MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnfi 8728
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 4061 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
2 pssnn 8727 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
3 elnn 7580 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
43expcom 417 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ω))
54anim1d 613 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝐵𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥)))
65reximdv2 3264 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
76adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
82, 7mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
9 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
109biimparc 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
11 enrefg 8531 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → 𝐵𝐵)
12 breq2 5056 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵𝑥𝐵𝐵))
1312rspcev 3609 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
1410, 11, 13syl2anc2 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
158, 14jaodan 955 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
161, 15sylan2b 596 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
17 isfi 8523 . 2 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
1816, 17sylibr 237 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  wss 3919  wpss 3920   class class class wbr 5052  ωcom 7570  cen 8496  Fincfn 8499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-om 7571  df-en 8500  df-fin 8503
This theorem is referenced by:  ssfi  8729  0fin  8737  en1eqsn  8739  isfinite2  8767  pwfi  8810  wofib  9000  infpwfien  9480  fin67  9809  hashcard  13717  rexpen  15577
  Copyright terms: Public domain W3C validator