MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssioo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blssioo 24531
Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
blssioo ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
Proof of Theorem blssioo
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24527 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 blrn 24135 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
5 elxr 13100 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ ℝ* ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∨ π‘Ÿ = +∞ ∨ π‘Ÿ = -∞))
61bl2ioo 24528 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)))
7 resubcl 11528 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
8 readdcl 11195 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
9 ioof 13428 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
10 ffn 6716 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
12 rexr 11264 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
13 rexr 11264 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
14 fnovrn 7584 . . . . . . . . . 10 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
1511, 12, 13, 14mp3an3an 1465 . . . . . . . . 9 (((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
167, 8, 15syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
176, 16eqeltrd 2831 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
18 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = +∞ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π·)+∞))
191remet 24526 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ (Metβ€˜β„)
20 blpnf 24123 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜β„) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)+∞) = ℝ)
2119, 20mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)+∞) = ℝ)
2218, 21sylan9eqr 2792 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = +∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ℝ)
23 ioomax 13403 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
24 ioorebas 13432 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2523, 24eqeltrri 2828 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ran (,)
2622, 25eqeltrdi 2839 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = +∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
27 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = -∞ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π·)-∞))
28 0xr 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
29 nltmnf 13113 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* β†’ Β¬ 0 < -∞)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Β¬ 0 < -∞
31 mnfxr 11275 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
32 xbln0 24140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)-∞) β‰  βˆ… ↔ 0 < -∞))
332, 31, 32mp3an13 1450 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)-∞) β‰  βˆ… ↔ 0 < -∞))
3433necon1bbid 2978 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (Β¬ 0 < -∞ ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) = βˆ…))
3530, 34mpbii 232 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) = βˆ…)
3627, 35sylan9eqr 2792 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = -∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = βˆ…)
37 iooid 13356 . . . . . . . . 9 (0(,)0) = βˆ…
38 ioorebas 13432 . . . . . . . . 9 (0(,)0) ∈ ran (,)
3937, 38eqeltrri 2828 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ ran (,)
4036, 39eqeltrdi 2839 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = -∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
4117, 26, 403jaodan 1428 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∨ π‘Ÿ = +∞ ∨ π‘Ÿ = -∞)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
425, 41sylan2b 592 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
43 eleq1 2819 . . . . 5 (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,)))
4442, 43syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ 𝑧 ∈ ran (,)))
4544rexlimivv 3197 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ 𝑧 ∈ ran (,))
464, 45sylbi 216 . 2 (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ 𝑧 ∈ ran (,))
4746ssriv 3985 1 ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13328  abscabs 15185  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  ballcbl 21131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139
This theorem is referenced by:  tgioo  24532
  Copyright terms: Public domain W3C validator