Theorem fvnobday 27648

Description: The value of a surreal at its birthday is ∅. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by SF, 14-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvnobday	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘( bday ‘𝐴)) = ∅)

Proof of Theorem fvnobday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayval 27618	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = dom 𝐴)
2		nodmord 27623	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Ord dom 𝐴)
3		ordirr 6334	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
5	1, 4	eqneltrd 2855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ ( bday ‘𝐴) ∈ dom 𝐴)
6		ndmfv 6865	. 2 ⊢ (¬ ( bday ‘𝐴) ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘( bday ‘𝐴)) = ∅)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘( bday ‘𝐴)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4284  dom cdm 5623  Ord word 6315  ‘cfv 6491   No csur 27609   bday cbday 27611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-ord 6319  df-on 6320  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-no 27612  df-bday 27614

This theorem is referenced by:  nodense  27662