Theorem 0fi 9046

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) Avoid ax-10 2179, ax-un 7742. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0fi	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7891	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		en0 9021	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq2 5115	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ ≈ 𝑥 ↔ ∅ ≈ ∅))
6	5	rspcev 3583	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
7	1, 4, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥
8		isfi 8978	. 2 ⊢ (∅ ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
9	7, 8	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ωcom 7868   ≈ cen 8946  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-om 7869  df-en 8950  df-fin 8953

This theorem is used by:  snfi  9047  ssfi  9164  cnvfi  9167  fnfi  9169  nneneq  9197  nfielex  9241  fodomfib  9295  iunfi  9307  fczfsuppd  9353  fsuppun  9354  0fsupp  9357  r1fin  9752  acndom  10051  numwdom  10059  ackbij1lem18  10235  sdom2en01  10301  fin23lem26  10324  isfin1-3  10385  gchxpidm  10669  fzfi  14026  fzofi  14028  hasheq0  14417  hashxp  14489  lcmf0  16714  0hashbc  17089  acsfn0  17738  isdrs2  18384  fpwipodrs  18618  symgfisg  19582  dsmm0cl  21940  mplsubg  22201  mpllss  22202  psrbag0  22263  mat0dimbas0  22673  mat0dim0  22674  mat0dimid  22675  mat0dimscm  22676  mat0dimcrng  22677  mat0scmat  22745  mavmul0  22759  mavmul0g  22760  mdet0pr  22799  m1detdiag  22804  d0mat2pmat  22945  chpmat0d  23041  fctop  23211  cmpfi  23615  bwth  23617  comppfsc  23740  ptbasid  23783  cfinfil  24101  ufinffr  24137  fin1aufil  24140  alexsubALTlem2  24256  alexsubALTlem4  24258  ptcmplem2  24261  tsmsfbas  24336  xrge0gsumle  25042  xrge0tsms  25043  fta1  26520  uhgr0edgfi  29648  fusgrfisbase  29736  vtxdg0e  29882  wwlksnfi  30322  mptiffisupp  33109  hashxpe  33222  xrge0tsmsd  33457  elrgspnlem4  33629  0mplrim  33968  extvfvcl  33990  vieta  34034  esumnul  34502  esum0  34503  esumcst  34517  esumsnf  34518  esumpcvgval  34532  sibf0  34789  eulerpartlemt  34826  derang0  35698  topdifinffinlem  38050  matunitlindf  38326  0totbnd  38482  heiborlem6  38525  mzpcompact2lem  43540  rp-isfinite6  44302  0pwfi  45837  fouriercn  47004  rrxtopn0  47065  salexct  47106  sge0rnn0  47140  sge00  47148  sge0sn  47151  ovn0val  47322  ovn02  47340  hoidmv0val  47355  hoidmvle  47372  hoiqssbl  47397  von0val  47443  vonhoire  47444  vonioo  47454  vonicc  47457  vonsn  47463  lcoc0  49259  lco0  49264