Theorem nofun 27791

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6710	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3162	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {cpr 4592  Oncon0 6362  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448   No csur 27782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-no 27785

This theorem is referenced by:  nofnbday  27794  elno2  27796  nofv  27799  ltsres  27804  nosepon  27807  noextend  27808  noextendseq  27809  noextenddif  27810  noextendlt  27811  noextendgt  27812  nolesgn2ores  27814  nogesgn1ores  27816  nosepssdm  27828  nolt02olem  27836  nolt02o  27837  nogt01o  27838  nosupno  27845  nosupres  27849  nosupbnd1lem5  27854  nosupbnd1  27856  nosupbnd2lem1  27857  nosupbnd2  27858  noinfno  27860  noinfres  27864  noinfbnd1lem5  27869  noinfbnd1  27871  noinfbnd2lem1  27872  noinfbnd2  27873  noetasuplem2  27876  noetasuplem3  27877  noetasuplem4  27878  noetainflem2  27880  noetainflem4  27882