Theorem tgbtwnconn1lem3 29037

Description: Lemma for tgbtwnconn1 29038. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn1.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwnconn1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
tgbtwnconn1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
tgbtwnconn1.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐻))
tgbtwnconn1.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
tgbtwnconn1.8	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
tgbtwnconn1.9	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
tgbtwnconn1.10	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐻) = (𝐵 − 𝐶))
tgbtwnconn1.11	⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐽) = (𝐵 − 𝐷))
tgbtwnconn1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.12	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
tgbtwnconn1.13	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgbtwnconn1.14	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn1lem3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐹)

Proof of Theorem tgbtwnconn1lem3

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwnconn1.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn1.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
7	6	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
11	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝑃)
14	1, 2, 3, 11, 12, 13	tgcgrtriv 28946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐷 − 𝐷) = (𝑞 − 𝑞))
15		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
16		tgbtwnconn1.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	16	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
19		tgbtwnconn1.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		tgbtwnconn1.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
21		tgbtwnconn1.12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
22		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
23		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐸) = (𝑋 − 𝐸))
24		tgbtwnconn1.9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
25	24	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐹))
26		tgbtwnconn1.8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
27		tgbtwnconn1.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		tgbtwnconn1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
29		tgbtwnconn1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
30		tgbtwnconn1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
31		tgbtwnconn1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
32		tgbtwnconn1.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
33		tgbtwnconn1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
34		tgbtwnconn1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
35		tgbtwnconn1.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
36		tgbtwnconn1.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐻))
37		tgbtwnconn1.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
38		tgbtwnconn1.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐻) = (𝐵 − 𝐶))
39		tgbtwnconn1.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐽) = (𝐵 − 𝐷))
40	1, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39	tgbtwnconn1lem2 29036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
41	26, 40	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐹))
42	1, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 8, 19, 16, 20, 6, 21, 21, 22, 23, 25, 41	tgifscgr 28971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝐹))
43	42	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝐹))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝐹))
45	15	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑋 − 𝐹) = (𝑋 − 𝑋))
46	44, 45	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑋))
47	1, 2, 3, 11, 18, 12, 18, 46	axtgcgrid 28925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑋 = 𝐷)
48	15, 47	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐹 = 𝐷)
49	48	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐷))
50	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑃)
51		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑃)
54		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑟 ∈ 𝑃)
56	19	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
57		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 = 𝐹)
58	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
59	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝑃)
61	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐸 ∈ 𝑃)
62	24, 40	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐹) = (𝐸 − 𝐹))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → (𝐶 − 𝐹) = (𝐸 − 𝐹))
64	1, 2, 3, 58, 59, 60, 61, 60, 63, 57	tgcgreq 28944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐸 = 𝐹)
65	57, 64	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 = 𝐸)
66		tgbtwnconn1.14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 ≠ 𝐸)
68	67	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → ¬ 𝐶 = 𝐸)
69	65, 68	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐹)
70	69	neqned 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐹)
71	70	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐶)
72	71	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 ≠ 𝐶)
73		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋)))
74	73	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟))
75	20	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
76	1, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 21	tgbtwncom 28951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
77	76	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑋 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
78		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹)))
79	78	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝))
80	1, 2, 3, 5, 75, 17, 56, 52, 77, 79	tgbtwnexch3 28957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑝))
81	1, 2, 3, 5, 17, 56, 52, 80	tgbtwncom 28951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝑝𝐼𝑋))
82	78	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))
83	82	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝑝))
84	1, 2, 3, 5, 56, 7, 56, 52, 83	tgcgrcomlr 28942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝐶) = (𝑝 − 𝐶))
85	73	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))
86	1, 2, 3, 5, 7, 52	axtgcgrrflx 28924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝑝) = (𝑝 − 𝐹))
87	1, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 52, 56, 17, 52, 7, 72, 74, 81, 84, 85, 86, 82	axtg5seg 28927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑋 − 𝐹))
88	87	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐹) = (𝑟 − 𝑝))
89	1, 2, 3, 5, 17, 7, 54, 52, 88	tgcgrcomlr 28942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝑋) = (𝑝 − 𝑟))
90	89	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝑋) = (𝑝 − 𝑟))
91	1, 2, 3, 11, 50, 18, 53, 55, 90, 15	tgcgreq 28944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑝 = 𝑟)
92		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
94	91	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑟 − 𝑟))
95	93, 94	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑟))
96	1, 2, 3, 11, 55, 13, 55, 95	axtgcgrid 28925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑟 = 𝑞)
97	91, 96	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑝 = 𝑞)
98	97	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑞))
99	14, 49, 98	3eqtr4d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑝 − 𝑞))
100	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑃)
102	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
103	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
104	52	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑃)
105	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑟 ∈ 𝑃)
106		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝑃)
107		tgbtwnconn1.13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
108	1, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 107	tgbtwncom 28951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
109	108	ad7antr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
110		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
111	89	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐹 − 𝑋) = (𝑝 − 𝑟))
112	87, 92, 43	3eqtr4rd 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑟 − 𝑞))
113	112	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑟 − 𝑞))
114	1, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 110, 111, 113	tgcgrextend 28947	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑝 − 𝑞))
115	99, 114	pm2.61dane 3042	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑝 − 𝑞))
116		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
117		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
118	66	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝐸)
119	1, 116, 3, 5, 56, 52, 75, 79	btwncolg2 29019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐸 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑝) ∨ 𝐶 = 𝑝))
120	24	ad6antr 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
121	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐶) = (𝑝 − 𝐶))
122	48	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐶))
123	97	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑝 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
124	121, 122, 123	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐷 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
125	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑃)
126		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐹 ≠ 𝑋)
127	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐹 − 𝐶) = (𝑝 − 𝐶))
128	85	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑋) = (𝐶 − 𝑟))
129	1, 2, 3, 5, 56, 17, 56, 54, 128	tgcgrcomlr 28942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑟 − 𝐶))
130	129	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑟 − 𝐶))
131	1, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 125, 125, 126, 109, 110, 111, 113, 127, 130	axtg5seg 28927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐷 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
132	124, 131	pm2.61dane 3042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐷 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
133	1, 2, 3, 5, 9, 56, 10, 56, 132	tgcgrcomlr 28942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑞))
134	82, 120, 133	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝑞))
135	28	ad6antr 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
136	33	ad6antr 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐽 ∈ 𝑃)
137	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐺 ∈ TarskiG)
138	136	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐽 ∈ 𝑃)
139	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 ∈ 𝑃)
140	1, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37	tgbtwnexch 28961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
141	1, 2, 3, 4, 27, 28, 19, 33, 30, 140	tgbtwnexch3 28957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
142	141	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
143		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐵 = 𝐽)
144	143	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → (𝐵𝐼𝐽) = (𝐽𝐼𝐽))
145	142, 144	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 ∈ (𝐽𝐼𝐽))
146	1, 2, 3, 137, 138, 139, 145	axtgbtwnid 28928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐽 = 𝐶)
147	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐹 ∈ 𝑃)
148	1, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37	tgbtwnexch3 28957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶𝐼𝐽))
149	1, 2, 3, 4, 28, 19, 6, 33, 141, 148	tgbtwnexch2 28959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
150	149	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
151	150, 144	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐽𝐼𝐽))
152	1, 2, 3, 137, 138, 147, 151	axtgbtwnid 28928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐽 = 𝐹)
153	146, 152	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 = 𝐹)
154	69	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → ¬ 𝐶 = 𝐹)
155	153, 154	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → ¬ 𝐵 = 𝐽)
156	155	neqned 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐵 ≠ 𝐽)
157	1, 2, 3, 4, 27, 28, 8, 20, 31, 34	tgbtwnexch 28961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
158	1, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39	tgbtwnconn1lem1 29035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = 𝐽)
159	158	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐼𝐻) = (𝐴𝐼𝐽))
160	36, 159	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
161	1, 2, 3, 4, 27, 28, 20, 33, 157, 160	tgbtwnexch3 28957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
162	161	ad6antr 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐸 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
163	1, 116, 3, 5, 135, 75, 136, 162	btwncolg3 29020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐽 ∈ (𝐵(LineG‘𝐺)𝐸) ∨ 𝐵 = 𝐸))
164	70	ad6antr 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝐹)
165	1, 2, 3, 4, 6, 19, 28, 33, 148, 141	tgbtwnintr 28956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
166	165	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
167	1, 116, 3, 5, 56, 135, 7, 166	btwncolg2 29019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
168	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐺 ∈ TarskiG)
169	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 ∈ 𝑃)
170	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝑃)
171	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝑋 ∈ 𝑃)
172	85	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))
173		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 = 𝑟)
174	1, 2, 3, 168, 169, 170, 169, 171, 172, 173	tgcgreq 28944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 = 𝑋)
175	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐸 ∈ 𝑃)
176		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐹) = (𝐷 − 𝐹))
177		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐹) = (𝑋 − 𝐹))
178	26	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐷))
179	1, 2, 3, 4, 19, 8, 20, 8, 178	tgcgrcomlr 28942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
180	1, 2, 3, 4, 19, 6, 20, 6, 62	tgcgrcomlr 28942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐸))
181	1, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 19, 8, 16, 6, 20, 107, 107, 176, 177, 179, 180	tgifscgr 28971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐸))
182	181	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐸))
183	174	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑋 − 𝑋))
184	182, 183	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝑋 − 𝐸) = (𝑋 − 𝑋))
185	1, 2, 3, 168, 171, 175, 171, 184	axtgcgrid 28925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝑋 = 𝐸)
186	174, 185	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 = 𝐸)
187	66	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐸)
188	187	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → ¬ 𝐶 = 𝐸)
189	186, 188	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → ¬ 𝐶 = 𝑟)
190	189	neqned 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝑟)
191	1, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 74	tgbtwncom 28951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝑟𝐼𝐹))
192	1, 116, 3, 5, 56, 7, 54, 191	btwncolg2 29019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐶 = 𝐹))
193	92	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑟 − 𝑞))
194	1, 116, 3, 5, 56, 54, 7, 117, 52, 10, 2, 190, 192, 134, 193	lncgr 29032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝑝) = (𝐹 − 𝑞))
195	1, 116, 3, 5, 56, 7, 135, 117, 52, 10, 2, 164, 167, 134, 194	lncgr 29032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
196	148	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 ∈ (𝐶𝐼𝐽))
197	1, 116, 3, 5, 56, 136, 7, 196	btwncolg1 29018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐽) ∨ 𝐶 = 𝐽))
198	1, 116, 3, 5, 56, 7, 136, 117, 52, 10, 2, 164, 197, 134, 194	lncgr 29032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐽 − 𝑝) = (𝐽 − 𝑞))
199	1, 116, 3, 5, 135, 136, 75, 117, 52, 10, 2, 156, 163, 195, 198	lncgr 29032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐸 − 𝑝) = (𝐸 − 𝑞))
200	1, 116, 3, 5, 56, 75, 52, 117, 10, 56, 2, 118, 119, 134, 199	lnid 29033	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑝 = 𝑞)
201	200	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑞))
202	115, 201	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑞 − 𝑞))
203	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 202	axtgcgrid 28925	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 = 𝐷)
204	203	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐷 = 𝐹)
205	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
206	205	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
207		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
208	1, 2, 3, 206, 51, 207, 207, 51	axtgsegcon 28926	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝)))
209	204, 208	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝐷 = 𝐹)
210	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
211	19	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
212	16	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
213	1, 2, 3, 205, 210, 211, 211, 212	axtgsegcon 28926	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋)))
214	209, 213	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐷 = 𝐹)
215	1, 2, 3, 4, 20, 19, 19, 6	axtgsegcon 28926	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹)))
216	214, 215	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  cgrGccgrg 28973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974

This theorem is used by:  tgbtwnconn1  29038