MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfscgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgfscgr 27748
Description: Congruence law for the general five segment configuration. Theorem 4.16 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
tgfscgr.t (𝜑𝑇𝑃)
tgfscgr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgfscgr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgfscgr.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
tgfscgr.2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
tgfscgr.3 (𝜑 → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
tgfscgr.4 (𝜑 → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
tgfscgr.5 (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
tgfscgr (𝜑 → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))

Proof of Theorem tgfscgr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
12 lnxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
14 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
16 tgfscgr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
18 tgfscgr.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑃)
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑇𝑃)
20 tgfscgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
2120adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐷𝑃)
22 tgfscgr.5 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
2322adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑌)
24 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 lnxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
26 tgfscgr.2 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2726adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
281, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27, 24tgbtwnxfr 27710 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
291, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp1 27700 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
301, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp2 27701 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝐶))
31 tgfscgr.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
3231adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
33 tgfscgr.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
3433adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 28, 29, 30, 32, 34axtg5seg 27645 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
364adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
378adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
386adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
3910adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
4014adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
4112adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
4216adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
4318adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑇𝑃)
4420adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐷𝑃)
4522necomd 2996 . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
4645adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑋)
47 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
4826adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
491, 2, 3, 25, 36, 38, 37, 39, 41, 40, 42, 48cgr3swap12 27703 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
501, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49, 47tgbtwnxfr 27710 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
511, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp1 27700 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑋) = (𝐵 𝐴))
521, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp2 27701 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝐶))
5333adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
5431adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
551, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54axtg5seg 27645 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
564adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
576adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
5810adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
598adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
6018adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑇𝑃)
6112adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
6216adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶𝑃)
6314adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
6420adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐷𝑃)
65 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
6626adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
671, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3swap23 27704 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩)
681, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67, 65tgbtwnxfr 27710 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
691, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3simp1 27700 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
701, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67cgr3simp2 27701 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 𝑌) = (𝐶 𝐵))
7131adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
7233adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
731, 2, 3, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 72tgifscgr 27688 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
74 tgfscgr.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
761, 75, 3, 4, 6, 10, 8tgcolg 27734 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
7774, 76mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
7835, 55, 73, 77mpjao3dan 1431 1 (𝜑 → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5142  cfv 6533  (class class class)co 7394  ⟨“cs3 14777  Basecbs 17128  distcds 17190  TarskiGcstrkg 27607  Itvcitv 27613  LineGclng 27614  cgrGccgrg 27690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-oadd 8454  df-er 8688  df-pm 8808  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-dju 9880  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-n0 12457  df-xnn0 12529  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-hash 14275  df-word 14449  df-concat 14505  df-s1 14530  df-s2 14783  df-s3 14784  df-trkgc 27628  df-trkgb 27629  df-trkgcb 27630  df-trkg 27633  df-cgrg 27691
This theorem is referenced by:  lncgr  27749  mirtrcgr  27863  symquadlem  27869  cgracgr  27998  cgraswap  28000  cgrg3col4  28033
  Copyright terms: Public domain W3C validator