Theorem xrmaxiflemcl 11427

Description: Lemma for xrmaxif 11433. Closure. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxiflemcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xrmaxiflemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8096	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	6	ad4antr 494	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
9		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
10		elxr 9868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	3, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
12	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
13	8, 9, 12	ecase23d 1361	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		simp-4r 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
15		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
16		elxr 9868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
17	6, 16	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18	17	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
19	14, 15, 18	ecase23d 1361	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
20		maxcl 11392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	13, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 8093	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
23		xrmnfdc 9935	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)
24	23	ad4antr 494	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → DECID 𝐴 = -∞)
25	7, 22, 24	ifcldadc 3591	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ*)
26		xrpnfdc 9934	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = +∞)
27	3, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → DECID 𝐴 = +∞)
28	27	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → DECID 𝐴 = +∞)
29	5, 25, 28	ifcldadc 3591	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))) ∈ ℝ*)
30		xrmnfdc 9935	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → DECID 𝐵 = -∞)
31	30	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → DECID 𝐵 = -∞)
32	4, 29, 31	ifcldadc 3591	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))) ∈ ℝ*)
33		xrpnfdc 9934	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → DECID 𝐵 = +∞)
34	6, 33	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → DECID 𝐵 = +∞)
35	2, 32, 34	ifcldadc 3591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) ∈ ℝ*)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ifcif 3562  {cpr 3624  supcsup 7057  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075  -∞cmnf 8076  ℝ^*cxr 8077   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181

This theorem is referenced by:  xrmaxiflemlub  11430  xrmaxiflemval  11432  xrmaxcl  11434