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Theorem miriso 26464
Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
Assertion
Ref Expression
miriso (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem miriso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
21oveq1d 7150 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝑌))
3 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 mirval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
12 mirfv.m . . . 4 𝑀 = (𝑆𝐴)
13 miriso.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑌𝑃)
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 26451 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
16 miriso.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
181eqcomd 2804 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
1918oveq2d 7151 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝑋))
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 26285 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 26453 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = (𝑀𝑋))
2221oveq1d 7150 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
232, 15, 223eqtr2rd 2840 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
248adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2625ad6antr 735 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2827ad6antr 735 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2916adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑋𝑃)
3029ad8antr 739 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
3110adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐴𝑃)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3332ad6antr 735 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3413adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑌𝑃)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑌𝑃)
3635ad6antr 735 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌𝑃)
37 simp-4r 783 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑧𝑃)
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 26455 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
4039ad6antr 735 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 26455 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
4241ad8antr 739 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 26452 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑋))
44 simp-7r 789 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
4544simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥))
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 26288 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 26282 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼𝐴))
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 26282 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 26282 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀𝑋)))
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 26290 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
51 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
5251simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧))
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 26288 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝐴𝐼𝑧))
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 26282 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑧𝐼𝐴))
55 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → 𝑦𝑃)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
573, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 26452 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑌))
58 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
5958simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦))
603, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59tgbtwnexch3 26288 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝑦))
613, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60tgbtwncom 26282 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
623, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 26451 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝐴 𝑋))
6358simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))
643, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63tgcgrcomlr 26274 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑌) = (𝐴 𝑋))
6562, 64eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝑦 𝑌))
6651simprd 499 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))
673, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66tgcgrextend 26279 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝑦 𝐴))
6844simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))
6968eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = (𝑋 𝑥))
703, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69tgcgrextend 26279 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑥))
7167, 70eqtr2d 2834 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
723, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71tgcgrcomlr 26274 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑧 𝐴))
7362eqcomd 2804 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑋)))
743, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73tgcgrcomlr 26274 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑋) 𝐴))
75 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑡𝑃)
763, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59tgbtwncom 26282 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
773, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57tgbtwncom 26282 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼(𝑀𝑌)))
783, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77tgbtwnexch2 26290 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
79 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
8079simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡))
813, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch3 26288 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝐴𝐼𝑡))
823, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81tgbtwncom 26282 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑡𝐼𝐴))
833, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68tgcgrcomlr 26274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 𝑌))
843, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mircgr 26451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
8583, 84eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
8679simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))
8786eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝑡))
883, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87tgcgrextend 26279 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝐴 𝑡))
893, 4, 5, 26, 33, 75axtgcgrrflx 26256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝑡 𝐴))
9088, 89eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑡 𝐴))
913, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90tgcgrcomlr 26274 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑡))
9270, 91, 893eqtrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝑡 𝐴))
933, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84tgcgrcomlr 26274 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝐴) = (𝑌 𝐴))
9493eqcomd 2804 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝐴))
953, 4, 5, 26, 75, 37axtgcgrrflx 26256 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑡 𝑧) = (𝑧 𝑡))
96 simp-9r 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝐴)
9796neneqd 2992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑋 = 𝐴)
9826adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9933adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
10030adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
10146adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
102 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
103102oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝐴))
104101, 103eleqtrd 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
1053, 4, 5, 98, 99, 100, 104axtgbtwnid 26260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
106105eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
10797, 106mtand 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108107neqned 2994 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝐴)
1093, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 26292 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑧))
1103, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch 26292 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑡))
1113, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110tgbtwncom 26282 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑡𝐼𝑦))
1123, 4, 5, 26, 56, 33axtgcgrrflx 26256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑦))
11367, 112eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝐴 𝑦))
1143, 4, 5, 26, 28, 75axtgcgrrflx 26256 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑡) = (𝑡 𝑥))
11591eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝐴 𝑥))
1163, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115axtg5seg 26259 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑧 𝑡) = (𝑦 𝑥))
11795, 116eqtr2d 2834 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑥) = (𝑡 𝑧))
1183, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71tgifscgr 26302 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑥) = ((𝑀𝑌) 𝑧))
1193, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118tgcgrcomlr 26274 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑌) = (𝑧 (𝑀𝑌)))
12084eqcomd 2804 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑌) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
1213, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120tgifscgr 26302 . . . . . . 7 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
122121eqcomd 2804 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
123 simp-6l 786 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝜑𝑋𝐴))
124 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
12524ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
126 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
12741ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
12829ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
12931ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
1303, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129axtgsegcon 26258 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
131123, 55, 124, 130syl21anc 836 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
132122, 131r19.29a 3248 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1333, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32axtgsegcon 26258 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
134133ad2antrr 725 . . . . 5 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
135132, 134r19.29a 3248 . . . 4 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1363, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31axtgsegcon 26258 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
137136ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
138135, 137r19.29a 3248 . . 3 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1393, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31axtgsegcon 26258 . . 3 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑥𝑃 (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
140138, 139r19.29a 3248 . 2 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
14123, 140pm2.61dane 3074 1 (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wrex 3107  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  LineGclng 26231  pInvGcmir 26446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-mir 26447
This theorem is referenced by:  mirbtwni  26465  mircgrs  26467  mirmot  26469  miduniq  26479  ragcom  26492  colperpexlem1  26524  lmiisolem  26590  hypcgrlem2  26594  hypcgr  26595
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