Theorem tgifscgr 28853

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐾, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐾. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgifscgr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgifscgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgifscgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
tgifscgr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tgifscgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgifscgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
tgifscgr.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
tgifscgr.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
tgifscgr.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
tgifscgr.6	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tgifscgr	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

Proof of Theorem tgifscgr

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwncgr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgifscgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13		tgifscgr.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐻 ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tgldim0cgr 28850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
16		tgifscgr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
17	16	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
18	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19		tgbtwncgr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
21	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22		tgifscgr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
25	24	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐶𝐼𝐶))
26	23, 25	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
27	1, 2, 3, 18, 20, 21, 26	axtgbtwnid 28810	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
28	27	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
29		tgifscgr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 ∈ 𝑃)
31	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		tgifscgr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
33	32	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
34		tgifscgr.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		tgbtwncgr.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	24	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐶))
39		tgifscgr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
40	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
41	38, 40	eqtr2d 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸 − 𝐾) = (𝐴 − 𝐴))
42	1, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41	axtgcgrid 28807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐾)
43	42	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸𝐼𝐾) = (𝐾𝐼𝐾))
44	33, 43	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐾𝐼𝐾))
45	1, 2, 3, 18, 30, 31, 44	axtgbtwnid 28810	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 = 𝐹)
46	45	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐾 − 𝐻) = (𝐹 − 𝐻))
47	17, 28, 46	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
48	4	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	49	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
52	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
53	52	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
54	53	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
55	6	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
57	29	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐾 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ 𝑃)
59	10	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
60	8	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
61	13	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐻 ∈ 𝑃)
62		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
63	62	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ≠ 𝑒)
64	63	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝑒 ≠ 𝐶)
65	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66	65	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
67	22	ad6antr 749	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
68	62	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒))
69	1, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68	tgbtwnexch3 28839	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑒))
70	1, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69	tgbtwncom 28833	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝑒𝐼𝐵))
71	34	ad6antr 749	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
72	32	ad6antr 749	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
73		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
74	1, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73	tgbtwnexch3 28839	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐹𝐼𝑓))
75	1, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74	tgbtwncom 28833	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝑓𝐼𝐹))
76		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))
77	76	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝑒) = (𝐾 − 𝑓))
78	1, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77	tgcgrcomlr 28824	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐶) = (𝑓 − 𝐾))
79		tgifscgr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
80	79	ad6antr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐾))
81	1, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80	tgcgrcomlr 28824	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐾 − 𝐹))
82		simp-5r 798	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
83	39	ad6antr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐾))
84		tgifscgr.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
85	84	ad6antr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐻))
86	16	ad6antr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐾 − 𝐻))
87	1, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86	axtg5seg 28809	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝑒 − 𝐷) = (𝑓 − 𝐻))
88	1, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86	axtg5seg 28809	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒))) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
89	34	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
90		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → 𝑒 ∈ 𝑃)
91	1, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90	axtgsegcon 28808	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 − 𝑓) = (𝐶 − 𝑒)))
92	88, 91	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
93		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
94	1, 2, 3, 48, 65, 52, 93	tgbtwndiff 28851	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
95	92, 94	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
96	47, 95	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))
97	1, 36	tgldimor 28847	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
98	15, 96, 97	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11128   ≤ cle 11271  2c2 12322  ♯chash 14397  Basecbs 17304  distcds 17354  TarskiGcstrkg 28771  Itvcitv 28777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-hash 14398  df-trkgc 28792  df-trkgb 28793  df-trkgcb 28794  df-trkg 28797

This theorem is used by:  tgcgrsub  28854  tgbtwnxfr  28875  tgfscgr  28913  tgbtwnconn1lem3  28919  miriso  29024  krippenlem  29044  midexlem  29046  colperpexlem1  29088  opphllem  29093