MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undom 9059
Description: Dominance law for union. Proposition 4.24(a) of [Mendelson] p. 257. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5364. (Revised by BTernaryTau, 4-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
undom (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem undom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 undif2 4477 . 2 (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = (𝐴𝐶)
2 reldom 8945 . . . . . 6 Rel ≼
32brrelex2i 5734 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
42brrelex2i 5734 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
5 unexg 7736 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵𝐷) ∈ V)
63, 4, 5syl2an 597 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵𝐷) ∈ V)
76adantr 482 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐵𝐷) ∈ V)
8 brdomi 8954 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ∃𝑥 𝑥:𝐴1-1𝐵)
9 brdomi 8954 . . . . 5 (𝐶𝐷 → ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1𝐷)
10 exdistrv 1960 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1𝐵𝑦:𝐶1-1𝐷) ↔ (∃𝑥 𝑥:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1𝐷))
11 disjdif 4472 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅
12 difss 4132 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐴) ⊆ 𝐶
13 f1ssres 6796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:𝐶1-1𝐷 ∧ (𝐶𝐴) ⊆ 𝐶) → (𝑦 ↾ (𝐶𝐴)):(𝐶𝐴)–1-1𝐷)
1412, 13mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑦:𝐶1-1𝐷 → (𝑦 ↾ (𝐶𝐴)):(𝐶𝐴)–1-1𝐷)
15 f1un 6854 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴)):(𝐶𝐴)–1-1𝐷) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))):(𝐴 ∪ (𝐶𝐴))–1-1→(𝐵𝐷))
1614, 15sylanl2 680 . . . . . . . . . 10 (((𝑥:𝐴1-1𝐵𝑦:𝐶1-1𝐷) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))):(𝐴 ∪ (𝐶𝐴))–1-1→(𝐵𝐷))
1711, 16mpanr1 702 . . . . . . . . 9 (((𝑥:𝐴1-1𝐵𝑦:𝐶1-1𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))):(𝐴 ∪ (𝐶𝐴))–1-1→(𝐵𝐷))
18 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
19 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2019resex 6030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ↾ (𝐶𝐴)) ∈ V
2118, 20unex 7733 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))) ∈ V
22 f1dom3g 8963 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))) ∈ V ∧ (𝐵𝐷) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))):(𝐴 ∪ (𝐶𝐴))–1-1→(𝐵𝐷)) → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷))
2321, 22mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐷) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))):(𝐴 ∪ (𝐶𝐴))–1-1→(𝐵𝐷)) → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷))
2423expcom 415 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ (𝑦 ↾ (𝐶𝐴))):(𝐴 ∪ (𝐶𝐴))–1-1→(𝐵𝐷) → ((𝐵𝐷) ∈ V → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷)))
2517, 24syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑥:𝐴1-1𝐵𝑦:𝐶1-1𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → ((𝐵𝐷) ∈ V → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷)))
2625ex 414 . . . . . . 7 ((𝑥:𝐴1-1𝐵𝑦:𝐶1-1𝐷) → ((𝐵𝐷) = ∅ → ((𝐵𝐷) ∈ V → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷))))
2726exlimivv 1936 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1𝐵𝑦:𝐶1-1𝐷) → ((𝐵𝐷) = ∅ → ((𝐵𝐷) ∈ V → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷))))
2810, 27sylbir 234 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1𝐷) → ((𝐵𝐷) = ∅ → ((𝐵𝐷) ∈ V → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷))))
298, 9, 28syl2an 597 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → ((𝐵𝐷) = ∅ → ((𝐵𝐷) ∈ V → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷))))
3029imp 408 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → ((𝐵𝐷) ∈ V → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷)))
317, 30mpd 15 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≼ (𝐵𝐷))
321, 31eqbrtrrid 5185 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3475  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  cres 5679  1-1wf1 6541  cdom 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-dom 8941
This theorem is referenced by:  domunsncan  9072  sucdom2OLD  9082  domunsn  9127  sucdom2  9206  unxpdom2  9254  sucxpdom  9255  fodomfi  9325  undjudom  10162  djudom1  10177
  Copyright terms: Public domain W3C validator