Theorem 0fi 9038

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) Avoid ax-10 2182, ax-un 7733. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0fi	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7884	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		en0 9014	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq2 5117	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ ≈ 𝑥 ↔ ∅ ≈ ∅))
6	5	rspcev 3590	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
7	1, 4, 6	mp2an 704	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥
8		isfi 8971	. 2 ⊢ (∅ ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
9	7, 8	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ωcom 7861   ≈ cen 8939  Fincfn 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-mo 2573  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-om 7862  df-en 8943  df-fin 8946

This theorem is referenced by:  snfi  9039  ssfi  9156  cnvfi  9159  fnfi  9161  nneneq  9189  nfielex  9233  fodomfib  9287  iunfi  9299  fczfsuppd  9345  fsuppun  9346  0fsupp  9349  r1fin  9744  acndom  10034  numwdom  10042  ackbij1lem18  10218  sdom2en01  10285  fin23lem26  10308  isfin1-3  10369  gchxpidm  10653  fzfi  14007  fzofi  14009  hasheq0  14398  hashxp  14470  lcmf0  16691  0hashbc  17066  acsfn0  17715  isdrs2  18361  fpwipodrs  18595  symgfisg  19537  dsmm0cl  21858  mplsubg  22119  mpllss  22120  psrbag0  22181  mat0dimbas0  22591  mat0dim0  22592  mat0dimid  22593  mat0dimscm  22594  mat0dimcrng  22595  mat0scmat  22663  mavmul0  22677  mavmul0g  22678  mdet0pr  22717  m1detdiag  22722  d0mat2pmat  22863  chpmat0d  22959  fctop  23129  cmpfi  23533  bwth  23535  comppfsc  23657  ptbasid  23700  cfinfil  24018  ufinffr  24054  fin1aufil  24057  alexsubALTlem2  24173  alexsubALTlem4  24175  ptcmplem2  24178  tsmsfbas  24253  xrge0gsumle  24959  xrge0tsms  24960  fta1  26437  uhgr0edgfi  29530  fusgrfisbase  29618  vtxdg0e  29764  wwlksnfi  30195  mptiffisupp  32978  hashxpe  33092  xrge0tsmsd  33333  elrgspnlem4  33505  0mplrim  33848  extvfvcl  33870  vieta  33914  esumnul  34382  esum0  34383  esumcst  34397  esumsnf  34398  esumpcvgval  34412  sibf0  34668  eulerpartlemt  34705  derang0  35559  topdifinffinlem  37880  matunitlindf  38156  0totbnd  38311  heiborlem6  38354  mzpcompact2lem  43373  rp-isfinite6  44135  0pwfi  45670  fouriercn  46837  rrxtopn0  46898  salexct  46939  sge0rnn0  46973  sge00  46981  sge0sn  46984  ovn0val  47155  ovn02  47173  hoidmv0val  47188  hoidmvle  47205  hoiqssbl  47230  von0val  47276  vonhoire  47277  vonioo  47287  vonicc  47290  vonsn  47296  lcoc0  49086  lco0  49091