Theorem fvnobday 27623

Description: The value of a surreal at its birthday is ∅. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by SF, 14-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvnobday	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘( bday ‘𝐴)) = ∅)

Proof of Theorem fvnobday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayval 27593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = dom 𝐴)
2		nodmord 27598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Ord dom 𝐴)
3		ordirr 6338	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
5	1, 4	eqneltrd 2848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ ( bday ‘𝐴) ∈ dom 𝐴)
6		ndmfv 6875	. 2 ⊢ (¬ ( bday ‘𝐴) ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘( bday ‘𝐴)) = ∅)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘( bday ‘𝐴)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  dom cdm 5631  Ord word 6319  ‘cfv 6499   No csur 27584   bday cbday 27586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-ord 6323  df-on 6324  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-no 27587  df-bday 27589

This theorem is referenced by:  nodense  27637