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Theorem acndom 9125
Description: A set with long choice sequences also has shorter choice sequences, where "shorter" here means the new index set is dominated by the old index set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom (𝐴𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))

Proof of Theorem acndom
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8171 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
2 neq0 4094 . . . . 5 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
3 simpl3 1246 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑋AC 𝐵)
4 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
54ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
6 simpll1 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
7 f1f1orn 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
8 f1ocnv 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝐴)
9 f1of 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:ran 𝑓𝐴)
106, 7, 8, 94syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑓:ran 𝑓𝐴)
1110ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (𝑓𝑦) ∈ 𝐴)
12 simpl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑥𝐴)
1312ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → 𝑥𝐴)
1411, 13ifclda 4277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥) ∈ 𝐴)
155, 14ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
16 eldifsn 4472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
17 elpwi 4325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋)
1817anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅) → ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
1916, 18sylbi 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
2120ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦𝐵 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
22 acni2 9120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋AC 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅)) → ∃𝑘(𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
233, 21, 22syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑘(𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
24 f1dm 6287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
25 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
2625dmex 7297 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝑓 ∈ V
2724, 26syl6eqelr 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
28273ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2928ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)))) → 𝐴 ∈ V)
30 simpll1 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
31 f1f 6283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
32 frn 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴𝐵 → ran 𝑓𝐵)
33 ssralv 3826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑓𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
35 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ran 𝑓 → if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥) = (𝑓𝑦))
3635fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ran 𝑓 → (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) = (𝑔‘(𝑓𝑦)))
3736eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ran 𝑓 → ((𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ↔ (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦))))
3837ralbiia 3126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)))
3934, 38syl6ib 242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦))))
40 f1fn 6284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓 Fn 𝐴)
41 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑘𝑦) = (𝑘‘(𝑓𝑧)))
42 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑔‘(𝑓𝑦)) = (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))))
4341, 42eleq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)) ↔ (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4443ralrn 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4530, 40, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4639, 45sylibd 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4730, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
48 f1ocnvfv1 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓𝑧𝐴) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
4947, 48sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
5049fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))) = (𝑔𝑧))
5150eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))) ↔ (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)))
5251ralbidva 3132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)))
5346, 52sylibd 230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)))
5453impr 446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)))) → ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧))
55 acnlem 9122 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
5629, 54, 55syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)))) → ∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
5723, 56exlimddv 2030 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
5857ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
59 elex 3365 . . . . . . . . . 10 (𝑋AC 𝐵𝑋 ∈ V)
60 isacn 9118 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧)))
6159, 27, 60syl2anr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑋AC 𝐵) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧)))
62613adant2 1161 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧)))
6358, 62mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → 𝑋AC 𝐴)
64633exp 1148 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (𝑥𝐴 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴)))
6564exlimdv 2028 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴)))
662, 65syl5bi 233 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (¬ 𝐴 = ∅ → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴)))
67 acneq 9117 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → AC 𝐴 = AC ∅)
68 0fin 8395 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
69 finacn 9124 . . . . . . . 8 (∅ ∈ Fin → AC ∅ = V)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . 7 AC ∅ = V
7167, 70syl6eq 2815 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → AC 𝐴 = V)
7271eleq2d 2830 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑋AC 𝐴𝑋 ∈ V))
7359, 72syl5ibr 237 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
7466, 73pm2.61d2 173 . . 3 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
7574exlimiv 2025 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
761, 75syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   class class class wbr 4809  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1wf1 6065  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  cdom 8158  Fincfn 8160  AC wacn 9015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-1o 7764  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-fin 8164  df-acn 9019
This theorem is referenced by:  acnnum  9126  acnen  9127  iunctb  9649
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