Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | reldom 8574 |
. . . . . . 7
⊢ Rel
≼ |
2 | 1 | brrelex2i 5590 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V) |
3 | | domeng 8582 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) |
5 | 4 | ibi 270 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) |
6 | 1 | brrelex1i 5589 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V) |
7 | | difss 4032 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶 |
8 | | ssdomg 8614 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐶 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶)) |
9 | 6, 7, 8 | mpisyl 21 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶) |
10 | | domtr 8621 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷) |
11 | 9, 10 | mpancom 688 |
. . . . 5
⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷) |
12 | 1 | brrelex2i 5590 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V) |
13 | | domeng 8582 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) |
15 | 14 | ibi 270 |
. . . . 5
⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) |
16 | 11, 15 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) |
17 | 5, 16 | anim12i 616 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) |
18 | 17 | adantr 484 |
. 2
⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) |
19 | | exdistrv 1963 |
. . 3
⊢
(∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) |
20 | | simprll 779 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐴 ≈ 𝑥) |
21 | | simprrl 781 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) |
22 | | disjdif 4371 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅) |
24 | | ss2in 4137 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷)) |
25 | 24 | ad2ant2l 746 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷)) |
26 | 25 | adantl 485 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷)) |
27 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) |
28 | | sseq0 4298 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) |
29 | 26, 27, 28 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) |
30 | | undif2 4376 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐶) |
31 | | unen 8657 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦)) |
32 | 30, 31 | eqbrtrrid 5076 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦)) |
33 | 20, 21, 23, 29, 32 | syl22anc 838 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦)) |
34 | 2 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐵 ∈ V) |
35 | 1 | brrelex2i 5590 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V) |
36 | 35 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐷 ∈ V) |
37 | | unexg 7503 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V) |
38 | 34, 36, 37 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V) |
39 | | unss12 4082 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷)) |
40 | 39 | ad2ant2l 746 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷)) |
41 | 40 | adantl 485 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷)) |
42 | | ssdomg 8614 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))) |
43 | 38, 41, 42 | sylc 65 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) |
44 | | endomtr 8626 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) |
45 | 33, 43, 44 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) |
46 | 45 | ex 416 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))) |
47 | 46 | exlimdvv 1941 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))) |
48 | 19, 47 | syl5bir 246 |
. 2
⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))) |
49 | 18, 48 | mpd 15 |
1
⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) |