MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfscgr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgfscgr 28253
Description: Congruence law for the general five segment configuration. Theorem 4.16 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglngval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglngval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglngval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
tgcolg.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
lnxfr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
lnxfr.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tgfscgr.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
tgfscgr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tgfscgr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgfscgr.1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
tgfscgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
tgfscgr.3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
tgfscgr.4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
tgfscgr.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
tgfscgr (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
Proof of Theorem tgfscgr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 lnxfr.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tglngval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
12 lnxfr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
14 lnxfr.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1514adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
16 tgfscgr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1716adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
18 tgfscgr.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
20 tgfscgr.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2120adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
22 tgfscgr.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
2322adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
24 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 lnxfr.r . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
26 tgfscgr.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
2726adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
281, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27, 24tgbtwnxfr 28215 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
291, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp1 28205 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
301, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp2 28206 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
31 tgfscgr.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
3231adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
33 tgfscgr.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
3433adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 28, 29, 30, 32, 34axtg5seg 28150 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
364adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
378adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
386adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3910adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
4014adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
4112adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4216adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4318adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
4420adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
4522necomd 2995 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑋)
4645adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ π‘Œ β‰  𝑋)
47 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘))
4826adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
491, 2, 3, 25, 36, 38, 37, 39, 41, 40, 42, 48cgr3swap12 28208 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ βŸ¨β€œπ‘Œπ‘‹π‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΅π΄πΆβ€βŸ©)
501, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49, 47tgbtwnxfr 28215 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
511, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp1 28205 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
521, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp2 28206 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) = (𝐴 βˆ’ 𝐢))
5333adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
5431adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
551, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54axtg5seg 28150 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
564adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
576adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
5810adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
598adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
6018adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
6112adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6216adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
6314adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
6420adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
65 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
6626adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
671, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3swap23 28209 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘π‘Œβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄πΆπ΅β€βŸ©)
681, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67, 65tgbtwnxfr 28215 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
691, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3simp1 28205 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
701, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67cgr3simp2 28206 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑍 βˆ’ π‘Œ) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
7131adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
7233adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
731, 2, 3, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 72tgifscgr 28193 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
74 tgfscgr.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
761, 75, 3, 4, 6, 10, 8tgcolg 28239 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘) ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))))
7774, 76mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘) ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
7835, 55, 73, 77mpjao3dan 1430 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  βŸ¨β€œcs3 14800  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28112  Itvcitv 28118  LineGclng 28119  cgrGccgrg 28195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-trkgc 28133  df-trkgb 28134  df-trkgcb 28135  df-trkg 28138  df-cgrg 28196
This theorem is referenced by:  lncgr  28254  mirtrcgr  28368  symquadlem  28374  cgracgr  28503  cgraswap  28505  cgrg3col4  28538
  Copyright terms: Public domain W3C validator