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Theorem acndom2 10051
Description: A set smaller than one with choice sequences of length 𝐴 also has choice sequences of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
Proof of Theorem acndom2
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8956 . 2 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
2 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ AC 𝐴)
3 imassrn 6069 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† ran 𝑓
4 simplll 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
5 f1f 6786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
6 frn 6723 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ)
83, 7sstrid 3992 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ)
9 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢(𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
109adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ 𝑔:𝐴⟢(𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
1110ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
1211eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝑋)
1312elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋)
14 f1dm 6790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ dom 𝑓 = 𝑋)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom 𝑓 = 𝑋)
1613, 15sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† dom 𝑓)
17 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘”β€˜π‘₯) βŠ† dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
19 eldifsni 4792 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
2118, 20eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
22 imadisj 6078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) = βˆ… ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = βˆ…)
2322necon3bii 2991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
258, 24jca 510 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…))
2625ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…))
27 acni2 10043 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ AC 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘˜(π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯))))
282, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘˜(π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯))))
29 acnrcl 10039 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
3029ad3antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ V)
31 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
32 f1f1orn 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
34 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))
353, 34sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓)
36 f1ocnvfv2 7277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) = (π‘˜β€˜π‘₯))
3733, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) = (π‘˜β€˜π‘₯))
3837, 34eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))
39 f1ocnv 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-onto→𝑋)
40 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝑓:ran 𝑓–1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝑓:ran π‘“βŸΆπ‘‹)
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ ◑𝑓:ran π‘“βŸΆπ‘‹)
4241, 35ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ 𝑋)
4313ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋)
44 f1elima 7264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ 𝑋 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) ↔ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4531, 42, 43, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) ↔ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
4746expr 455 . . . . . . . . . 10 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4847ralimdva 3165 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4948impr 453 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
50 acnlem 10045 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5130, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5228, 51exlimddv 1936 . . . . . 6 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5352ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
54 vex 3476 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
5554dmex 7904 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
5614, 55eqeltrrdi 2840 . . . . . 6 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑋 ∈ V)
57 isacn 10041 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
5856, 29, 57syl2an 594 . . . . 5 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
5953, 58mpbird 256 . . . 4 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴)
6059ex 411 . . 3 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
6160exlimiv 1931 . 2 (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
621, 61syl 17 1 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   β‰Ό cdom 8939  AC wacn 9935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-dom 8943  df-acn 9939
This theorem is referenced by:  acnen2  10052  dfac13  10139  iundomg  10538  iunctb  10571
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