MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acndom2 9164
Description: A set smaller than one with choice sequences of length 𝐴 also has choice sequences of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8207 . 2 (𝑋𝑌 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌)
2 simplr 786 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑌AC 𝐴)
3 imassrn 5695 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ ran 𝑓
4 simplll 792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
5 f1f 6317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋𝑌)
6 frn 6263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋𝑌 → ran 𝑓𝑌)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ran 𝑓𝑌)
83, 7syl5ss 3810 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌)
9 elmapi 8118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
109adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1110ffvelrnda 6586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1211eldifad 3782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
1312elpwid 4362 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
14 f1dm 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → dom 𝑓 = 𝑋)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → dom 𝑓 = 𝑋)
1613, 15sseqtr4d 3839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓)
17 sseqin2 4016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
1816, 17sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
19 eldifsni 4511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2118, 20eqnetrd 3039 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
22 imadisj 5702 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) = ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = ∅)
2322necon3bii 3024 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
2421, 23sylibr 226 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
258, 24jca 508 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
2625ralrimiva 3148 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
27 acni2 9156 . . . . . . . 8 ((𝑌AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
282, 26, 27syl2anc 580 . . . . . . 7 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
29 acnrcl 9152 . . . . . . . . 9 (𝑌AC 𝐴𝐴 ∈ V)
3029ad3antlr 723 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝐴 ∈ V)
31 simp-4l 802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
32 f1f1orn 6368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
34 simprr 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
353, 34sseldi 3797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓)
36 f1ocnvfv2 6762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓 ∧ (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3733, 35, 36syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3837, 34eqeltrd 2879 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
39 f1ocnv 6369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋)
40 f1of 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋𝑓:ran 𝑓𝑋)
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:ran 𝑓𝑋)
4241, 35ffvelrnd 6587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋)
4313ad2ant2r 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
44 f1elima 6749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4531, 42, 43, 44syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4638, 45mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
4746expr 449 . . . . . . . . . 10 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4847ralimdva 3144 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) → (∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4948impr 447 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
50 acnlem 9158 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5130, 49, 50syl2anc 580 . . . . . . 7 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5228, 51exlimddv 2031 . . . . . 6 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5352ralrimiva 3148 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
54 vex 3389 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
5554dmex 7335 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
5614, 55syl6eqelr 2888 . . . . . 6 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑋 ∈ V)
57 isacn 9154 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5856, 29, 57syl2an 590 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5953, 58mpbird 249 . . . 4 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → 𝑋AC 𝐴)
6059ex 402 . . 3 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
6160exlimiv 2026 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
621, 61syl 17 1 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2972  wral 3090  Vcvv 3386  cdif 3767  cin 3769  wss 3770  c0 4116  𝒫 cpw 4350  {csn 4369   class class class wbr 4844  ccnv 5312  dom cdm 5313  ran crn 5314  cima 5316  wf 6098  1-1wf1 6099  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  (class class class)co 6879  𝑚 cmap 8096  cdom 8194  AC wacn 9051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-map 8098  df-dom 8198  df-acn 9055
This theorem is referenced by:  acnen2  9165  dfac13  9253  iundomg  9652  iunctb  9685
  Copyright terms: Public domain W3C validator