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Theorem tgbtwnconn1lem3 28365
Description: Lemma for tgbtwnconn1 28366. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn1.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tgbtwnconn1.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tgbtwnconn1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
tgbtwnconn1.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
tgbtwnconn1.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn1.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tgbtwnconn1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
tgbtwnconn1.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
tgbtwnconn1.6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐻))
tgbtwnconn1.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
tgbtwnconn1.8 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐷) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
tgbtwnconn1.9 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
tgbtwnconn1.10 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐻) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
tgbtwnconn1.11 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐽) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
tgbtwnconn1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn1.12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐢𝐼𝐸))
tgbtwnconn1.13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgbtwnconn1.14 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐸)
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn1lem3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = 𝐹)

Proof of Theorem tgbtwnconn1lem3
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn1.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tgbtwnconn1.m . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tgbtwnconn1.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tgbtwnconn1.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad6antr 735 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn1.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
76ad6antr 735 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
8 tgbtwnconn1.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
98ad6antr 735 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
10 simplr 768 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
115adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
129adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
13 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
141, 2, 3, 11, 12, 13tgcgrtriv 28275 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐷) = (π‘ž βˆ’ π‘ž))
15 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝐹 = 𝑋)
16 tgbtwnconn1.x . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1716ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
19 tgbtwnconn1.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
20 tgbtwnconn1.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
21 tgbtwnconn1.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐢𝐼𝐸))
22 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐸))
23 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐸) = (𝑋 βˆ’ 𝐸))
24 tgbtwnconn1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
2524eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
26 tgbtwnconn1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐷) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
27 tgbtwnconn1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
28 tgbtwnconn1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
29 tgbtwnconn1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
30 tgbtwnconn1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
31 tgbtwnconn1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
32 tgbtwnconn1.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
33 tgbtwnconn1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
34 tgbtwnconn1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
35 tgbtwnconn1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
36 tgbtwnconn1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐻))
37 tgbtwnconn1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
38 tgbtwnconn1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐻) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
39 tgbtwnconn1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐽) = (𝐡 βˆ’ 𝐷))
401, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39tgbtwnconn1lem2 28364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
4126, 40eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
421, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 8, 19, 16, 20, 6, 21, 21, 22, 23, 25, 41tgifscgr 28299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐷) = (𝑋 βˆ’ 𝐹))
4342ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐷) = (𝑋 βˆ’ 𝐹))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐷) = (𝑋 βˆ’ 𝐹))
4515oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐹) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
4644, 45eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐷) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
471, 2, 3, 11, 18, 12, 18, 46axtgcgrid 28254 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝑋 = 𝐷)
4815, 47eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝐹 = 𝐷)
4948oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐷) = (𝐷 βˆ’ 𝐷))
507adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
51 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
54 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
5619ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 = 𝐹)
584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5919adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
606adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
6120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
6224, 40eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
641, 2, 3, 58, 59, 60, 61, 60, 63, 57tgcgreq 28273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐸 = 𝐹)
6557, 64eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 = 𝐸)
66 tgbtwnconn1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐸)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 β‰  𝐸)
6867neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐸)
6965, 68pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐹)
7069neqned 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐹)
7170necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐢)
7271ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐹 β‰  𝐢)
73 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
7473simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ))
7520ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
761, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 21tgbtwncom 28279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐸𝐼𝐢))
7776ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑋 ∈ (𝐸𝐼𝐢))
78 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹)))
7978simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝))
801, 2, 3, 5, 75, 17, 56, 52, 77, 79tgbtwnexch3 28285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 ∈ (𝑋𝐼𝑝))
811, 2, 3, 5, 17, 56, 52, 80tgbtwncom 28279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 ∈ (𝑝𝐼𝑋))
8278simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
8382eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝑝))
841, 2, 3, 5, 56, 7, 56, 52, 83tgcgrcomlr 28271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐢) = (𝑝 βˆ’ 𝐢))
8573simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))
861, 2, 3, 5, 7, 52axtgcgrrflx 28253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝑝) = (𝑝 βˆ’ 𝐹))
871, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 52, 56, 17, 52, 7, 72, 74, 81, 84, 85, 86, 82axtg5seg 28256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝) = (𝑋 βˆ’ 𝐹))
8887eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐹) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))
891, 2, 3, 5, 17, 7, 54, 52, 88tgcgrcomlr 28271 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝑋) = (𝑝 βˆ’ π‘Ÿ))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝑋) = (𝑝 βˆ’ π‘Ÿ))
911, 2, 3, 11, 50, 18, 53, 55, 90, 15tgcgreq 28273 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝑝 = π‘Ÿ)
92 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))
9491oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝) = (π‘Ÿ βˆ’ π‘Ÿ))
9593, 94eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ π‘Ÿ))
961, 2, 3, 11, 55, 13, 55, 95axtgcgrid 28254 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ π‘Ÿ = π‘ž)
9791, 96eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ 𝑝 = π‘ž)
9897oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝑝 βˆ’ π‘ž) = (π‘ž βˆ’ π‘ž))
9914, 49, 983eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐷) = (𝑝 βˆ’ π‘ž))
1005adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1017adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
10217adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1039adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
10452adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
10554adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
106 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
107 tgbtwnconn1.13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
1081, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 107tgbtwncom 28279 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
109108ad7antr 737 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
110 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž))
11189adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝑋) = (𝑝 βˆ’ π‘Ÿ))
11287, 92, 433eqtr4rd 2778 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐷) = (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))
113112adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐷) = (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))
1141, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 110, 111, 113tgcgrextend 28276 . . . . . . . 8 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐷) = (𝑝 βˆ’ π‘ž))
11599, 114pm2.61dane 3024 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐷) = (𝑝 βˆ’ π‘ž))
116 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
117 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
11866ad6antr 735 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 β‰  𝐸)
1191, 116, 3, 5, 56, 52, 75, 79btwncolg2 28347 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐸 ∈ (𝐢(LineGβ€˜πΊ)𝑝) ∨ 𝐢 = 𝑝))
12024ad6antr 735 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
12184adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐢) = (𝑝 βˆ’ 𝐢))
12248oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
12397oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝑝 βˆ’ 𝐢) = (π‘ž βˆ’ 𝐢))
124121, 122, 1233eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 = 𝑋) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (π‘ž βˆ’ 𝐢))
12556adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
126 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ 𝐹 β‰  𝑋)
12784adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐢) = (𝑝 βˆ’ 𝐢))
12885eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑋) = (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ))
1291, 2, 3, 5, 56, 17, 56, 54, 128tgcgrcomlr 28271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝐢))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝐢))
1311, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 125, 125, 126, 109, 110, 111, 113, 127, 130axtg5seg 28256 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐹 β‰  𝑋) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (π‘ž βˆ’ 𝐢))
132124, 131pm2.61dane 3024 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (π‘ž βˆ’ 𝐢))
1331, 2, 3, 5, 9, 56, 10, 56, 132tgcgrcomlr 28271 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) = (𝐢 βˆ’ π‘ž))
13482, 120, 1333eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ π‘ž))
13528ad6antr 735 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
13633ad6antr 735 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
1375adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
138136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
13956adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1401, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37tgbtwnexch 28289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
1411, 2, 3, 4, 27, 28, 19, 33, 30, 140tgbtwnexch3 28285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐽))
142141ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐽))
143 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐡 = 𝐽)
144143oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ (𝐡𝐼𝐽) = (𝐽𝐼𝐽))
145142, 144eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ (𝐽𝐼𝐽))
1461, 2, 3, 137, 138, 139, 145axtgbtwnid 28257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐽 = 𝐢)
1477adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1481, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37tgbtwnexch3 28285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢𝐼𝐽))
1491, 2, 3, 4, 28, 19, 6, 33, 141, 148tgbtwnexch2 28287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐡𝐼𝐽))
150149ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ (𝐡𝐼𝐽))
151150, 144eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽𝐼𝐽))
1521, 2, 3, 137, 138, 147, 151axtgbtwnid 28257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐽 = 𝐹)
153146, 152eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ 𝐢 = 𝐹)
15469ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐡 = 𝐽) β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐹)
155153, 154pm2.65da 816 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐽)
156155neqned 2942 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐡 β‰  𝐽)
1571, 2, 3, 4, 27, 28, 8, 20, 31, 34tgbtwnexch 28289 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
1581, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39tgbtwnconn1lem1 28363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐻 = 𝐽)
159158oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐼𝐻) = (𝐴𝐼𝐽))
16036, 159eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐴𝐼𝐽))
1611, 2, 3, 4, 27, 28, 20, 33, 157, 160tgbtwnexch3 28285 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐡𝐼𝐽))
162161ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐡𝐼𝐽))
1631, 116, 3, 5, 135, 75, 136, 162btwncolg3 28348 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐽 ∈ (𝐡(LineGβ€˜πΊ)𝐸) ∨ 𝐡 = 𝐸))
16470ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 β‰  𝐹)
1651, 2, 3, 4, 6, 19, 28, 33, 148, 141tgbtwnintr 28284 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹𝐼𝐡))
166165ad6antr 735 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 ∈ (𝐹𝐼𝐡))
1671, 116, 3, 5, 56, 135, 7, 166btwncolg2 28347 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐢(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∨ 𝐢 = 𝐡))
1685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
16956adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
17054adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
17117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
17285adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))
173 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝐢 = π‘Ÿ)
1741, 2, 3, 168, 169, 170, 169, 171, 172, 173tgcgreq 28273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝐢 = 𝑋)
17575adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
176 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐹) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
177 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐹) = (𝑋 βˆ’ 𝐹))
17826eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
1791, 2, 3, 4, 19, 8, 20, 8, 178tgcgrcomlr 28271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
1801, 2, 3, 4, 19, 6, 20, 6, 62tgcgrcomlr 28271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
1811, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 19, 8, 16, 6, 20, 107, 107, 176, 177, 179, 180tgifscgr 28299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) = (𝑋 βˆ’ 𝐸))
182181ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) = (𝑋 βˆ’ 𝐸))
183174oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐢) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
184182, 183eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐸) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
1851, 2, 3, 168, 171, 175, 171, 184axtgcgrid 28254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝑋 = 𝐸)
186174, 185eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ 𝐢 = 𝐸)
18766neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐸)
188187ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) ∧ 𝐢 = π‘Ÿ) β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐸)
189186, 188pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ Β¬ 𝐢 = π‘Ÿ)
190189neqned 2942 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 β‰  π‘Ÿ)
1911, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 74tgbtwncom 28279 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐢 ∈ (π‘ŸπΌπΉ))
1921, 116, 3, 5, 56, 7, 54, 191btwncolg2 28347 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (π‘Ÿ ∈ (𝐢(LineGβ€˜πΊ)𝐹) ∨ 𝐢 = 𝐹))
19392eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝) = (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))
1941, 116, 3, 5, 56, 54, 7, 117, 52, 10, 2, 190, 192, 134, 193lncgr 28360 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝑝) = (𝐹 βˆ’ π‘ž))
1951, 116, 3, 5, 56, 7, 135, 117, 52, 10, 2, 164, 167, 134, 194lncgr 28360 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑝) = (𝐡 βˆ’ π‘ž))
196148ad6antr 735 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢𝐼𝐽))
1971, 116, 3, 5, 56, 136, 7, 196btwncolg1 28346 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐢(LineGβ€˜πΊ)𝐽) ∨ 𝐢 = 𝐽))
1981, 116, 3, 5, 56, 7, 136, 117, 52, 10, 2, 164, 197, 134, 194lncgr 28360 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐽 βˆ’ 𝑝) = (𝐽 βˆ’ π‘ž))
1991, 116, 3, 5, 135, 136, 75, 117, 52, 10, 2, 156, 163, 195, 198lncgr 28360 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐸 βˆ’ 𝑝) = (𝐸 βˆ’ π‘ž))
2001, 116, 3, 5, 56, 75, 52, 117, 10, 56, 2, 118, 119, 134, 199lnid 28361 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑝 = π‘ž)
201200oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝑝 βˆ’ π‘ž) = (π‘ž βˆ’ π‘ž))
202115, 201eqtrd 2767 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐷) = (π‘ž βˆ’ π‘ž))
2031, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 202axtgcgrid 28254 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐹 = 𝐷)
204203eqcomd 2733 . . . 4 (((((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐷 = 𝐹)
2054ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
206205ad2antrr 725 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
207 simplr 768 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑃)
2081, 2, 3, 206, 51, 207, 207, 51axtgsegcon 28255 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑃 (π‘Ÿ ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = (π‘Ÿ βˆ’ 𝑝)))
209204, 208r19.29a 3157 . . 3 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐷 = 𝐹)
2106ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
21119ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
21216ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
2131, 2, 3, 205, 210, 211, 211, 212axtgsegcon 28255 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑃 (𝐢 ∈ (πΉπΌπ‘Ÿ) ∧ (𝐢 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐢 βˆ’ 𝑋)))
214209, 213r19.29a 3157 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))) β†’ 𝐷 = 𝐹)
2151, 2, 3, 4, 20, 19, 19, 6axtgsegcon 28255 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐢 ∈ (𝐸𝐼𝑝) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑝) = (𝐢 βˆ’ 𝐹)))
216214, 215r19.29a 3157 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  distcds 17233  TarskiGcstrkg 28218  Itvcitv 28224  LineGclng 28225  cgrGccgrg 28301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-s2 14823  df-s3 14824  df-trkgc 28239  df-trkgb 28240  df-trkgcb 28241  df-trkg 28244  df-cgrg 28302
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