Theorem nofun 27690

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6690	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3158	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  {cpr 4583  Oncon0 6342  Fun wfun 6511  ⟶wf 6513  1_oc1o 8425  2_oc2o 8426   No csur 27681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-no 27684

This theorem is referenced by:  nofnbday  27693  elno2  27695  nofv  27698  ltsres  27703  nosepon  27706  noextend  27707  noextendseq  27708  noextenddif  27709  noextendlt  27710  noextendgt  27711  nolesgn2ores  27713  nogesgn1ores  27715  nosepssdm  27727  nolt02olem  27735  nolt02o  27736  nogt01o  27737  nosupno  27744  nosupres  27748  nosupbnd1lem5  27753  nosupbnd1  27755  nosupbnd2lem1  27756  nosupbnd2  27757  noinfno  27759  noinfres  27763  noinfbnd1lem5  27768  noinfbnd1  27770  noinfbnd2lem1  27771  noinfbnd2  27772  noetasuplem2  27775  noetasuplem3  27776  noetasuplem4  27777  noetainflem2  27779  noetainflem4  27781