Theorem 0fi 8979

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) Avoid ax-10 2146, ax-un 7680. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0fi	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7831	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		en0 8955	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq2 5102	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ ≈ 𝑥 ↔ ∅ ≈ ∅))
6	5	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
7	1, 4, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥
8		isfi 8912	. 2 ⊢ (∅ ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
9	7, 8	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ωcom 7808   ≈ cen 8880  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-om 7809  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  snfi  8980  ssfi  9097  cnvfi  9100  fnfi  9102  nneneq  9130  nfielex  9174  imafiOLD  9216  fodomfib  9229  iunfi  9243  fczfsuppd  9289  fsuppun  9290  0fsupp  9293  r1fin  9685  acndom  9961  numwdom  9969  ackbij1lem18  10146  sdom2en01  10212  fin23lem26  10235  isfin1-3  10296  gchxpidm  10580  fzfi  13895  fzofi  13897  hasheq0  14286  hashxp  14357  lcmf0  16561  0hashbc  16935  acsfn0  17583  isdrs2  18229  fpwipodrs  18463  symgfisg  19397  dsmm0cl  21695  mplsubg  21957  mpllss  21958  psrbag0  22017  mat0dimbas0  22410  mat0dim0  22411  mat0dimid  22412  mat0dimscm  22413  mat0dimcrng  22414  mat0scmat  22482  mavmul0  22496  mavmul0g  22497  mdet0pr  22536  m1detdiag  22541  d0mat2pmat  22682  chpmat0d  22778  fctop  22948  cmpfi  23352  bwth  23354  comppfsc  23476  ptbasid  23519  cfinfil  23837  ufinffr  23873  fin1aufil  23876  alexsubALTlem2  23992  alexsubALTlem4  23994  ptcmplem2  23997  tsmsfbas  24072  xrge0gsumle  24778  xrge0tsms  24779  fta1  26272  uhgr0edgfi  29313  fusgrfisbase  29401  vtxdg0e  29548  wwlksnfi  29979  mptiffisupp  32772  hashxpe  32887  xrge0tsmsd  33155  elrgspnlem4  33327  extvfvcl  33701  vieta  33736  esumnul  34205  esum0  34206  esumcst  34220  esumsnf  34221  esumpcvgval  34235  sibf0  34491  eulerpartlemt  34528  derang0  35363  topdifinffinlem  37552  matunitlindf  37819  0totbnd  37974  heiborlem6  38017  mzpcompact2lem  42993  rp-isfinite6  43759  0pwfi  45304  fouriercn  46476  rrxtopn0  46537  salexct  46578  sge0rnn0  46612  sge00  46620  sge0sn  46623  ovn0val  46794  ovn02  46812  hoidmv0val  46827  hoidmvle  46844  hoiqssbl  46869  von0val  46915  vonhoire  46916  vonioo  46926  vonicc  46929  vonsn  46935  lcoc0  48668  lco0  48673