Theorem 0fi 8967

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) Avoid ax-10 2142, ax-un 7671. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0fi	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7822	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		en0 8943	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ ∅ ↔ ∅ = ∅)
4	2, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
5		breq2 5096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ ≈ 𝑥 ↔ ∅ ≈ ∅))
6	5	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
7	1, 4, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥
8		isfi 8901	. 2 ⊢ (∅ ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ≈ 𝑥)
9	7, 8	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  ωcom 7799   ≈ cen 8869  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-om 7800  df-en 8873  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  snfi  8968  ssfi  9087  cnvfi  9090  fnfi  9092  nneneq  9120  nfielex  9163  imafiOLD  9205  fodomfib  9219  iunfi  9233  fczfsuppd  9276  fsuppun  9277  0fsupp  9280  r1fin  9669  acndom  9945  numwdom  9953  ackbij1lem18  10130  sdom2en01  10196  fin23lem26  10219  isfin1-3  10280  gchxpidm  10563  fzfi  13879  fzofi  13881  hasheq0  14270  hashxp  14341  lcmf0  16545  0hashbc  16919  acsfn0  17566  isdrs2  18212  fpwipodrs  18446  symgfisg  19347  dsmm0cl  21647  mplsubg  21909  mpllss  21910  psrbag0  21967  mat0dimbas0  22351  mat0dim0  22352  mat0dimid  22353  mat0dimscm  22354  mat0dimcrng  22355  mat0scmat  22423  mavmul0  22437  mavmul0g  22438  mdet0pr  22477  m1detdiag  22482  d0mat2pmat  22623  chpmat0d  22719  fctop  22889  cmpfi  23293  bwth  23295  comppfsc  23417  ptbasid  23460  cfinfil  23778  ufinffr  23814  fin1aufil  23817  alexsubALTlem2  23933  alexsubALTlem4  23935  ptcmplem2  23938  tsmsfbas  24013  xrge0gsumle  24720  xrge0tsms  24721  fta1  26214  uhgr0edgfi  29185  fusgrfisbase  29273  vtxdg0e  29420  wwlksnfi  29851  mptiffisupp  32635  hashxpe  32752  xrge0tsmsd  33015  elrgspnlem4  33185  esumnul  34015  esum0  34016  esumcst  34030  esumsnf  34031  esumpcvgval  34045  sibf0  34302  eulerpartlemt  34339  derang0  35142  topdifinffinlem  37321  matunitlindf  37598  0totbnd  37753  heiborlem6  37796  mzpcompact2lem  42724  rp-isfinite6  43491  0pwfi  45037  fouriercn  46213  rrxtopn0  46274  salexct  46315  sge0rnn0  46349  sge00  46357  sge0sn  46360  ovn0val  46531  ovn02  46549  hoidmv0val  46564  hoidmvle  46581  hoiqssbl  46606  von0val  46652  vonhoire  46653  vonioo  46663  vonicc  46666  vonsn  46672  lcoc0  48407  lco0  48412