Theorem nofun 28063

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 28060	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6742	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3163	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {cpr 4590  Oncon0 6388  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508  Nocsur 28054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-no 28057

This theorem is used by:  nofnbday  28066  elno2  28068  nofv  28071  ltsres  28076  nosepon  28079  noextend  28080  noextendseq  28081  noextenddif  28082  noextendlt  28083  noextendgt  28084  nolesgn2ores  28086  nogesgn1ores  28088  nosepssdm  28100  nolt02olem  28108  nolt02o  28109  nogt01o  28110  nosupno  28117  nosupres  28121  nosupbnd1lem5  28126  nosupbnd1  28128  nosupbnd2lem1  28129  nosupbnd2  28130  noinfno  28132  noinfres  28136  noinfbnd1lem5  28141  noinfbnd1  28143  noinfbnd2lem1  28144  noinfbnd2  28145  noetasuplem2  28148  noetasuplem3  28149  noetasuplem4  28150  noetainflem2  28152  noetainflem4  28154