Theorem blssioo 24703

Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
blssioo	⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24699	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		blrn 24317	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5		elxr 13007	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
6	1	bl2ioo 24700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7		resubcl 11417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
8		readdcl 11081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9		ioof 13339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
10		ffn 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
12		rexr 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
13		rexr 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
14		fnovrn 7516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
15	11, 12, 13, 14	mp3an3an 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
16	7, 8, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
17	6, 16	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
18		oveq2 7349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
19	1	remet 24698	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
20		blpnf 24305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
21	19, 20	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
22	18, 21	sylan9eqr 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
23		ioomax 13314	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
24		ioorebas 13343	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
25	23, 24	eqeltrri 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
26	22, 25	eqeltrdi 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27		oveq2 7349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28		0xr 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		nltmnf 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 0 < -∞
31		mnfxr 11161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
32		xbln0 24322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
33	2, 31, 32	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
34	33	necon1bbid 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ 0 < -∞ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅))
35	30, 34	mpbii 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
36	27, 35	sylan9eqr 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37		iooid 13265	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) = ∅
38		ioorebas 13343	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
39	37, 38	eqeltrri 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
40	36, 39	eqeltrdi 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
41	17, 26, 40	3jaodan 1433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
42	5, 41	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
43		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
44	42, 43	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
45	44	rexlimivv 3172	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
46	4, 45	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
47	46	ssriv 3936	1 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4548   class class class wbr 5089   × cxp 5612  ran crn 5615   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998   + caddc 11001  +∞cpnf 11135  -∞cmnf 11136  ℝ^*cxr 11137   < clt 11138   − cmin 11336  (,)cioo 13237  abscabs 15133  ∞Metcxmet 21269  Metcmet 21270  ballcbl 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279

This theorem is referenced by:  tgioo  24704