Theorem nofun 27568

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27564	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6694	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3131	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {cpr 4594  Oncon0 6335  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431   No csur 27558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-no 27561

This theorem is referenced by:  nofnbday  27571  elno2  27573  nofv  27576  sltres  27581  nosepon  27584  noextend  27585  noextendseq  27586  noextenddif  27587  noextendlt  27588  noextendgt  27589  nolesgn2ores  27591  nogesgn1ores  27593  nosepssdm  27605  nolt02olem  27613  nolt02o  27614  nogt01o  27615  nosupno  27622  nosupres  27626  nosupbnd1lem5  27631  nosupbnd1  27633  nosupbnd2lem1  27634  nosupbnd2  27635  noinfno  27637  noinfres  27641  noinfbnd1lem5  27646  noinfbnd1  27648  noinfbnd2lem1  27649  noinfbnd2  27650  noetasuplem2  27653  noetasuplem3  27654  noetasuplem4  27655  noetainflem2  27657  noetainflem4  27659