Theorem ssnnfi 9223

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4032	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		pssnn 9222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥)
3		elnn 7922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
4	3	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ω))
5	4	anim1d 623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥)))
6	5	reximdv2 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
8	2, 7	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
9		isfi 9040	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	11	biimparc 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
13		nnfi 9221	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
15	10, 14	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
16	1, 15	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   class class class wbr 5108  ωcom 7911   ≈ cen 9008  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-om 7912  df-en 9012  df-fin 9015

This theorem is used by:  ssfiALT  9227  isfinite2  9328  wofib  9576  infpwfien  10180  fin67  10512  hashcard  14540  rexpen  16440