MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragcgr 28225
Description: Right angle and colinearity. Theorem 8.10 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
israg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
israg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
israg.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
israg.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
israg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
israg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
ragcgr.c ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
ragcgr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
ragcgr.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
ragcgr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
ragcgr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
ragcgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
ragcgr (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))

Proof of Theorem ragcgr
StepHypRef Expression
1 eqidd 2731 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐷 = 𝐷)
2 israg.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 israg.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 israg.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 israg.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 israg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
87adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
9 israg.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
109adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
11 ragcgr.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1211adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
13 ragcgr.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1413adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
15 ragcgr.c . . . . . 6 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
16 israg.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1716adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
18 ragcgr.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1918adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
20 ragcgr.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
2120adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
222, 3, 4, 15, 6, 17, 8, 10, 19, 12, 14, 21cgr3simp2 28039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
23 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐡 = 𝐢)
242, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 23tgcgreq 28000 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐸 = 𝐹)
25 eqidd 2731 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ 𝐹 = 𝐹)
261, 24, 25s3eqd 14819 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΉπΉβ€βŸ©)
27 israg.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
28 israg.s . . . 4 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
292, 3, 4, 27, 28, 6, 19, 14, 12ragtrivb 28220 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ βŸ¨β€œπ·πΉπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
3026, 29eqeltrd 2831 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
31 ragcgr.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
3231adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
335adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3416adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
357adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
369adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
372, 3, 4, 27, 28, 33, 34, 35, 36israg 28215 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ))))
3832, 37mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)))
3913adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
4018adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
4111adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
4220adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
432, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42cgr3simp3 28040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
442, 3, 4, 33, 36, 34, 39, 40, 43tgcgrcomlr 27998 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
45 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘†β€˜π΅) = (π‘†β€˜π΅)
462, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36mircl 28179 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
47 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘†β€˜πΈ) = (π‘†β€˜πΈ)
482, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39mircl 28179 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ) ∈ 𝑃)
49 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
5049necomd 2994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
512, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36mirbtwn 28176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)𝐼𝐢))
522, 3, 4, 33, 46, 35, 36, 51tgbtwncom 28006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)))
532, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39mirbtwn 28176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐸 ∈ (((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ)𝐼𝐹))
542, 3, 4, 33, 48, 41, 39, 53tgbtwncom 28006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ)))
552, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42cgr3simp2 28039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
562, 3, 4, 33, 35, 36, 41, 39, 55tgcgrcomlr 27998 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
572, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36mircgr 28175 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐡 βˆ’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
582, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39mircgr 28175 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐸 βˆ’ ((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ)) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
5955, 57, 583eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐡 βˆ’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)) = (𝐸 βˆ’ ((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ)))
602, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42cgr3simp1 28038 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
612, 3, 4, 33, 34, 35, 40, 41, 60tgcgrcomlr 27998 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
622, 3, 4, 33, 36, 35, 46, 39, 41, 48, 34, 40, 50, 52, 54, 56, 59, 43, 61axtg5seg 27983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ) βˆ’ 𝐴) = (((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ) βˆ’ 𝐷))
632, 3, 4, 33, 46, 34, 48, 40, 62tgcgrcomlr 27998 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 βˆ’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)) = (𝐷 βˆ’ ((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ)))
6438, 44, 633eqtr3d 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐹) = (𝐷 βˆ’ ((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ)))
652, 3, 4, 27, 28, 33, 40, 41, 39israg 28215 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐷 βˆ’ 𝐹) = (𝐷 βˆ’ ((π‘†β€˜πΈ)β€˜πΉ))))
6664, 65mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6730, 66pm2.61dane 3027 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  βŸ¨β€œcs3 14797  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  LineGclng 27952  cgrGccgrg 28028  pInvGcmir 28170  βˆŸGcrag 28211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkg 27971  df-cgrg 28029  df-mir 28171  df-rag 28212
This theorem is referenced by:  motrag  28226  footexALT  28236  footexlem1  28237  footexlem2  28238
  Copyright terms: Public domain W3C validator