Theorem nofun 26903

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 26900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6654	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3144	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3070  {cpr 4575  Oncon0 6302  Fun wfun 6473  ⟶wf 6475  1_oc1o 8360  2_oc2o 8361   No csur 26894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-no 26897

This theorem is referenced by:  nofnbday  26906  elno2  26908  nofv  26911  sltres  26916  nosepon  26919  noextend  26920  noextendseq  26921  noextenddif  26922  noextendlt  26923  noextendgt  26924  nolesgn2ores  26926  nogesgn1ores  26928  nosepssdm  26940  nolt02olem  26948  nolt02o  26949  nogt01o  26950  nosupno  26957  nosupres  26961  nosupbnd1lem5  26966  nosupbnd1  26968  nosupbnd2lem1  26969  nosupbnd2  26970  noinfno  26972  noinfres  26976  noinfbnd1lem5  26981  noinfbnd1  26983  noinfbnd2lem1  26984  noinfbnd2  26985  noetasuplem2  26988  noetasuplem3  26989  noetasuplem4  26990  noetainflem2  26992  noetainflem4  26994