Theorem nofun 27561

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6691	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3130	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4591  Oncon0 6332  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   No csur 27551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-no 27554

This theorem is referenced by:  nofnbday  27564  elno2  27566  nofv  27569  sltres  27574  nosepon  27577  noextend  27578  noextendseq  27579  noextenddif  27580  noextendlt  27581  noextendgt  27582  nolesgn2ores  27584  nogesgn1ores  27586  nosepssdm  27598  nolt02olem  27606  nolt02o  27607  nogt01o  27608  nosupno  27615  nosupres  27619  nosupbnd1lem5  27624  nosupbnd1  27626  nosupbnd2lem1  27627  nosupbnd2  27628  noinfno  27630  noinfres  27634  noinfbnd1lem5  27639  noinfbnd1  27641  noinfbnd2lem1  27642  noinfbnd2  27643  noetasuplem2  27646  noetasuplem3  27647  noetasuplem4  27648  noetainflem2  27650  noetainflem4  27652