MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfscgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgfscgr 26362
Description: Congruence law for the general five segment configuration. Theorem 4.16 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
tgfscgr.t (𝜑𝑇𝑃)
tgfscgr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgfscgr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgfscgr.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
tgfscgr.2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
tgfscgr.3 (𝜑 → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
tgfscgr.4 (𝜑 → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
tgfscgr.5 (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
tgfscgr (𝜑 → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))

Proof of Theorem tgfscgr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
12 lnxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
14 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1514adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
16 tgfscgr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1716adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
18 tgfscgr.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑃)
1918adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑇𝑃)
20 tgfscgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
2120adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐷𝑃)
22 tgfscgr.5 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
2322adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑌)
24 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 lnxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
26 tgfscgr.2 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2726adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
281, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27, 24tgbtwnxfr 26324 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
291, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp1 26314 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
301, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp2 26315 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝐶))
31 tgfscgr.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
33 tgfscgr.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
3433adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 28, 29, 30, 32, 34axtg5seg 26259 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
364adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
378adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
386adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
3910adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
4014adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
4112adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
4216adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
4318adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑇𝑃)
4420adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐷𝑃)
4522necomd 3042 . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
4645adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑋)
47 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
4826adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
491, 2, 3, 25, 36, 38, 37, 39, 41, 40, 42, 48cgr3swap12 26317 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
501, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49, 47tgbtwnxfr 26324 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
511, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp1 26314 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑋) = (𝐵 𝐴))
521, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp2 26315 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝐶))
5333adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
5431adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
551, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54axtg5seg 26259 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
564adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
576adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
5810adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
598adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
6018adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑇𝑃)
6112adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
6216adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶𝑃)
6314adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
6420adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐷𝑃)
65 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
6626adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
671, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3swap23 26318 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩)
681, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67, 65tgbtwnxfr 26324 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
691, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3simp1 26314 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
701, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67cgr3simp2 26315 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 𝑌) = (𝐶 𝐵))
7131adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
7233adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
731, 2, 3, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 72tgifscgr 26302 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
74 tgfscgr.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
761, 75, 3, 4, 6, 10, 8tgcolg 26348 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
7774, 76mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
7835, 55, 73, 77mpjao3dan 1428 1 (𝜑 → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  ⟨“cs3 14195  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  LineGclng 26231  cgrGccgrg 26304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-cgrg 26305
This theorem is referenced by:  lncgr  26363  mirtrcgr  26477  symquadlem  26483  cgracgr  26612  cgraswap  26614  cgrg3col4  26647
  Copyright terms: Public domain W3C validator