Theorem peano1 7710

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 7710 through peano5 7714 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7703	. 2 ⊢ Lim ω
2		0ellim 6313	. 2 ⊢ (Lim ω → ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ∅ ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∅c0 4253  Lim wlim 6252  ωcom 7687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-om 7688

This theorem is referenced by:  onnseq  8146  rdg0  8223  fr0g  8237  seqomlem3  8253  oa1suc  8323  o2p2e4  8333  om1  8335  oe1  8337  nna0r  8402  nnm0r  8403  nnmcl  8405  nnecl  8406  nnmsucr  8418  nnaword1  8422  nnaordex  8431  1onn  8432  oaabs2  8439  nnm1  8442  nneob  8446  omopth  8452  snfi  8788  0fin  8916  0sdom1dom  8950  findcard2OLD  8986  nnunifi  8995  unblem2  8997  infn0  9006  unfilem3  9010  dffi3  9120  inf0  9309  infeq5i  9324  axinf2  9328  dfom3  9335  infdifsn  9345  noinfep  9348  cantnflt  9360  cnfcomlem  9387  cnfcom  9388  cnfcom2lem  9389  cnfcom3lem  9391  cnfcom3  9392  trpredpred  9406  trcl  9417  rankdmr1  9490  rankeq0b  9549  cardlim  9661  infxpenc  9705  infxpenc2  9709  alephgeom  9769  alephfplem4  9794  ackbij1lem13  9919  ackbij1  9925  ackbij1b  9926  ominf4  9999  fin23lem16  10022  fin23lem31  10030  fin23lem40  10038  isf32lem9  10048  isf34lem7  10066  isf34lem6  10067  fin1a2lem6  10092  fin1a2lem7  10093  fin1a2lem11  10097  axdc3lem2  10138  axdc3lem4  10140  axdc4lem  10142  axcclem  10144  axdclem2  10207  pwfseqlem5  10350  omina  10378  wunex3  10428  1lt2pi  10592  1nn  11914  om2uzrani  13600  uzrdg0i  13607  fzennn  13616  axdc4uzlem  13631  hash1  14047  fnpr2o  17185  fvpr0o  17187  ltbwe  21155  2ndcdisj2  22516  snct  30950  goelel3xp  33210  satfv0  33220  satfv1  33225  satf0  33234  satf00  33236  satf0suclem  33237  sat1el2xp  33241  fmla0  33244  fmlasuc0  33246  fmla1  33249  gonan0  33254  gonar  33257  goalr  33259  satffunlem1lem2  33265  satffunlem1  33269  satefvfmla0  33280  prv0  33292  nnuni  33595  brttrcl2  33700  ttrcltr  33702  rnttrcl  33708  0hf  34406  neibastop2lem  34476  bj-rdg0gALT  35169  rdgeqoa  35468  exrecfnlem  35477  finxp0  35489