MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnfi 9175
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 4099 . 2 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
2 pssnn 9174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
3 elnn 7870 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
43expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ω))
54anim1d 610 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝐵𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥)))
65reximdv2 3163 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
82, 7mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
9 isfi 8978 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
108, 9sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11 eleq1 2820 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
1211biimparc 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
13 nnfi 9173 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
1510, 14jaodan 955 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
161, 15sylan2b 593 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  wss 3948  wpss 3949   class class class wbr 5148  ωcom 7859  cen 8942  Fincfn 8945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-om 7860  df-en 8946  df-fin 8949
This theorem is referenced by:  0fin  9177  ssfiALT  9180  en1eqsnOLD  9281  isfinite2  9307  pwfiOLD  9353  wofib  9546  infpwfien  10063  fin67  10396  hashcard  14322  rexpen  16178
  Copyright terms: Public domain W3C validator