ⊢ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < )
10	2	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		zltnle 9313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
13	12	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
14	13	biimpar 297	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
15	10, 11, 14	ltled 8090	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
16		mingeb 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐵))
17	10, 11, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐵))
18	15, 17	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = 𝐵)
19	9, 18	eqtrid 2232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)
20		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
21	20	iffalsed 3556	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
22	19, 21	eqtr4d 2223	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵))
23		zdcle 9343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
24		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
25	23, 24	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
26	8, 22, 25	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ifcif 3546  {cpr 3605   class class class wbr 4015  infcinf 6996  ℝcr 7824   < clt 8006   ≤ cle 8007  ℤcz 9267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022

This theorem is referenced by:  pc2dvds  12343