Theorem nofun 27522

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6711	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3143	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  {cpr 4623  Oncon0 6355  Fun wfun 6528  ⟶wf 6530  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   No csur 27513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-no 27516

This theorem is referenced by:  nofnbday  27525  elno2  27527  nofv  27530  sltres  27535  nosepon  27538  noextend  27539  noextendseq  27540  noextenddif  27541  noextendlt  27542  noextendgt  27543  nolesgn2ores  27545  nogesgn1ores  27547  nosepssdm  27559  nolt02olem  27567  nolt02o  27568  nogt01o  27569  nosupno  27576  nosupres  27580  nosupbnd1lem5  27585  nosupbnd1  27587  nosupbnd2lem1  27588  nosupbnd2  27589  noinfno  27591  noinfres  27595  noinfbnd1lem5  27600  noinfbnd1  27602  noinfbnd2lem1  27603  noinfbnd2  27604  noetasuplem2  27607  noetasuplem3  27608  noetasuplem4  27609  noetainflem2  27611  noetainflem4  27613