Theorem nofnbday 27155

Description: A surreal is a function over its birthday. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofnbday	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 Fn ( bday ‘𝐴))

Proof of Theorem nofnbday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nofun 27152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)
2		bdayval 27151	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = dom 𝐴)
3	2	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 = ( bday ‘𝐴))
4		df-fn 6547	. 2 ⊢ (𝐴 Fn ( bday ‘𝐴) ↔ (Fun 𝐴 ∧ dom 𝐴 = ( bday ‘𝐴)))
5	1, 3, 4	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 Fn ( bday ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  dom cdm 5677  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544   No csur 27143   bday cbday 27145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-no 27146  df-bday 27148

This theorem is referenced by:  nodenselem8  27194