Theorem nofun 27712

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6750	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3157	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {cpr 4650  Oncon0 6395  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   No csur 27702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-no 27705

This theorem is referenced by:  nofnbday  27715  elno2  27717  nofv  27720  sltres  27725  nosepon  27728  noextend  27729  noextendseq  27730  noextenddif  27731  noextendlt  27732  noextendgt  27733  nolesgn2ores  27735  nogesgn1ores  27737  nosepssdm  27749  nolt02olem  27757  nolt02o  27758  nogt01o  27759  nosupno  27766  nosupres  27770  nosupbnd1lem5  27775  nosupbnd1  27777  nosupbnd2lem1  27778  nosupbnd2  27779  noinfno  27781  noinfres  27785  noinfbnd1lem5  27790  noinfbnd1  27792  noinfbnd2lem1  27793  noinfbnd2  27794  noetasuplem2  27797  noetasuplem3  27798  noetasuplem4  27799  noetainflem2  27801  noetainflem4  27803