Theorem nofun 27617

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6665	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3133	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {cpr 4582  Oncon0 6317  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  1_oc1o 8390  2_oc2o 8391   No csur 27607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-no 27610

This theorem is referenced by:  nofnbday  27620  elno2  27622  nofv  27625  ltsres  27630  nosepon  27633  noextend  27634  noextendseq  27635  noextenddif  27636  noextendlt  27637  noextendgt  27638  nolesgn2ores  27640  nogesgn1ores  27642  nosepssdm  27654  nolt02olem  27662  nolt02o  27663  nogt01o  27664  nosupno  27671  nosupres  27675  nosupbnd1lem5  27680  nosupbnd1  27682  nosupbnd2lem1  27683  nosupbnd2  27684  noinfno  27686  noinfres  27690  noinfbnd1lem5  27695  noinfbnd1  27697  noinfbnd2lem1  27698  noinfbnd2  27699  noetasuplem2  27702  noetasuplem3  27703  noetasuplem4  27704  noetainflem2  27706  noetainflem4  27708