Theorem nofun 27631

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27627	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6658	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3136	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  {cpr 4557  Oncon0 6310  Fun wfun 6479  ⟶wf 6481  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389   No csur 27621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-no 27624

This theorem is referenced by:  nofnbday  27634  elno2  27636  nofv  27639  ltsres  27644  nosepon  27647  noextend  27648  noextendseq  27649  noextenddif  27650  noextendlt  27651  noextendgt  27652  nolesgn2ores  27654  nogesgn1ores  27656  nosepssdm  27668  nolt02olem  27676  nolt02o  27677  nogt01o  27678  nosupno  27685  nosupres  27689  nosupbnd1lem5  27694  nosupbnd1  27696  nosupbnd2lem1  27697  nosupbnd2  27698  noinfno  27700  noinfres  27704  noinfbnd1lem5  27709  noinfbnd1  27711  noinfbnd2lem1  27712  noinfbnd2  27713  noetasuplem2  27716  noetasuplem3  27717  noetasuplem4  27718  noetainflem2  27720  noetainflem4  27722