Theorem ssnnfi 9090

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4051	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		pssnn 9089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥)
3		elnn 7816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
4	3	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ω))
5	4	anim1d 611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥)))
6	5	reximdv2 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
9		isfi 8908	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	11	biimparc 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
13		nnfi 9088	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
15	10, 14	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
16	1, 15	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   ⊊ wpss 3899   class class class wbr 5095  ωcom 7805   ≈ cen 8876  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-om 7806  df-en 8880  df-fin 8883

This theorem is referenced by:  ssfiALT  9094  isfinite2  9193  wofib  9442  infpwfien  9964  fin67  10297  hashcard  14269  rexpen  16144