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Theorem tgifscgr 28026

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐾, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐾. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgifscgr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgifscgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgifscgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
tgifscgr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tgifscgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgifscgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
tgifscgr.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
tgifscgr.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
tgifscgr.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
tgifscgr.6	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))

**Assertion**
Ref	Expression
tgifscgr	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

Proof of Theorem tgifscgr Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwncgr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgifscgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13		tgifscgr.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐻 ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tgldim0cgr 28023	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
16		tgifscgr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
17	16	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
18	4	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19		tgbtwncgr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
21	6	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22		tgifscgr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	22	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
25	24	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐶𝐼𝐶))
26	23, 25	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
27	1, 2, 3, 18, 20, 21, 26	axtgbtwnid 27984	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
28	27	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
29		tgifscgr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 ∈ 𝑃)
31	10	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		tgifscgr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
33	32	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
34		tgifscgr.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
35	34	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		tgbtwncgr.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	24	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐶))
39		tgifscgr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
40	39	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
41	38, 40	eqtr2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸 − 𝐾) = (𝐴 − 𝐴))
42	1, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41	axtgcgrid 27981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐾)
43	42	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸𝐼𝐾) = (𝐾𝐼𝐾))
44	33, 43	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐾𝐼𝐾))
45	1, 2, 3, 18, 30, 31, 44	axtgbtwnid 27984	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 = 𝐹)
46	45	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐾 − 𝐻) = (𝐹 − 𝐻))
47	17, 28, 46	3eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
48	4	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	48	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	49	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51		simp-4r 780	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
52	19	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
53	52	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
54	53	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
55	6	ad6antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
57	29	ad4antr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐾 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ 𝑃)
59	10	ad6antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
60	8	ad6antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
61	13	ad6antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐻 ∈ 𝑃)
62		simpllr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
63	62	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ≠ 𝑒)
64	63	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ≠ 𝐶)
65	36	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66	65	ad4antr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
67	22	ad6antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
68	62	simpld 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒))
69	1, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68	tgbtwnexch3 28012	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑒))
70	1, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69	tgbtwncom 28006	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝑒𝐼𝐵))
71	34	ad6antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
72	32	ad6antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
73		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
74	1, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73	tgbtwnexch3 28012	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐹𝐼𝑓))
75	1, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74	tgbtwncom 28006	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝑓𝐼𝐹))
76		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))
77	76	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝑒) = (𝐾 − 𝑓))
78	1, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77	tgcgrcomlr 27998	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐶) = (𝑓 − 𝐾))
79		tgifscgr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
80	79	ad6antr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
81	1, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80	tgcgrcomlr 27998	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐾 − 𝐹))
82		simp-5r 782	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
83	39	ad6antr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
84		tgifscgr.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
85	84	ad6antr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
86	16	ad6antr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
87	1, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86	axtg5seg 27983	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐷) = (𝑓 − 𝐻))
88	1, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86	axtg5seg 27983	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
89	34	ad4antr 728	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
90		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝑒 ∈ 𝑃)
91	1, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90	axtgsegcon 27982	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒)))
92	88, 91	r19.29a 3160	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
93		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
94	1, 2, 3, 48, 65, 52, 93	tgbtwndiff 28024	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
95	92, 94	r19.29a 3160	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
96	47, 95	pm2.61dane 3027	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
97	1, 36	tgldimor 28020	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
98	15, 96, 97	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ≠ wne 2938 class class class wbr 5147 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 1c1 11113 ≤ cle 11253 2c2 12271 ♯chash 14294 Basecbs 17148 distcds 17210 TarskiGcstrkg 27945 Itvcitv 27951

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-oadd 8472 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-dju 9898 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-n0 12477 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13489 df-hash 14295 df-trkgc 27966 df-trkgb 27967 df-trkgcb 27968 df-trkg 27971

This theorem is referenced by: tgcgrsub 28027 tgbtwnxfr 28048 tgfscgr 28086 tgbtwnconn1lem3 28092 miriso 28188 krippenlem 28208 midexlem 28210 colperpexlem1 28248 opphllem 28253

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