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Theorem miriso 28692
Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
Assertion
Ref Expression
miriso (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem miriso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
21oveq1d 7445 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝑌))
3 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 mirval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
12 mirfv.m . . . 4 𝑀 = (𝑆𝐴)
13 miriso.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑌𝑃)
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 28679 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
16 miriso.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
181eqcomd 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
1918oveq2d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝑋))
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 28513 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 28681 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = (𝑀𝑋))
2221oveq1d 7445 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
232, 15, 223eqtr2rd 2781 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
248adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2625ad6antr 736 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2827ad6antr 736 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2916adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑋𝑃)
3029ad8antr 740 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
3110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐴𝑃)
3231ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3332ad6antr 736 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑌𝑃)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑌𝑃)
3635ad6antr 736 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌𝑃)
37 simp-4r 784 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑧𝑃)
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 28683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
3938ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
4039ad6antr 736 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 28683 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
4241ad8antr 740 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 28680 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑋))
44 simp-7r 790 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
4544simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥))
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 28516 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 28510 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼𝐴))
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 28510 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 28510 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀𝑋)))
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 28518 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
51 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
5251simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧))
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 28516 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝐴𝐼𝑧))
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 28510 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑧𝐼𝐴))
55 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → 𝑦𝑃)
5655ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
573, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 28680 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑌))
58 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
5958simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦))
603, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59tgbtwnexch3 28516 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝑦))
613, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60tgbtwncom 28510 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
623, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 28679 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝐴 𝑋))
6358simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))
643, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑌) = (𝐴 𝑋))
6562, 64eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝑦 𝑌))
6651simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))
673, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66tgcgrextend 28507 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝑦 𝐴))
6844simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))
6968eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = (𝑋 𝑥))
703, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69tgcgrextend 28507 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑥))
7167, 70eqtr2d 2775 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
723, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑧 𝐴))
7362eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑋)))
743, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑋) 𝐴))
75 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑡𝑃)
763, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59tgbtwncom 28510 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
773, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57tgbtwncom 28510 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼(𝑀𝑌)))
783, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77tgbtwnexch2 28518 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
8079simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡))
813, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch3 28516 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝐴𝐼𝑡))
823, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81tgbtwncom 28510 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑡𝐼𝐴))
833, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 𝑌))
843, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mircgr 28679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
8583, 84eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
8679simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))
8786eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝑡))
883, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87tgcgrextend 28507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝐴 𝑡))
893, 4, 5, 26, 33, 75axtgcgrrflx 28484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝑡 𝐴))
9088, 89eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑡 𝐴))
913, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑡))
9270, 91, 893eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝑡 𝐴))
933, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝐴) = (𝑌 𝐴))
9493eqcomd 2740 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝐴))
953, 4, 5, 26, 75, 37axtgcgrrflx 28484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑡 𝑧) = (𝑧 𝑡))
96 simp-9r 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝐴)
9796neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑋 = 𝐴)
9826adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9933adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
10030adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
10146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
103102oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝐴))
104101, 103eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
1053, 4, 5, 98, 99, 100, 104axtgbtwnid 28488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
106105eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
10797, 106mtand 816 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108107neqned 2944 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝐴)
1093, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 28520 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑧))
1103, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch 28520 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑡))
1113, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110tgbtwncom 28510 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑡𝐼𝑦))
1123, 4, 5, 26, 56, 33axtgcgrrflx 28484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑦))
11367, 112eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝐴 𝑦))
1143, 4, 5, 26, 28, 75axtgcgrrflx 28484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑡) = (𝑡 𝑥))
11591eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝐴 𝑥))
1163, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115axtg5seg 28487 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑧 𝑡) = (𝑦 𝑥))
11795, 116eqtr2d 2775 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑥) = (𝑡 𝑧))
1183, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71tgifscgr 28530 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑥) = ((𝑀𝑌) 𝑧))
1193, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑌) = (𝑧 (𝑀𝑌)))
12084eqcomd 2740 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑌) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
1213, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120tgifscgr 28530 . . . . . . 7 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
122121eqcomd 2740 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
123 simp-6l 787 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝜑𝑋𝐴))
124 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
12524ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
126 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
12741ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
12829ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
12931ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
1303, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129axtgsegcon 28486 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
131123, 55, 124, 130syl21anc 838 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
132122, 131r19.29a 3159 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1333, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32axtgsegcon 28486 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
134133ad2antrr 726 . . . . 5 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
135132, 134r19.29a 3159 . . . 4 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1363, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31axtgsegcon 28486 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
137136ad2antrr 726 . . . 4 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
138135, 137r19.29a 3159 . . 3 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1393, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31axtgsegcon 28486 . . 3 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑥𝑃 (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
140138, 139r19.29a 3159 . 2 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
14123, 140pm2.61dane 3026 1 (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455  LineGclng 28456  pInvGcmir 28674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-mir 28675
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