Theorem blssioo 24769

Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
blssioo	⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24765	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		blrn 24383	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5		elxr 13056	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
6	1	bl2ioo 24766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7		resubcl 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
8		readdcl 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9		ioof 13389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
10		ffn 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
12		rexr 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
13		rexr 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
14		fnovrn 7533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
15	11, 12, 13, 14	mp3an3an 1470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
16	7, 8, 15	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
17	6, 16	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
18		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
19	1	remet 24764	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
20		blpnf 24371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
21	19, 20	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
22	18, 21	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
23		ioomax 13364	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
24		ioorebas 13393	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
25	23, 24	eqeltrri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
26	22, 25	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28		0xr 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		nltmnf 13069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 0 < -∞
31		mnfxr 11191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
32		xbln0 24388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
33	2, 31, 32	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
34	33	necon1bbid 2972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ 0 < -∞ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅))
35	30, 34	mpbii 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
36	27, 35	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37		iooid 13315	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) = ∅
38		ioorebas 13393	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
39	37, 38	eqeltrri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
40	36, 39	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
41	17, 26, 40	3jaodan 1434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
42	5, 41	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
43		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
44	42, 43	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
45	44	rexlimivv 3180	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
46	4, 45	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
47	46	ssriv 3926	1 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   × cxp 5620  ran crn 5623   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   − cmin 11366  (,)cioo 13287  abscabs 15185  ∞Metcxmet 21327  Metcmet 21328  ballcbl 21329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337

This theorem is referenced by:  tgioo  24770