Theorem tgifscgr 25859

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐾, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐾. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgifscgr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgifscgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgifscgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
tgifscgr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tgifscgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgifscgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
tgifscgr.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
tgifscgr.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
tgifscgr.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
tgifscgr.6	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tgifscgr	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

Proof of Theorem tgifscgr

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwncgr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgifscgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13		tgifscgr.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐻 ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tgldim0cgr 25856	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
16		tgifscgr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
17	16	ad2antrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
18	4	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19		tgbtwncgr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
21	6	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22		tgifscgr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	22	ad2antrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
25	24	oveq1d 6937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐶𝐼𝐶))
26	23, 25	eleqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
27	1, 2, 3, 18, 20, 21, 26	axtgbtwnid 25817	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
28	27	oveq1d 6937	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
29		tgifscgr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 ∈ 𝑃)
31	10	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		tgifscgr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
33	32	ad2antrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
34		tgifscgr.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
35	34	ad2antrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		tgbtwncgr.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	24	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐶))
39		tgifscgr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
40	39	ad2antrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
41	38, 40	eqtr2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸 − 𝐾) = (𝐴 − 𝐴))
42	1, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41	axtgcgrid 25814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐾)
43	42	oveq1d 6937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸𝐼𝐾) = (𝐾𝐼𝐾))
44	33, 43	eleqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐾𝐼𝐾))
45	1, 2, 3, 18, 30, 31, 44	axtgbtwnid 25817	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 = 𝐹)
46	45	oveq1d 6937	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐾 − 𝐻) = (𝐹 − 𝐻))
47	17, 28, 46	3eqtr3d 2822	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
48	4	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	48	ad2antrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	49	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51		simp-4r 774	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
52	19	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
53	52	ad2antrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
54	53	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
55	6	ad6antr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56		simplr 759	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
57	29	ad4antr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐾 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ 𝑃)
59	10	ad6antr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
60	8	ad6antr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
61	13	ad6antr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐻 ∈ 𝑃)
62		simpllr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
63	62	simprd 491	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ≠ 𝑒)
64	63	necomd 3024	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ≠ 𝐶)
65	36	ad2antrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66	65	ad4antr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
67	22	ad6antr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
68	62	simpld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒))
69	1, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68	tgbtwnexch3 25845	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑒))
70	1, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69	tgbtwncom 25839	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝑒𝐼𝐵))
71	34	ad6antr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
72	32	ad6antr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
73		simprl 761	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
74	1, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73	tgbtwnexch3 25845	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐹𝐼𝑓))
75	1, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74	tgbtwncom 25839	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝑓𝐼𝐹))
76		simprr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))
77	76	eqcomd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝑒) = (𝐾 − 𝑓))
78	1, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77	tgcgrcomlr 25831	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐶) = (𝑓 − 𝐾))
79		tgifscgr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
80	79	ad6antr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
81	1, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80	tgcgrcomlr 25831	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐾 − 𝐹))
82		simp-5r 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
83	39	ad6antr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
84		tgifscgr.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
85	84	ad6antr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
86	16	ad6antr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
87	1, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86	axtg5seg 25816	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐷) = (𝑓 − 𝐻))
88	1, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86	axtg5seg 25816	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
89	34	ad4antr 722	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
90		simplr 759	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝑒 ∈ 𝑃)
91	1, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90	axtgsegcon 25815	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒)))
92	88, 91	r19.29a 3264	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
93		simplr 759	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
94	1, 2, 3, 48, 65, 52, 93	tgbtwndiff 25857	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
95	92, 94	r19.29a 3264	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
96	47, 95	pm2.61dane 3057	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
97	1, 36	tgldimor 25853	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
98	15, 96, 97	mpjaodan 944	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273   ≤ cle 10412  2c2 11430  ♯chash 13435  Basecbs 16255  distcds 16347  TarskiGcstrkg 25781  Itvcitv 25787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkg 25804

This theorem is referenced by:  tgcgrsub  25860  tgbtwnxfr  25881  tgfscgr  25919  tgbtwnconn1lem3  25925  miriso  26021  krippenlem  26041  midexlem  26043  colperpexlem1  26078  opphllem  26083