MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgifscgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgifscgr 28430
Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐾, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐾. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwncgr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwncgr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwncgr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgifscgr.e (𝜑𝐸𝑃)
tgifscgr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgifscgr.g (𝜑𝐾𝑃)
tgifscgr.h (𝜑𝐻𝑃)
tgifscgr.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgifscgr.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
tgifscgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
tgifscgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
tgifscgr.5 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
tgifscgr.6 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tgifscgr (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwncgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 tgbtwncgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwncgr.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwncgr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
76adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
8 tgbtwncgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
10 tgifscgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹𝑃)
12 simpr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13 tgifscgr.h . . . 4 (𝜑𝐻𝑃)
1413adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐻𝑃)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 28427 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
16 tgifscgr.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
1716ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
184ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19 tgbtwncgr.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
2019ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
216ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
22 tgifscgr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2322ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
2524oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐶𝐼𝐶))
2623, 25eleqtrd 2828 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
271, 2, 3, 18, 20, 21, 26axtgbtwnid 28388 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
2827oveq1d 7429 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 𝐷) = (𝐵 𝐷))
29 tgifscgr.g . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑃)
3029ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾𝑃)
3110ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹𝑃)
32 tgifscgr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
3332ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
34 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸𝑃)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸𝑃)
36 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑃)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
3824oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝐶))
39 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
4138, 40eqtr2d 2767 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸 𝐾) = (𝐴 𝐴))
421, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41axtgcgrid 28385 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐸 = 𝐾)
4342oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐸𝐼𝐾) = (𝐾𝐼𝐾))
4433, 43eleqtrd 2828 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐾𝐼𝐾))
451, 2, 3, 18, 30, 31, 44axtgbtwnid 28388 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐾 = 𝐹)
4645oveq1d 7429 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐾 𝐻) = (𝐹 𝐻))
4717, 28, 463eqtr3d 2774 . . 3 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
484ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4948ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5049ad2antrr 724 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51 simp-4r 782 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑒𝑃)
5219ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
5352ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐶𝑃)
5453ad2antrr 724 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶𝑃)
556ad6antr 734 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐵𝑃)
56 simplr 767 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑓𝑃)
5729ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐾𝑃)
5857ad2antrr 724 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾𝑃)
5910ad6antr 734 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐹𝑃)
608ad6antr 734 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐷𝑃)
6113ad6antr 734 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐻𝑃)
62 simpllr 774 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒))
6362simprd 494 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶𝑒)
6463necomd 2986 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝑒𝐶)
6536ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
6665ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐴𝑃)
6722ad6antr 734 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
6862simpld 493 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒))
691, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68tgbtwnexch3 28416 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑒))
701, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69tgbtwncom 28410 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐶 ∈ (𝑒𝐼𝐵))
7134ad6antr 734 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐸𝑃)
7232ad6antr 734 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐾))
73 simprl 769 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
741, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73tgbtwnexch3 28416 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝐹𝐼𝑓))
751, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74tgbtwncom 28410 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐾 ∈ (𝑓𝐼𝐹))
76 simprr 771 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))
7776eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝑒) = (𝐾 𝑓))
781, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77tgcgrcomlr 28402 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝑒 𝐶) = (𝑓 𝐾))
79 tgifscgr.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
8079ad6antr 734 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐾))
811, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80tgcgrcomlr 28402 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝐵) = (𝐾 𝐹))
82 simp-5r 784 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → 𝐴𝐶)
8339ad6antr 734 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐴 𝐶) = (𝐸 𝐾))
84 tgifscgr.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
8584ad6antr 734 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐻))
8616ad6antr 734 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐶 𝐷) = (𝐾 𝐻))
871, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86axtg5seg 28387 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝑒 𝐷) = (𝑓 𝐻))
881, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86axtg5seg 28387 . . . . 5 (((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒))) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
8934ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝐸𝑃)
90 simplr 767 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → 𝑒𝑃)
911, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90axtgsegcon 28386 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → ∃𝑓𝑃 (𝐾 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐾 𝑓) = (𝐶 𝑒)))
9288, 91r19.29a 3152 . . . 4 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒)) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
93 simplr 767 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
941, 2, 3, 48, 65, 52, 93tgbtwndiff 28428 . . . 4 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → ∃𝑒𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ 𝐶𝑒))
9592, 94r19.29a 3152 . . 3 (((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
9647, 95pm2.61dane 3019 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
971, 36tgldimor 28424 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
9815, 96, 97mpjaodan 956 1 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5144  cfv 6544  (class class class)co 7414  1c1 11148  cle 11288  2c2 12311  chash 14340  Basecbs 17206  distcds 17268  TarskiGcstrkg 28349  Itvcitv 28355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-hash 14341  df-trkgc 28370  df-trkgb 28371  df-trkgcb 28372  df-trkg 28375
This theorem is referenced by:  tgcgrsub  28431  tgbtwnxfr  28452  tgfscgr  28490  tgbtwnconn1lem3  28496  miriso  28592  krippenlem  28612  midexlem  28614  colperpexlem1  28652  opphllem  28657
  Copyright terms: Public domain W3C validator