Theorem tgbtwnconn1lem3 28600

Description: Lemma for tgbtwnconn1 28601. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn1.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwnconn1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
tgbtwnconn1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
tgbtwnconn1.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐻))
tgbtwnconn1.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
tgbtwnconn1.8	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
tgbtwnconn1.9	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
tgbtwnconn1.10	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐻) = (𝐵 − 𝐶))
tgbtwnconn1.11	⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐽) = (𝐵 − 𝐷))
tgbtwnconn1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.12	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
tgbtwnconn1.13	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgbtwnconn1.14	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn1lem3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐹)

Proof of Theorem tgbtwnconn1lem3

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwnconn1.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn1.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad6antr 735	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
7	6	ad6antr 735	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	ad6antr 735	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
11	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝑃)
14	1, 2, 3, 11, 12, 13	tgcgrtriv 28510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐷 − 𝐷) = (𝑞 − 𝑞))
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
16		tgbtwnconn1.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	16	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
19		tgbtwnconn1.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		tgbtwnconn1.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
21		tgbtwnconn1.12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
22		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
23		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐸) = (𝑋 − 𝐸))
24		tgbtwnconn1.9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
25	24	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐹))
26		tgbtwnconn1.8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
27		tgbtwnconn1.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		tgbtwnconn1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
29		tgbtwnconn1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
30		tgbtwnconn1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
31		tgbtwnconn1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
32		tgbtwnconn1.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
33		tgbtwnconn1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
34		tgbtwnconn1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
35		tgbtwnconn1.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
36		tgbtwnconn1.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐻))
37		tgbtwnconn1.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
38		tgbtwnconn1.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐻) = (𝐵 − 𝐶))
39		tgbtwnconn1.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐽) = (𝐵 − 𝐷))
40	1, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39	tgbtwnconn1lem2 28599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
41	26, 40	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐹))
42	1, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 8, 19, 16, 20, 6, 21, 21, 22, 23, 25, 41	tgifscgr 28534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝐹))
43	42	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝐹))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝐹))
45	15	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑋 − 𝐹) = (𝑋 − 𝑋))
46	44, 45	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑋))
47	1, 2, 3, 11, 18, 12, 18, 46	axtgcgrid 28489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑋 = 𝐷)
48	15, 47	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐹 = 𝐷)
49	48	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐷))
50	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑃)
51		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑃)
54		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑟 ∈ 𝑃)
56	19	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 = 𝐹)
58	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
59	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝑃)
61	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐸 ∈ 𝑃)
62	24, 40	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐹) = (𝐸 − 𝐹))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → (𝐶 − 𝐹) = (𝐸 − 𝐹))
64	1, 2, 3, 58, 59, 60, 61, 60, 63, 57	tgcgreq 28508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐸 = 𝐹)
65	57, 64	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 = 𝐸)
66		tgbtwnconn1.14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 ≠ 𝐸)
68	67	neneqd 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐹) → ¬ 𝐶 = 𝐸)
69	65, 68	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐹)
70	69	neqned 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐹)
71	70	necomd 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐶)
72	71	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 ≠ 𝐶)
73		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋)))
74	73	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟))
75	20	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
76	1, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 21	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
77	76	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑋 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
78		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹)))
79	78	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝))
80	1, 2, 3, 5, 75, 17, 56, 52, 77, 79	tgbtwnexch3 28520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑝))
81	1, 2, 3, 5, 17, 56, 52, 80	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝑝𝐼𝑋))
82	78	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))
83	82	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝑝))
84	1, 2, 3, 5, 56, 7, 56, 52, 83	tgcgrcomlr 28506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝐶) = (𝑝 − 𝐶))
85	73	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))
86	1, 2, 3, 5, 7, 52	axtgcgrrflx 28488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝑝) = (𝑝 − 𝐹))
87	1, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 52, 56, 17, 52, 7, 72, 74, 81, 84, 85, 86, 82	axtg5seg 28491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑋 − 𝐹))
88	87	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐹) = (𝑟 − 𝑝))
89	1, 2, 3, 5, 17, 7, 54, 52, 88	tgcgrcomlr 28506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝑋) = (𝑝 − 𝑟))
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝑋) = (𝑝 − 𝑟))
91	1, 2, 3, 11, 50, 18, 53, 55, 90, 15	tgcgreq 28508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑝 = 𝑟)
92		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
94	91	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑟 − 𝑟))
95	93, 94	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑟))
96	1, 2, 3, 11, 55, 13, 55, 95	axtgcgrid 28489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑟 = 𝑞)
97	91, 96	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → 𝑝 = 𝑞)
98	97	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑞))
99	14, 49, 98	3eqtr4d 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑝 − 𝑞))
100	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑃)
102	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
103	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
104	52	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑃)
105	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑟 ∈ 𝑃)
106		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝑃)
107		tgbtwnconn1.13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
108	1, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 107	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
109	108	ad7antr 737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
110		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
111	89	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐹 − 𝑋) = (𝑝 − 𝑟))
112	87, 92, 43	3eqtr4rd 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑟 − 𝑞))
113	112	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝑋 − 𝐷) = (𝑟 − 𝑞))
114	1, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 110, 111, 113	tgcgrextend 28511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑝 − 𝑞))
115	99, 114	pm2.61dane 3035	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑝 − 𝑞))
116		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
117		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
118	66	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝐸)
119	1, 116, 3, 5, 56, 52, 75, 79	btwncolg2 28582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐸 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑝) ∨ 𝐶 = 𝑝))
120	24	ad6antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝐹) = (𝐶 − 𝐷))
121	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐶) = (𝑝 − 𝐶))
122	48	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐹 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐶))
123	97	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝑝 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
124	121, 122, 123	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) → (𝐷 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
125	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑃)
126		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → 𝐹 ≠ 𝑋)
127	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐹 − 𝐶) = (𝑝 − 𝐶))
128	85	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑋) = (𝐶 − 𝑟))
129	1, 2, 3, 5, 56, 17, 56, 54, 128	tgcgrcomlr 28506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑟 − 𝐶))
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑟 − 𝐶))
131	1, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 125, 125, 126, 109, 110, 111, 113, 127, 130	axtg5seg 28491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐹 ≠ 𝑋) → (𝐷 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
132	124, 131	pm2.61dane 3035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐷 − 𝐶) = (𝑞 − 𝐶))
133	1, 2, 3, 5, 9, 56, 10, 56, 132	tgcgrcomlr 28506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 − 𝑞))
134	82, 120, 133	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝑞))
135	28	ad6antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
136	33	ad6antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐽 ∈ 𝑃)
137	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐺 ∈ TarskiG)
138	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐽 ∈ 𝑃)
139	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 ∈ 𝑃)
140	1, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37	tgbtwnexch 28524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
141	1, 2, 3, 4, 27, 28, 19, 33, 30, 140	tgbtwnexch3 28520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
142	141	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
143		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐵 = 𝐽)
144	143	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → (𝐵𝐼𝐽) = (𝐽𝐼𝐽))
145	142, 144	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 ∈ (𝐽𝐼𝐽))
146	1, 2, 3, 137, 138, 139, 145	axtgbtwnid 28492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐽 = 𝐶)
147	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐹 ∈ 𝑃)
148	1, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37	tgbtwnexch3 28520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶𝐼𝐽))
149	1, 2, 3, 4, 28, 19, 6, 33, 141, 148	tgbtwnexch2 28522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
150	149	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
151	150, 144	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐽𝐼𝐽))
152	1, 2, 3, 137, 138, 147, 151	axtgbtwnid 28492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐽 = 𝐹)
153	146, 152	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → 𝐶 = 𝐹)
154	69	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐵 = 𝐽) → ¬ 𝐶 = 𝐹)
155	153, 154	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → ¬ 𝐵 = 𝐽)
156	155	neqned 2953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐵 ≠ 𝐽)
157	1, 2, 3, 4, 27, 28, 8, 20, 31, 34	tgbtwnexch 28524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
158	1, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39	tgbtwnconn1lem1 28598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = 𝐽)
159	158	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐼𝐻) = (𝐴𝐼𝐽))
160	36, 159	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
161	1, 2, 3, 4, 27, 28, 20, 33, 157, 160	tgbtwnexch3 28520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
162	161	ad6antr 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐸 ∈ (𝐵𝐼𝐽))
163	1, 116, 3, 5, 135, 75, 136, 162	btwncolg3 28583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐽 ∈ (𝐵(LineG‘𝐺)𝐸) ∨ 𝐵 = 𝐸))
164	70	ad6antr 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝐹)
165	1, 2, 3, 4, 6, 19, 28, 33, 148, 141	tgbtwnintr 28519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
166	165	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
167	1, 116, 3, 5, 56, 135, 7, 166	btwncolg2 28582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
168	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐺 ∈ TarskiG)
169	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 ∈ 𝑃)
170	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝑃)
171	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝑋 ∈ 𝑃)
172	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))
173		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 = 𝑟)
174	1, 2, 3, 168, 169, 170, 169, 171, 172, 173	tgcgreq 28508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 = 𝑋)
175	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐸 ∈ 𝑃)
176		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐹) = (𝐷 − 𝐹))
177		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐹) = (𝑋 − 𝐹))
178	26	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐷))
179	1, 2, 3, 4, 19, 8, 20, 8, 178	tgcgrcomlr 28506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
180	1, 2, 3, 4, 19, 6, 20, 6, 62	tgcgrcomlr 28506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐸))
181	1, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 19, 8, 16, 6, 20, 107, 107, 176, 177, 179, 180	tgifscgr 28534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐸))
182	181	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑋 − 𝐸))
183	174	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝑋 − 𝐶) = (𝑋 − 𝑋))
184	182, 183	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → (𝑋 − 𝐸) = (𝑋 − 𝑋))
185	1, 2, 3, 168, 171, 175, 171, 184	axtgcgrid 28489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝑋 = 𝐸)
186	174, 185	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → 𝐶 = 𝐸)
187	66	neneqd 2951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐸)
188	187	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) ∧ 𝐶 = 𝑟) → ¬ 𝐶 = 𝐸)
189	186, 188	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → ¬ 𝐶 = 𝑟)
190	189	neqned 2953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝑟)
191	1, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 74	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ (𝑟𝐼𝐹))
192	1, 116, 3, 5, 56, 7, 54, 191	btwncolg2 28582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐶 = 𝐹))
193	92	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑟 − 𝑞))
194	1, 116, 3, 5, 56, 54, 7, 117, 52, 10, 2, 190, 192, 134, 193	lncgr 28595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝑝) = (𝐹 − 𝑞))
195	1, 116, 3, 5, 56, 7, 135, 117, 52, 10, 2, 164, 167, 134, 194	lncgr 28595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
196	148	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 ∈ (𝐶𝐼𝐽))
197	1, 116, 3, 5, 56, 136, 7, 196	btwncolg1 28581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐽) ∨ 𝐶 = 𝐽))
198	1, 116, 3, 5, 56, 7, 136, 117, 52, 10, 2, 164, 197, 134, 194	lncgr 28595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐽 − 𝑝) = (𝐽 − 𝑞))
199	1, 116, 3, 5, 135, 136, 75, 117, 52, 10, 2, 156, 163, 195, 198	lncgr 28595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐸 − 𝑝) = (𝐸 − 𝑞))
200	1, 116, 3, 5, 56, 75, 52, 117, 10, 56, 2, 118, 119, 134, 199	lnid 28596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝑝 = 𝑞)
201	200	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑞))
202	115, 201	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → (𝐹 − 𝐷) = (𝑞 − 𝑞))
203	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 202	axtgcgrid 28489	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐹 = 𝐷)
204	203	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))) → 𝐷 = 𝐹)
205	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
206	205	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
207		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
208	1, 2, 3, 206, 51, 207, 207, 51	axtgsegcon 28490	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑟 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝)))
209	204, 208	r19.29a 3168	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋))) → 𝐷 = 𝐹)
210	6	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
211	19	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
212	16	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
213	1, 2, 3, 205, 210, 211, 211, 212	axtgsegcon 28490	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝑟) ∧ (𝐶 − 𝑟) = (𝐶 − 𝑋)))
214	209, 213	r19.29a 3168	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹))) → 𝐷 = 𝐹)
215	1, 2, 3, 4, 20, 19, 19, 6	axtgsegcon 28490	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐶 − 𝑝) = (𝐶 − 𝐹)))
216	214, 215	r19.29a 3168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  cgrGccgrg 28536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-cgrg 28537

This theorem is referenced by:  tgbtwnconn1  28601