Theorem ragcgr 28641

Description: Right angle and colinearity. Theorem 8.10 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragcgr.c	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
ragcgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
ragcgr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
ragcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
ragcgr.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragcgr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
ragcgr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐷)
2		israg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		israg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		israg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		israg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		israg.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		israg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		ragcgr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
13		ragcgr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		ragcgr.c	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
16		israg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		ragcgr.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
20		ragcgr.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
22	2, 3, 4, 15, 6, 17, 8, 10, 19, 12, 14, 21	cgr3simp2 28455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
24	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 23	tgcgreq 28416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐹)
25		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐹 = 𝐹)
26	1, 24, 25	s3eqd 14837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐹𝐹”⟩)
27		israg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
28		israg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
29	2, 3, 4, 27, 28, 6, 19, 14, 12	ragtrivb 28636	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐷𝐹𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
30	26, 29	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
31		ragcgr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
34	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
35	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	2, 3, 4, 27, 28, 33, 34, 35, 36	israg 28631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
38	32, 37	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
39	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
40	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
41	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
42	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
43	2, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42	cgr3simp3 28456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
44	2, 3, 4, 33, 36, 34, 39, 40, 43	tgcgrcomlr 28414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
45		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
46	2, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36	mircl 28595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
47		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐸) = (𝑆‘𝐸)
48	2, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39	mircl 28595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐸)‘𝐹) ∈ 𝑃)
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
50	49	necomd 2981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
51	2, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36	mirbtwn 28592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
52	2, 3, 4, 33, 46, 35, 36, 51	tgbtwncom 28422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
53	2, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39	mirbtwn 28592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐸 ∈ (((𝑆‘𝐸)‘𝐹)𝐼𝐹))
54	2, 3, 4, 33, 48, 41, 39, 53	tgbtwncom 28422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
55	2, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42	cgr3simp2 28455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
56	2, 3, 4, 33, 35, 36, 41, 39, 55	tgcgrcomlr 28414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
57	2, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36	mircgr 28591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐵 − 𝐶))
58	2, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39	mircgr 28591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐸 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)) = (𝐸 − 𝐹))
59	55, 57, 58	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐸 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
60	2, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42	cgr3simp1 28454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
61	2, 3, 4, 33, 34, 35, 40, 41, 60	tgcgrcomlr 28414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
62	2, 3, 4, 33, 36, 35, 46, 39, 41, 48, 34, 40, 50, 52, 54, 56, 59, 43, 61	axtg5seg 28399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐸)‘𝐹) − 𝐷))
63	2, 3, 4, 33, 46, 34, 48, 40, 62	tgcgrcomlr 28414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
64	38, 44, 63	3eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
65	2, 3, 4, 27, 28, 33, 40, 41, 39	israg 28631	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 − 𝐹) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹))))
66	64, 65	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
67	30, 66	pm2.61dane 3013	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ⟨“cs3 14815  Basecbs 17186  distcds 17236  TarskiGcstrkg 28361  Itvcitv 28367  LineGclng 28368  cgrGccgrg 28444  pInvGcmir 28586  ∟Gcrag 28627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-trkgc 28382  df-trkgb 28383  df-trkgcb 28384  df-trkg 28387  df-cgrg 28445  df-mir 28587  df-rag 28628

This theorem is referenced by:  motrag  28642  footexALT  28652  footexlem1  28653  footexlem2  28654