MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem acndom2 10045
Description: A set smaller than one with choice sequences of length 𝐴 also has choice sequences of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
Proof of Theorem acndom2
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8950 . 2 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
2 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ AC 𝐴)
3 imassrn 6068 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† ran 𝑓
4 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
5 f1f 6784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
6 frn 6721 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ)
83, 7sstrid 3992 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ)
9 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢(𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ 𝑔:𝐴⟢(𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
1110ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
1211eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝑋)
1312elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋)
14 f1dm 6788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ dom 𝑓 = 𝑋)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom 𝑓 = 𝑋)
1613, 15sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† dom 𝑓)
17 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘”β€˜π‘₯) βŠ† dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
19 eldifsni 4792 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
2118, 20eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
22 imadisj 6076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) = βˆ… ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = βˆ…)
2322necon3bii 2993 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
258, 24jca 512 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…))
2625ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…))
27 acni2 10037 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ AC 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘˜(π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯))))
282, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘˜(π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯))))
29 acnrcl 10033 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
3029ad3antlr 729 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ V)
31 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
32 f1f1orn 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
34 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))
353, 34sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓)
36 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) = (π‘˜β€˜π‘₯))
3733, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) = (π‘˜β€˜π‘₯))
3837, 34eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))
39 f1ocnv 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-onto→𝑋)
40 f1of 6830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝑓:ran 𝑓–1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝑓:ran π‘“βŸΆπ‘‹)
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ ◑𝑓:ran π‘“βŸΆπ‘‹)
4241, 35ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ 𝑋)
4313ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋)
44 f1elima 7258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ 𝑋 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) ↔ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4531, 42, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) ↔ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
4746expr 457 . . . . . . . . . 10 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4847ralimdva 3167 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4948impr 455 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
50 acnlem 10039 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5130, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5228, 51exlimddv 1938 . . . . . 6 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5352ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
54 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
5554dmex 7898 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
5614, 55eqeltrrdi 2842 . . . . . 6 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑋 ∈ V)
57 isacn 10035 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
5856, 29, 57syl2an 596 . . . . 5 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
5953, 58mpbird 256 . . . 4 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴)
6059ex 413 . . 3 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
6160exlimiv 1933 . 2 (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
621, 61syl 17 1 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816   β‰Ό cdom 8933  AC wacn 9929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-dom 8937  df-acn 9933
This theorem is referenced by:  acnen2  10046  dfac13  10133  iundomg  10532  iunctb  10565
  Copyright terms: Public domain W3C validator