MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blrn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blrn 24137
Description: Membership in the range of the ball function. Note that ran (ballβ€˜π·) is the collection of all balls for metric 𝐷. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blrn (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝐴   𝐷,π‘Ÿ,π‘₯   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯
Proof of Theorem blrn
StepHypRef Expression
1 blf 24135 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (ballβ€˜π·):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋)
2 ffn 6718 . 2 ((ballβ€˜π·):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋 β†’ (ballβ€˜π·) Fn (𝑋 Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7587 . 2 ((ballβ€˜π·) Fn (𝑋 Γ— ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
41, 2, 33syl 18 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝐴 = (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  π’« cpw 4603   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„*cxr 11253  βˆžMetcxmet 21131  ballcbl 21133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8826  df-xr 11258  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-bl 21141
This theorem is referenced by:  blss  24153  imasf1oxms  24220  prdsxmslem2  24260  blssioo  24533
  Copyright terms: Public domain W3C validator