Theorem fvnobday 28035

Description: The value of a surreal at its birthday is ∅. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by SF, 14-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvnobday	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)

Proof of Theorem fvnobday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayval 28005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (bday‘𝐴) = dom 𝐴)
2		nodmord 28010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Ord dom 𝐴)
3		ordirr 6380	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
5	1, 4	eqneltrd 2881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ (bday‘𝐴) ∈ dom 𝐴)
6		ndmfv 6917	. 2 ⊢ (¬ (bday‘𝐴) ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)
7	5, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  dom cdm 5651  Ord word 6361  ‘cfv 6538  Nocsur 27997  bdaycbday 27999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-no 28000  df-bday 28002

This theorem is used by:  nodense  28049