MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssioo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blssioo 24311
Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
blssioo ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
Proof of Theorem blssioo
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24307 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 blrn 23915 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
5 elxr 13096 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ ℝ* ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∨ π‘Ÿ = +∞ ∨ π‘Ÿ = -∞))
61bl2ioo 24308 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)))
7 resubcl 11524 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
8 readdcl 11193 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
9 ioof 13424 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
10 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
12 rexr 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
13 rexr 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
14 fnovrn 7582 . . . . . . . . . 10 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
1511, 12, 13, 14mp3an3an 1468 . . . . . . . . 9 (((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
167, 8, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
176, 16eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
18 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = +∞ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π·)+∞))
191remet 24306 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ (Metβ€˜β„)
20 blpnf 23903 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜β„) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)+∞) = ℝ)
2119, 20mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)+∞) = ℝ)
2218, 21sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = +∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ℝ)
23 ioomax 13399 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
24 ioorebas 13428 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2523, 24eqeltrri 2831 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ran (,)
2622, 25eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = +∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
27 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = -∞ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π·)-∞))
28 0xr 11261 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
29 nltmnf 13109 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* β†’ Β¬ 0 < -∞)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Β¬ 0 < -∞
31 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
32 xbln0 23920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)-∞) β‰  βˆ… ↔ 0 < -∞))
332, 31, 32mp3an13 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)-∞) β‰  βˆ… ↔ 0 < -∞))
3433necon1bbid 2981 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (Β¬ 0 < -∞ ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) = βˆ…))
3530, 34mpbii 232 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) = βˆ…)
3627, 35sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = -∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = βˆ…)
37 iooid 13352 . . . . . . . . 9 (0(,)0) = βˆ…
38 ioorebas 13428 . . . . . . . . 9 (0(,)0) ∈ ran (,)
3937, 38eqeltrri 2831 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ ran (,)
4036, 39eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = -∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
4117, 26, 403jaodan 1431 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∨ π‘Ÿ = +∞ ∨ π‘Ÿ = -∞)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
425, 41sylan2b 595 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
43 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,)))
4442, 43syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ 𝑧 ∈ ran (,)))
4544rexlimivv 3200 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ 𝑧 ∈ ran (,))
464, 45sylbi 216 . 2 (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ 𝑧 ∈ ran (,))
4746ssriv 3987 1 ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  (,)cioo 13324  abscabs 15181  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  tgioo  24312
  Copyright terms: Public domain W3C validator