Theorem fvnobday 28062

Description: The value of a surreal at its birthday is ∅. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by SF, 14-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvnobday	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)

Proof of Theorem fvnobday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayval 28032	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (bday‘𝐴) = dom 𝐴)
2		nodmord 28037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Ord dom 𝐴)
3		ordirr 6395	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
5	1, 4	eqneltrd 2884	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ (bday‘𝐴) ∈ dom 𝐴)
6		ndmfv 6937	. 2 ⊢ (¬ (bday‘𝐴) ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)
7	5, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴‘(bday‘𝐴)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  dom cdm 5655  Ord word 6376  ‘cfv 6555  Nocsur 28024  bdaycbday 28026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-ord 6380  df-on 6381  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-no 28027  df-bday 28029

This theorem is used by:  nodense  28076