Theorem 0finOLD 9139

Description: Obsolete version of 0fi 9015 as of 13-Jan-2025. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0finOLD	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0finOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7867	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		ssid 3971	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ∅
3		ssnnfi 9138	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  ωcom 7844  Fincfn 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-om 7845  df-en 8921  df-fin 8924

This theorem is referenced by: (None)