Theorem nofun 27613

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6671	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3134	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {cpr 4569  Oncon0 6323  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399   No csur 27603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-no 27606

This theorem is referenced by:  nofnbday  27616  elno2  27618  nofv  27621  ltsres  27626  nosepon  27629  noextend  27630  noextendseq  27631  noextenddif  27632  noextendlt  27633  noextendgt  27634  nolesgn2ores  27636  nogesgn1ores  27638  nosepssdm  27650  nolt02olem  27658  nolt02o  27659  nogt01o  27660  nosupno  27667  nosupres  27671  nosupbnd1lem5  27676  nosupbnd1  27678  nosupbnd2lem1  27679  nosupbnd2  27680  noinfno  27682  noinfres  27686  noinfbnd1lem5  27691  noinfbnd1  27693  noinfbnd2lem1  27694  noinfbnd2  27695  noetasuplem2  27698  noetasuplem3  27699  noetasuplem4  27700  noetainflem2  27702  noetainflem4  27704