Theorem nofun 27631

Description: A surreal is a function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nofun	⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Proof of Theorem nofun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27627	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		ffun 6719	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
3	2	rexlimivw 3138	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → Fun 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {cpr 4608  Oncon0 6363  Fun wfun 6535  ⟶wf 6537  1_oc1o 8481  2_oc2o 8482   No csur 27621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-no 27624

This theorem is referenced by:  nofnbday  27634  elno2  27636  nofv  27639  sltres  27644  nosepon  27647  noextend  27648  noextendseq  27649  noextenddif  27650  noextendlt  27651  noextendgt  27652  nolesgn2ores  27654  nogesgn1ores  27656  nosepssdm  27668  nolt02olem  27676  nolt02o  27677  nogt01o  27678  nosupno  27685  nosupres  27689  nosupbnd1lem5  27694  nosupbnd1  27696  nosupbnd2lem1  27697  nosupbnd2  27698  noinfno  27700  noinfres  27704  noinfbnd1lem5  27709  noinfbnd1  27711  noinfbnd2lem1  27712  noinfbnd2  27713  noetasuplem2  27716  noetasuplem3  27717  noetasuplem4  27718  noetainflem2  27720  noetainflem4  27722