MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfscgr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgfscgr 27799
Description: Congruence law for the general five segment configuration. Theorem 4.16 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglngval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglngval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglngval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
tgcolg.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
lnxfr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
lnxfr.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tgfscgr.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
tgfscgr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tgfscgr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgfscgr.1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
tgfscgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
tgfscgr.3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
tgfscgr.4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
tgfscgr.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
tgfscgr (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
Proof of Theorem tgfscgr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 lnxfr.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tglngval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
1110adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
12 lnxfr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
14 lnxfr.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1514adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
16 tgfscgr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1716adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
18 tgfscgr.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
1918adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
20 tgfscgr.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2120adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
22 tgfscgr.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
2322adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
24 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 lnxfr.r . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
26 tgfscgr.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
2726adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
281, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27, 24tgbtwnxfr 27761 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
291, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp1 27751 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
301, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp2 27752 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
31 tgfscgr.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
3231adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
33 tgfscgr.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
3433adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 28, 29, 30, 32, 34axtg5seg 27696 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
364adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
378adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
386adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3910adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
4014adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
4112adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4216adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4318adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
4420adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
4522necomd 2997 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑋)
4645adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ π‘Œ β‰  𝑋)
47 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘))
4826adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
491, 2, 3, 25, 36, 38, 37, 39, 41, 40, 42, 48cgr3swap12 27754 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ βŸ¨β€œπ‘Œπ‘‹π‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΅π΄πΆβ€βŸ©)
501, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49, 47tgbtwnxfr 27761 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
511, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp1 27751 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
521, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp2 27752 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) = (𝐴 βˆ’ 𝐢))
5333adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
5431adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
551, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54axtg5seg 27696 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
564adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
576adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
5810adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
598adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
6018adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
6112adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6216adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
6314adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
6420adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
65 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
6626adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
671, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3swap23 27755 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘π‘Œβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄πΆπ΅β€βŸ©)
681, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67, 65tgbtwnxfr 27761 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
691, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3simp1 27751 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
701, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67cgr3simp2 27752 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑍 βˆ’ π‘Œ) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
7131adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑇) = (𝐴 βˆ’ 𝐷))
7233adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
731, 2, 3, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 72tgifscgr 27739 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
74 tgfscgr.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
761, 75, 3, 4, 6, 10, 8tgcolg 27785 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘) ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))))
7774, 76mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘) ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
7835, 55, 73, 77mpjao3dan 1432 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑇) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  βŸ¨β€œcs3 14789  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664  LineGclng 27665  cgrGccgrg 27741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684  df-cgrg 27742
This theorem is referenced by:  lncgr  27800  mirtrcgr  27914  symquadlem  27920  cgracgr  28049  cgraswap  28051  cgrg3col4  28084
  Copyright terms: Public domain W3C validator