MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnfi 9209
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 4102 . 2 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
2 pssnn 9208 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
3 elnn 7898 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
43expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ω))
54anim1d 611 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝐵𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥)))
65reximdv2 3164 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
82, 7mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
9 isfi 9016 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
108, 9sylibr 234 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11 eleq1 2829 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
1211biimparc 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
13 nnfi 9207 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
1510, 14jaodan 960 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
161, 15sylan2b 594 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  wss 3951  wpss 3952   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cen 8982  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  0finOLD  9210  ssfiALT  9214  en1eqsnOLD  9309  isfinite2  9334  wofib  9585  infpwfien  10102  fin67  10435  hashcard  14394  rexpen  16264
  Copyright terms: Public domain W3C validator