Theorem nofun 27586

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6654	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3129	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {cpr 4578  Oncon0 6306  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379   No csur 27576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-no 27579

This theorem is referenced by:  nofnbday  27589  elno2  27591  nofv  27594  sltres  27599  nosepon  27602  noextend  27603  noextendseq  27604  noextenddif  27605  noextendlt  27606  noextendgt  27607  nolesgn2ores  27609  nogesgn1ores  27611  nosepssdm  27623  nolt02olem  27631  nolt02o  27632  nogt01o  27633  nosupno  27640  nosupres  27644  nosupbnd1lem5  27649  nosupbnd1  27651  nosupbnd2lem1  27652  nosupbnd2  27653  noinfno  27655  noinfres  27659  noinfbnd1lem5  27664  noinfbnd1  27666  noinfbnd2lem1  27667  noinfbnd2  27668  noetasuplem2  27671  noetasuplem3  27672  noetasuplem4  27673  noetainflem2  27675  noetainflem4  27677