Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnfi 8454
 Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 3934 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
2 pssnn 8453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
3 elnn 7341 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
43expcom 404 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ω))
54anim1d 604 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝐵𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥)))
65reximdv2 3222 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
76adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
82, 7mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
9 eleq1 2894 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
109biimparc 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
11 enrefg 8260 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → 𝐵𝐵)
1211ancli 544 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵𝐵))
13 breq2 4879 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵𝑥𝐵𝐵))
1413rspcev 3526 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
1510, 12, 143syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
168, 15jaodan 985 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
171, 16sylan2b 587 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
18 isfi 8252 . 2 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
1917, 18sylibr 226 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118   ⊆ wss 3798   ⊊ wpss 3799   class class class wbr 4875  ωcom 7331   ≈ cen 8225  Fincfn 8228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-om 7332  df-en 8229  df-fin 8232 This theorem is referenced by:  ssfi  8455  0fin  8463  en1eqsn  8465  isfinite2  8493  pwfi  8536  wofib  8726  infpwfien  9205  fin67  9539  hashcard  13443  rexpen  15338
 Copyright terms: Public domain W3C validator