Theorem ragcgr 29164

Description: Right angle and colinearity. Theorem 8.10 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragcgr.c	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
ragcgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
ragcgr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
ragcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
ragcgr.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragcgr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
ragcgr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐷)
2		israg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		israg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		israg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		israg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		israg.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		israg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		ragcgr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
13		ragcgr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		ragcgr.c	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
16		israg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		ragcgr.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
20		ragcgr.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
22	2, 3, 4, 15, 6, 17, 8, 10, 19, 12, 14, 21	cgr3simp2 28966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
23		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
24	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 23	tgcgreq 28926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐹)
25		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐹 = 𝐹)
26	1, 24, 25	s3eqd 14995	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐹𝐹”⟩)
27		israg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
28		israg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
29	2, 3, 4, 27, 28, 6, 19, 14, 12	ragtrivb 29159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐷𝐹𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
30	26, 29	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
31		ragcgr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
34	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
35	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	2, 3, 4, 27, 28, 33, 34, 35, 36	israg 29154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
38	32, 37	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
39	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
40	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
41	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
42	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
43	2, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42	cgr3simp3 28967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
44	2, 3, 4, 33, 36, 34, 39, 40, 43	tgcgrcomlr 28924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
45		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
46	2, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36	mircl 29115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
47		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐸) = (𝑆‘𝐸)
48	2, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39	mircl 29115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐸)‘𝐹) ∈ 𝑃)
49		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
50	49	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
51	2, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36	mirbtwn 29112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
52	2, 3, 4, 33, 46, 35, 36, 51	tgbtwncom 28933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
53	2, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39	mirbtwn 29112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐸 ∈ (((𝑆‘𝐸)‘𝐹)𝐼𝐹))
54	2, 3, 4, 33, 48, 41, 39, 53	tgbtwncom 28933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
55	2, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42	cgr3simp2 28966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
56	2, 3, 4, 33, 35, 36, 41, 39, 55	tgcgrcomlr 28924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
57	2, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36	mircgr 29111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐵 − 𝐶))
58	2, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39	mircgr 29111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐸 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)) = (𝐸 − 𝐹))
59	55, 57, 58	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐸 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
60	2, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42	cgr3simp1 28965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
61	2, 3, 4, 33, 34, 35, 40, 41, 60	tgcgrcomlr 28924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
62	2, 3, 4, 33, 36, 35, 46, 39, 41, 48, 34, 40, 50, 52, 54, 56, 59, 43, 61	axtg5seg 28909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐸)‘𝐹) − 𝐷))
63	2, 3, 4, 33, 46, 34, 48, 40, 62	tgcgrcomlr 28924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
64	38, 44, 63	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹)))
65	2, 3, 4, 27, 28, 33, 40, 41, 39	israg 29154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 − 𝐹) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐸)‘𝐹))))
66	64, 65	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
67	30, 66	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ⟨“cs3 14973  Basecbs 17367  distcds 17417  TarskiGcstrkg 28871  Itvcitv 28877  LineGclng 28878  cgrGccgrg 28955  pInvGcmir 29106  ∟Gcrag 29150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-trkgc 28892  df-trkgb 28893  df-trkgcb 28894  df-trkg 28897  df-cgrg 28956  df-mir 29107  df-rag 29151

This theorem is used by:  motrag  29165  footexALT  29175  footexlem1  29176  footexlem2  29177  cgrarag  29326