MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blss 22950
Description: Any point 𝑃 in a ball 𝐵 can be centered in another ball that is a subset of 𝐵. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blss ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem blss
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrn 22934 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐵 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ* 𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
2 elbl 22913 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑃) < 𝑟)))
3 simpl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 simpl2 1186 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑦𝑋)
5 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃𝑋)
6 xmetcl 22856 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑃𝑋) → (𝑦𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
73, 4, 5, 6syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑦𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
8 simpl3 1187 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
9 qbtwnxr 12583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐷𝑃) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑃) < 𝑟) → ∃𝑧 ∈ ℚ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))
1093expia 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐷𝑃) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑟 → ∃𝑧 ∈ ℚ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟)))
117, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑟 → ∃𝑧 ∈ ℚ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟)))
12 qre 12342 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ ℝ)
13 simpll1 1206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑃𝑋)
15 simpll2 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑦𝑋)
16 xmetsym 22872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑦𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑃))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑃))
18 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑦𝐷𝑃) < 𝑧)
1917, 18eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) < 𝑧)
20 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑧 ∈ ℝ)
21 xmetcl 22856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑦𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
2213, 14, 15, 21syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
23 rexr 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
2423ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
2522, 24, 19xrltled 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑧)
26 xmetlecl 22871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝑦𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑧)) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ)
2713, 14, 15, 20, 25, 26syl122anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ)
28 difrp 12417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) ∈ ℝ+))
2927, 20, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → ((𝑃𝐷𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) ∈ ℝ+))
3019, 29mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) ∈ ℝ+)
3120, 27resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
3222xrleidd 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
3320recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑧 ∈ ℂ)
3427recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℂ)
3533, 34nncand 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑧 − (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))) = (𝑃𝐷𝑦))
3632, 35breqtrrd 5091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑧 − (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))))
37 blss2 22929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑦𝑋) ∧ ((𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑧 − (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))))) → (𝑃(ball‘𝐷)(𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑧))
3813, 14, 15, 31, 20, 36, 37syl33anc 1379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃(ball‘𝐷)(𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑧))
39 simpll3 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑧 < 𝑟)
4124, 39, 40xrltled 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → 𝑧𝑟)
42 ssbl 22948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑧) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4313, 15, 24, 39, 41, 42syl221anc 1375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑧) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4438, 43sstrd 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → (𝑃(ball‘𝐷)(𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
45 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) = (𝑃(ball‘𝐷)(𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))))
4645sseq1d 4002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ↔ (𝑃(ball‘𝐷)(𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
4746rspcev 3627 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 − (𝑃𝐷𝑦)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)(𝑧 − (𝑃𝐷𝑦))) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4830, 44, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4948expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
5012, 49sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
5150rexlimdva 3289 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑧 ∈ ℚ ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑧𝑧 < 𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
5211, 51syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑦𝐷𝑃) < 𝑟 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
5352expimpd 454 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑃) < 𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
542, 53sylbid 241 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
55 eleq2 2906 . . . . . . 7 (𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝐵𝑃 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
56 sseq2 3997 . . . . . . . 8 (𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
5756rexbidv 3302 . . . . . . 7 (𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
5855, 57imbi12d 346 . . . . . 6 (𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))))
5954, 58syl5ibrcom 248 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵)))
60593expib 1116 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵))))
6160rexlimdvv 3298 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ* 𝐵 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵)))
621, 61sylbid 241 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐵 ∈ ran (ball‘𝐷) → (𝑃𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵)))
63623imp 1105 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  wss 3940   class class class wbr 5063  ran crn 5555  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cq 12337  +crp 12379  ∞Metcxmet 20446  ballcbl 20448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-bl 20456
This theorem is referenced by:  blssex  22952  blin2  22954  metss  23033  metcnp3  23065
  Copyright terms: Public domain W3C validator