Theorem nofun 27627

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6665	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3135	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4570  Oncon0 6317  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  1_oc1o 8391  2_oc2o 8392   No csur 27617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-no 27620

This theorem is referenced by:  nofnbday  27630  elno2  27632  nofv  27635  ltsres  27640  nosepon  27643  noextend  27644  noextendseq  27645  noextenddif  27646  noextendlt  27647  noextendgt  27648  nolesgn2ores  27650  nogesgn1ores  27652  nosepssdm  27664  nolt02olem  27672  nolt02o  27673  nogt01o  27674  nosupno  27681  nosupres  27685  nosupbnd1lem5  27690  nosupbnd1  27692  nosupbnd2lem1  27693  nosupbnd2  27694  noinfno  27696  noinfres  27700  noinfbnd1lem5  27705  noinfbnd1  27707  noinfbnd2lem1  27708  noinfbnd2  27709  noetasuplem2  27712  noetasuplem3  27713  noetasuplem4  27714  noetainflem2  27716  noetainflem4  27718