MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnfi 9168
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 4094 . 2 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
2 pssnn 9167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
3 elnn 7862 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
43expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ω))
54anim1d 610 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝐵𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥)))
65reximdv2 3158 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
82, 7mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
9 isfi 8971 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
108, 9sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11 eleq1 2815 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
1211biimparc 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
13 nnfi 9166 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
1510, 14jaodan 954 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
161, 15sylan2b 593 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064  wss 3943  wpss 3944   class class class wbr 5141  ωcom 7851  cen 8935  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-om 7852  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  0fin  9170  ssfiALT  9173  en1eqsnOLD  9274  isfinite2  9300  pwfiOLD  9346  wofib  9539  infpwfien  10056  fin67  10389  hashcard  14318  rexpen  16176
  Copyright terms: Public domain W3C validator