Theorem nofun 27581

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27578	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6725	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3148	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  {cpr 4631  Oncon0 6369  Fun wfun 6542  ⟶wf 6544  1_oc1o 8479  2_oc2o 8480   No csur 27572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-no 27575

This theorem is referenced by:  nofnbday  27584  elno2  27586  nofv  27589  sltres  27594  nosepon  27597  noextend  27598  noextendseq  27599  noextenddif  27600  noextendlt  27601  noextendgt  27602  nolesgn2ores  27604  nogesgn1ores  27606  nosepssdm  27618  nolt02olem  27626  nolt02o  27627  nogt01o  27628  nosupno  27635  nosupres  27639  nosupbnd1lem5  27644  nosupbnd1  27646  nosupbnd2lem1  27647  nosupbnd2  27648  noinfno  27650  noinfres  27654  noinfbnd1lem5  27659  noinfbnd1  27661  noinfbnd2lem1  27662  noinfbnd2  27663  noetasuplem2  27666  noetasuplem3  27667  noetasuplem4  27668  noetainflem2  27670  noetainflem4  27672