Theorem tgifscgr 28457

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐾, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐾. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgifscgr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgifscgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgifscgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
tgifscgr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tgifscgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgifscgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
tgifscgr.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
tgifscgr.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
tgifscgr.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
tgifscgr.6	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tgifscgr	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

Proof of Theorem tgifscgr

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwncgr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgifscgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13		tgifscgr.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐻 ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tgldim0cgr 28454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
16		tgifscgr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
17	16	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
18	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19		tgbtwncgr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
21	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22		tgifscgr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
25	24	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐶𝐼𝐶))
26	23, 25	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
27	1, 2, 3, 18, 20, 21, 26	axtgbtwnid 28415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
28	27	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
29		tgifscgr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 ∈ 𝑃)
31	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		tgifscgr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
34		tgifscgr.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		tgbtwncgr.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	24	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐶))
39		tgifscgr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
41	38, 40	eqtr2d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸 − 𝐾) = (𝐴 − 𝐴))
42	1, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41	axtgcgrid 28412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐾)
43	42	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸𝐼𝐾) = (𝐾𝐼𝐾))
44	33, 43	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐾𝐼𝐾))
45	1, 2, 3, 18, 30, 31, 44	axtgbtwnid 28415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 = 𝐹)
46	45	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐾 − 𝐻) = (𝐹 − 𝐻))
47	17, 28, 46	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
48	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	49	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51		simp-4r 783	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
52	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
54	53	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
55	6	ad6antr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
57	29	ad4antr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐾 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ 𝑃)
59	10	ad6antr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
60	8	ad6antr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
61	13	ad6antr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐻 ∈ 𝑃)
62		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
63	62	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ≠ 𝑒)
64	63	necomd 2980	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ≠ 𝐶)
65	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66	65	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
67	22	ad6antr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
68	62	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒))
69	1, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68	tgbtwnexch3 28443	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑒))
70	1, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69	tgbtwncom 28437	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝑒𝐼𝐵))
71	34	ad6antr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
72	32	ad6antr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
73		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
74	1, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73	tgbtwnexch3 28443	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐹𝐼𝑓))
75	1, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74	tgbtwncom 28437	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝑓𝐼𝐹))
76		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))
77	76	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝑒) = (𝐾 − 𝑓))
78	1, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77	tgcgrcomlr 28429	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐶) = (𝑓 − 𝐾))
79		tgifscgr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
80	79	ad6antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
81	1, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80	tgcgrcomlr 28429	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐾 − 𝐹))
82		simp-5r 785	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
83	39	ad6antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
84		tgifscgr.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
85	84	ad6antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
86	16	ad6antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
87	1, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86	axtg5seg 28414	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐷) = (𝑓 − 𝐻))
88	1, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86	axtg5seg 28414	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
89	34	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
90		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝑒 ∈ 𝑃)
91	1, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90	axtgsegcon 28413	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒)))
92	88, 91	r19.29a 3137	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
93		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
94	1, 2, 3, 48, 65, 52, 93	tgbtwndiff 28455	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
95	92, 94	r19.29a 3137	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
96	47, 95	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
97	1, 36	tgldimor 28451	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
98	15, 96, 97	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   ≤ cle 11150  2c2 12183  ♯chash 14237  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28376  Itvcitv 28382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238  df-trkgc 28397  df-trkgb 28398  df-trkgcb 28399  df-trkg 28402

This theorem is referenced by:  tgcgrsub  28458  tgbtwnxfr  28479  tgfscgr  28517  tgbtwnconn1lem3  28523  miriso  28619  krippenlem  28639  midexlem  28641  colperpexlem1  28679  opphllem  28684