Theorem fvnobday 28035

Description: The value of a surreal at its birthday is ∅. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by SF, 14-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvnobday	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)

Proof of Theorem fvnobday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayval 28005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (bday‘𝐴) = dom 𝐴)
2		nodmord 28010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Ord dom 𝐴)
3		ordirr 6380	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
5	1, 4	eqneltrd 2880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ (bday‘𝐴) ∈ dom 𝐴)
6		ndmfv 6917	. 2 ⊢ (¬ (bday‘𝐴) ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)
7	5, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  dom cdm 5650  Ord word 6361  ‘cfv 6538  Nocsur 27997  bdaycbday 27999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-no 28000  df-bday 28002

This theorem is used by:  nodense  28049