Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acndom 9466
 Description: A set with long choice sequences also has shorter choice sequences, where "shorter" here means the new index set is dominated by the old index set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom (𝐴𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))

Proof of Theorem acndom
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8507 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
2 neq0 4281 . . . . 5 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
3 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑋AC 𝐵)
4 elmapi 8415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
6 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
7 f1f1orn 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
8 f1ocnv 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝐴)
9 f1of 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:ran 𝑓𝐴)
106, 7, 8, 94syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑓:ran 𝑓𝐴)
1110ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (𝑓𝑦) ∈ 𝐴)
12 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑥𝐴)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → 𝑥𝐴)
1411, 13ifclda 4473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥) ∈ 𝐴)
155, 14ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
16 eldifsn 4693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
17 elpwi 4520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋)
1817anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅) → ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
1916, 18sylbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
2120ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∀𝑦𝐵 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅))
22 acni2 9461 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋AC 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ≠ ∅)) → ∃𝑘(𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
233, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑘(𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
24 f1dm 6560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
25 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
2625dmex 7602 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝑓 ∈ V
2724, 26eqeltrrdi 2923 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
28273ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)))) → 𝐴 ∈ V)
30 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
31 f1f 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
32 frn 6500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴𝐵 → ran 𝑓𝐵)
33 ssralv 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑓𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥))))
35 iftrue 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ran 𝑓 → if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥) = (𝑓𝑦))
3635fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ran 𝑓 → (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) = (𝑔‘(𝑓𝑦)))
3736eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ran 𝑓 → ((𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ↔ (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦))))
3837ralbiia 3156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)))
3934, 38syl6ib 254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦))))
40 f1fn 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓 Fn 𝐴)
41 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑘𝑦) = (𝑘‘(𝑓𝑧)))
42 2fveq3 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑔‘(𝑓𝑦)) = (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))))
4341, 42eleq12d 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)) ↔ (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4443ralrn 6836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4530, 40, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘(𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4639, 45sylibd 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧)))))
4730, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
48 f1ocnvfv1 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓𝑧𝐴) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
4947, 48sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
5049fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))) = (𝑔𝑧))
5150eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))) ↔ (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)))
5251ralbidva 3186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔‘(𝑓‘(𝑓𝑧))) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)))
5346, 52sylibd 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐵𝑋) → (∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)))
5453impr 458 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)))) → ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧))
55 acnlem 9463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑘‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝑔𝑧)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
5629, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐵𝑋 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑘𝑦) ∈ (𝑔‘if(𝑦 ∈ ran 𝑓, (𝑓𝑦), 𝑥)))) → ∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
5723, 56exlimddv 1936 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
5857ralrimiva 3174 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧))
59 elex 3487 . . . . . . . . . 10 (𝑋AC 𝐵𝑋 ∈ V)
60 isacn 9459 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧)))
6159, 27, 60syl2anr 599 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑋AC 𝐵) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧)))
62613adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑧𝐴 (𝑧) ∈ (𝑔𝑧)))
6358, 62mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴𝑋AC 𝐵) → 𝑋AC 𝐴)
64633exp 1116 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (𝑥𝐴 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴)))
6564exlimdv 1934 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴)))
662, 65syl5bi 245 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (¬ 𝐴 = ∅ → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴)))
67 acneq 9458 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → AC 𝐴 = AC ∅)
68 0fin 8734 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
69 finacn 9465 . . . . . . . 8 (∅ ∈ Fin → AC ∅ = V)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . 7 AC ∅ = V
7167, 70syl6eq 2873 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → AC 𝐴 = V)
7271eleq2d 2899 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑋AC 𝐴𝑋 ∈ V))
7359, 72syl5ibr 249 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
7466, 73pm2.61d2 184 . . 3 (𝑓:𝐴1-1𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
7574exlimiv 1931 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
761, 75syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝑋AC 𝐵𝑋AC 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130  Vcvv 3469   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  ifcif 4439  𝒫 cpw 4511  {csn 4539   class class class wbr 5042  ◡ccnv 5531  dom cdm 5532  ran crn 5533   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  –1-1→wf1 6331  –1-1-onto→wf1o 6333  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393   ≼ cdom 8494  Fincfn 8496  AC wacn 9355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-fin 8500  df-acn 9359 This theorem is referenced by:  acnnum  9467  acnen  9468  iunctb  9985
 Copyright terms: Public domain W3C validator