Theorem nofun 27893

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27890	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6709	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3161	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {cpr 4589  Oncon0 6361  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453   No csur 27884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-no 27887

This theorem is used by:  nofnbday  27896  elno2  27898  nofv  27901  ltsres  27906  nosepon  27909  noextend  27910  noextendseq  27911  noextenddif  27912  noextendlt  27913  noextendgt  27914  nolesgn2ores  27916  nogesgn1ores  27918  nosepssdm  27930  nolt02olem  27938  nolt02o  27939  nogt01o  27940  nosupno  27947  nosupres  27951  nosupbnd1lem5  27956  nosupbnd1  27958  nosupbnd2lem1  27959  nosupbnd2  27960  noinfno  27962  noinfres  27966  noinfbnd1lem5  27971  noinfbnd1  27973  noinfbnd2lem1  27974  noinfbnd2  27975  noetasuplem2  27978  noetasuplem3  27979  noetasuplem4  27980  noetainflem2  27982  noetainflem4  27984