Theorem ssnnfi 9209

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4102	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		pssnn 9208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥)
3		elnn 7898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
4	3	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ω))
5	4	anim1d 611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥)))
6	5	reximdv2 3164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
9		isfi 9016	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	11	biimparc 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
13		nnfi 9207	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
15	10, 14	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
16	1, 15	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952   class class class wbr 5143  ωcom 7887   ≈ cen 8982  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  0finOLD  9210  ssfiALT  9214  en1eqsnOLD  9309  isfinite2  9334  wofib  9585  infpwfien  10102  fin67  10435  hashcard  14394  rexpen  16264