Theorem peano1 7581

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 7581 through peano5 7585 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7575	. 2 ⊢ Lim ω
2		0ellim 6221	. 2 ⊢ (Lim ω → ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ∅ ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243  Lim wlim 6160  ωcom 7560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-om 7561

This theorem is referenced by:  onnseq  7964  rdg0  8040  fr0g  8054  seqomlem3  8071  oa1suc  8139  o2p2e4  8149  om1  8151  oe1  8153  nna0r  8218  nnm0r  8219  nnmcl  8221  nnecl  8222  nnmsucr  8234  nnaword1  8238  nnaordex  8247  1onn  8248  oaabs2  8255  nnm1  8258  nneob  8262  omopth  8268  snfi  8577  0sdom1dom  8700  0fin  8730  findcard2  8742  nnunifi  8753  unblem2  8755  infn0  8764  unfilem3  8768  dffi3  8879  inf0  9068  infeq5i  9083  axinf2  9087  dfom3  9094  infdifsn  9104  noinfep  9107  cantnflt  9119  cnfcomlem  9146  cnfcom  9147  cnfcom2lem  9148  cnfcom3lem  9150  cnfcom3  9151  trcl  9154  rankdmr1  9214  rankeq0b  9273  cardlim  9385  infxpenc  9429  infxpenc2  9433  alephgeom  9493  alephfplem4  9518  ackbij1lem13  9643  ackbij1  9649  ackbij1b  9650  ominf4  9723  fin23lem16  9746  fin23lem31  9754  fin23lem40  9762  isf32lem9  9772  isf34lem7  9790  isf34lem6  9791  fin1a2lem6  9816  fin1a2lem7  9817  fin1a2lem11  9821  axdc3lem2  9862  axdc3lem4  9864  axdc4lem  9866  axcclem  9868  axdclem2  9931  pwfseqlem5  10074  omina  10102  wunex3  10152  1lt2pi  10316  1nn  11636  om2uzrani  13315  uzrdg0i  13322  fzennn  13331  axdc4uzlem  13346  hash1  13761  fnpr2o  16822  fvpr0o  16824  ltbwe  20712  2ndcdisj2  22062  snct  30475  goelel3xp  32708  satfv0  32718  satfv1  32723  satf0  32732  satf00  32734  satf0suclem  32735  sat1el2xp  32739  fmla0  32742  fmlasuc0  32744  fmla1  32747  gonan0  32752  gonar  32755  goalr  32757  satffunlem1lem2  32763  satffunlem1  32767  satefvfmla0  32778  prv0  32790  trpredpred  33180  0hf  33751  neibastop2lem  33821  rdgeqoa  34787  exrecfnlem  34796  finxp0  34808