MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgifscgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgifscgr 28530
Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐾, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐾. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwncgr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwncgr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwncgr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgifscgr.e (𝜑𝐸𝑃)
tgifscgr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgifscgr.g (𝜑𝐾𝑃)
tgifscgr.h (𝜑𝐻𝑃)
tgifscgr.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgifscgr.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
tgifscgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
tgifscgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
tgifscgr.5 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
tgifscgr.6 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tgifscgr (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwncgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 tgbtwncgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwncgr.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwncgr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
8 tgbtwncgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
10 tgifscgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹𝑃)
12 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13 tgifscgr.h . . . 4 (𝜑𝐻𝑃)
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐻𝑃)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 28527 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
16 tgifscgr.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
1716ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
184ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19 tgbtwncgr.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
2019ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
216ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
22 tgifscgr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2322ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
2524oveq1d 7445 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐶𝐼𝐶))
2623, 25eleqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
271, 2, 3, 18, 20, 21, 26axtgbtwnid 28488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
2827oveq1d 7445 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 𝐷) = (𝐵 𝐷))
29 tgifscgr.g . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑃)
3029ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾𝑃)
3110ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹𝑃)
32 tgifscgr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
3332ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
34 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸𝑃)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸𝑃)
36 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑃)
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
3824oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝐶))
39 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
4039ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
4138, 40eqtr2d 2775 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸 𝐾) = (𝐴 𝐴))
421, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41axtgcgrid 28485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐾)
4342oveq1d 7445 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸𝐼𝐾) = (𝐾𝐼𝐾))
4433, 43eleqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐾𝐼𝐾))
451, 2, 3, 18, 30, 31, 44axtgbtwnid 28488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 = 𝐹)
4645oveq1d 7445 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐾 𝐻) = (𝐹 𝐻))
4717, 28, 463eqtr3d 2782 . . 3 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
484ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4948ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5049ad2antrr 726 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51 simp-4r 784 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑒𝑃)
5219ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
5352ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐶𝑃)
5453ad2antrr 726 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶𝑃)
556ad6antr 736 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐵𝑃)
56 simplr 769 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑓𝑃)
5729ad4antr 732 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐾𝑃)
5857ad2antrr 726 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾𝑃)
5910ad6antr 736 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐹𝑃)
608ad6antr 736 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐷𝑃)
6113ad6antr 736 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐻𝑃)
62 simpllr 776 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒))
6362simprd 495 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶𝑒)
6463necomd 2993 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑒𝐶)
6536ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
6665ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐴𝑃)
6722ad6antr 736 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
6862simpld 494 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒))
691, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68tgbtwnexch3 28516 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑒))
701, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69tgbtwncom 28510 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝑒𝐼𝐵))
7134ad6antr 736 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐸𝑃)
7232ad6antr 736 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
73 simprl 771 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
741, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73tgbtwnexch3 28516 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐹𝐼𝑓))
751, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74tgbtwncom 28510 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝑓𝐼𝐹))
76 simprr 773 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))
7776eqcomd 2740 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝑒) = (𝐾 𝑓))
781, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77tgcgrcomlr 28502 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝑒 𝐶) = (𝑓 𝐾))
79 tgifscgr.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
8079ad6antr 736 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
811, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80tgcgrcomlr 28502 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝐵) = (𝐾 𝐹))
82 simp-5r 786 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐴𝐶)
8339ad6antr 736 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
84 tgifscgr.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
8584ad6antr 736 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
8616ad6antr 736 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
871, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86axtg5seg 28487 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝑒 𝐷) = (𝑓 𝐻))
881, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86axtg5seg 28487 . . . . 5 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
8934ad4antr 732 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐸𝑃)
90 simplr 769 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝑒𝑃)
911, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90axtgsegcon 28486 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → ∃𝑓𝑃 (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒)))
9288, 91r19.29a 3159 . . . 4 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
93 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
941, 2, 3, 48, 65, 52, 93tgbtwndiff 28528 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → ∃𝑒𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒))
9592, 94r19.29a 3159 . . 3 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
9647, 95pm2.61dane 3026 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
971, 36tgldimor 28524 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
9815, 96, 97mpjaodan 960 1 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153  cle 11293  2c2 12318  chash 14365  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475
This theorem is referenced by:  tgcgrsub  28531  tgbtwnxfr  28552  tgfscgr  28590  tgbtwnconn1lem3  28596  miriso  28692  krippenlem  28712  midexlem  28714  colperpexlem1  28752  opphllem  28757
  Copyright terms: Public domain W3C validator