MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnfi 9207
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 4111 . 2 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
2 pssnn 9206 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
3 elnn 7897 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
43expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ω))
54anim1d 611 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝐵𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥)))
65reximdv2 3161 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
82, 7mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
9 isfi 9014 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
108, 9sylibr 234 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11 eleq1 2826 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
1211biimparc 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
13 nnfi 9205 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
1510, 14jaodan 959 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
161, 15sylan2b 594 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  wss 3962  wpss 3963   class class class wbr 5147  ωcom 7886  cen 8980  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-om 7887  df-en 8984  df-fin 8987
This theorem is referenced by:  0finOLD  9208  ssfiALT  9212  en1eqsnOLD  9306  isfinite2  9331  wofib  9582  infpwfien  10099  fin67  10432  hashcard  14390  rexpen  16260
  Copyright terms: Public domain W3C validator