Theorem undom 8607

Description: Dominance law for union. Proposition 4.24(a) of [Mendelson] p. 257. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
undom	⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem undom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8517	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5611	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		domeng 8525	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	4	ibi 269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
6	1	brrelex1i 5610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
7		difss 4110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶
8		ssdomg 8557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶)
10		domtr 8564	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷)
11	9, 10	mpancom 686	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷)
12	1	brrelex2i 5611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		domeng 8525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
15	14	ibi 269	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))
17	5, 16	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
18	17	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
19		exdistrv 1956	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
20		simprll 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
21		simprrl 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦)
22		disjdif 4423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅)
24		ss2in 4215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
25	24	ad2ant2l 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
26	25	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
27		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
28		sseq0 4355	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	26, 27, 28	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30		undif2 4427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐶)
31		unen 8598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
32	30, 31	eqbrtrrid 5104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
33	20, 21, 23, 29, 32	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
34	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐵 ∈ V)
35	1	brrelex2i 5611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
36	35	ad3antlr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐷 ∈ V)
37		unexg 7474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V)
39		unss12 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
40	39	ad2ant2l 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
41	40	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
42		ssdomg 8557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
43	38, 41, 42	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
44		endomtr 8569	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
45	33, 43, 44	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
46	45	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
47	46	exlimdvv 1935	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
48	19, 47	syl5bir 245	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
49	18, 48	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068   ≈ cen 8508   ≼ cdom 8509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-en 8512  df-dom 8513

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