Theorem tgfscgr 26613

Description: Congruence law for the general five segment configuration. Theorem 4.16 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgfscgr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
tgfscgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgfscgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgfscgr.1	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
tgfscgr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
tgfscgr.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑇) = (𝐴 − 𝐷))
tgfscgr.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑇) = (𝐵 − 𝐷))
tgfscgr.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tgfscgr	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑇) = (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem tgfscgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglngval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		tgcolg.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
12		lnxfr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		lnxfr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		tgfscgr.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
18		tgfscgr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	18	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
20		tgfscgr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
21	20	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
22		tgfscgr.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
23	22	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
24		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25		lnxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
26		tgfscgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
27	26	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
28	1, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27, 24	tgbtwnxfr 26575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
29	1, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27	cgr3simp1 26565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
30	1, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27	cgr3simp2 26566	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
31		tgfscgr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑇) = (𝐴 − 𝐷))
32	31	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 − 𝑇) = (𝐴 − 𝐷))
33		tgfscgr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑇) = (𝐵 − 𝐷))
34	33	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 − 𝑇) = (𝐵 − 𝐷))
35	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 28, 29, 30, 32, 34	axtg5seg 26510	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑍 − 𝑇) = (𝐶 − 𝐷))
36	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
38	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
39	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
40	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
41	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
42	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
43	18	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
44	20	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
45	22	necomd 2987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
46	45	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
47		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
48	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
49	1, 2, 3, 25, 36, 38, 37, 39, 41, 40, 42, 48	cgr3swap12 26568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
50	1, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49, 47	tgbtwnxfr 26575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
51	1, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49	cgr3simp1 26565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 − 𝑋) = (𝐵 − 𝐴))
52	1, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49	cgr3simp2 26566	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝐴 − 𝐶))
53	33	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 − 𝑇) = (𝐵 − 𝐷))
54	31	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 − 𝑇) = (𝐴 − 𝐷))
55	1, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54	axtg5seg 26510	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑍 − 𝑇) = (𝐶 − 𝐷))
56	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
58	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
59	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
60	18	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
61	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
62	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
63	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
64	20	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
65		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
66	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
67	1, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66	cgr3swap23 26569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩)
68	1, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67, 65	tgbtwnxfr 26575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
69	1, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66	cgr3simp1 26565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
70	1, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67	cgr3simp2 26566	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 − 𝑌) = (𝐶 − 𝐵))
71	31	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 − 𝑇) = (𝐴 − 𝐷))
72	33	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑌 − 𝑇) = (𝐵 − 𝐷))
73	1, 2, 3, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 72	tgifscgr 26553	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 − 𝑇) = (𝐶 − 𝐷))
74		tgfscgr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
76	1, 75, 3, 4, 6, 10, 8	tgcolg 26599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
77	74, 76	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
78	35, 55, 73, 77	mpjao3dan 1433	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑇) = (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∨ w3o 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ⟨“cs3 14372  Basecbs 16666  distcds 16758  TarskiGcstrkg 26475  Itvcitv 26481  LineGclng 26482  cgrGccgrg 26555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-oadd 8184  df-er 8369  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-dju 9482  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-xnn0 12128  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-hash 13862  df-word 14035  df-concat 14091  df-s1 14118  df-s2 14378  df-s3 14379  df-trkgc 26493  df-trkgb 26494  df-trkgcb 26495  df-trkg 26498  df-cgrg 26556

This theorem is referenced by:  lncgr  26614  mirtrcgr  26728  symquadlem  26734  cgracgr  26863  cgraswap  26865  cgrg3col4  26898