Theorem nofun 27709

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6740	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3149	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {cpr 4633  Oncon0 6386  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   No csur 27699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-no 27702

This theorem is referenced by:  nofnbday  27712  elno2  27714  nofv  27717  sltres  27722  nosepon  27725  noextend  27726  noextendseq  27727  noextenddif  27728  noextendlt  27729  noextendgt  27730  nolesgn2ores  27732  nogesgn1ores  27734  nosepssdm  27746  nolt02olem  27754  nolt02o  27755  nogt01o  27756  nosupno  27763  nosupres  27767  nosupbnd1lem5  27772  nosupbnd1  27774  nosupbnd2lem1  27775  nosupbnd2  27776  noinfno  27778  noinfres  27782  noinfbnd1lem5  27787  noinfbnd1  27789  noinfbnd2lem1  27790  noinfbnd2  27791  noetasuplem2  27794  noetasuplem3  27795  noetasuplem4  27796  noetainflem2  27798  noetainflem4  27800