MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssioo 23403
Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
blssioo ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 23399 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3 blrn 23019 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5 elxr 12503 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
61bl2ioo 23400 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7 resubcl 10943 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ)
8 readdcl 10613 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9 ioof 12829 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
10 ffn 6491 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
12 rexr 10680 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑟) ∈ ℝ → (𝑦𝑟) ∈ ℝ*)
13 rexr 10680 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
14 fnovrn 7307 . . . . . . . . . 10 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑦𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
1511, 12, 13, 14mp3an3an 1464 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
167, 8, 15syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
176, 16eqeltrd 2893 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
18 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
191remet 23398 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
20 blpnf 23007 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
2119, 20mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
2218, 21sylan9eqr 2858 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
23 ioomax 12804 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
24 ioorebas 12833 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2523, 24eqeltrri 2890 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ran (,)
2622, 25eqeltrdi 2901 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28 0xr 10681 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
29 nltmnf 12516 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ 0 < -∞
31 mnfxr 10691 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
32 xbln0 23024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
332, 31, 32mp3an13 1449 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
3433necon1bbid 3029 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ 0 < -∞ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅))
3530, 34mpbii 236 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
3627, 35sylan9eqr 2858 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37 iooid 12758 . . . . . . . . 9 (0(,)0) = ∅
38 ioorebas 12833 . . . . . . . . 9 (0(,)0) ∈ ran (,)
3937, 38eqeltrri 2890 . . . . . . . 8 ∅ ∈ ran (,)
4036, 39eqeltrdi 2901 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
4117, 26, 403jaodan 1427 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
425, 41sylan2b 596 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
43 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
4442, 43syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
4544rexlimivv 3254 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
464, 45sylbi 220 . 2 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
4746ssriv 3922 1 ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033   × cxp 5521  ran crn 5524  cres 5525  ccom 5527   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  *cxr 10667   < clt 10668  cmin 10863  (,)cioo 12730  abscabs 14588  ∞Metcxmet 20079  Metcmet 20080  ballcbl 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089
This theorem is referenced by:  tgioo  23404
  Copyright terms: Public domain W3C validator