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Theorem acndom2 10049
Description: A set smaller than one with choice sequences of length 𝐴 also has choice sequences of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
Proof of Theorem acndom2
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8954 . 2 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
2 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ AC 𝐴)
3 imassrn 6071 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† ran 𝑓
4 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
5 f1f 6788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
6 frn 6725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ)
83, 7sstrid 3994 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ)
9 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢(𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ 𝑔:𝐴⟢(𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
1110ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}))
1211eldifad 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝑋)
1312elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋)
14 f1dm 6792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ dom 𝑓 = 𝑋)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom 𝑓 = 𝑋)
1613, 15sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† dom 𝑓)
17 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘”β€˜π‘₯) βŠ† dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
19 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
2118, 20eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
22 imadisj 6080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) = βˆ… ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) = βˆ…)
2322necon3bii 2994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝑓 ∩ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
258, 24jca 513 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…))
2625ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…))
27 acni2 10041 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ AC 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Œ ∧ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘˜(π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯))))
282, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘˜(π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯))))
29 acnrcl 10037 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
3029ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ V)
31 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
32 f1f1orn 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
34 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))
353, 34sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓)
36 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) = (π‘˜β€˜π‘₯))
3733, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) = (π‘˜β€˜π‘₯))
3837, 34eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))
39 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ◑𝑓:ran 𝑓–1-1-onto→𝑋)
40 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝑓:ran 𝑓–1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝑓:ran π‘“βŸΆπ‘‹)
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ ◑𝑓:ran π‘“βŸΆπ‘‹)
4241, 35ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ 𝑋)
4313ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋)
44 f1elima 7262 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ 𝑋 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) ↔ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4531, 42, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯))) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) ↔ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
4746expr 458 . . . . . . . . . 10 (((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4847ralimdva 3168 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
4948impr 456 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
50 acnlem 10043 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β—‘π‘“β€˜(π‘˜β€˜π‘₯)) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5130, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) ∧ (π‘˜:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘˜β€˜π‘₯) ∈ (𝑓 β€œ (π‘”β€˜π‘₯)))) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5228, 51exlimddv 1939 . . . . . 6 (((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)) β†’ βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
5352ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯))
54 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
5554dmex 7902 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
5614, 55eqeltrrdi 2843 . . . . . 6 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ 𝑋 ∈ V)
57 isacn 10039 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
5856, 29, 57syl2an 597 . . . . 5 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ βˆ€π‘” ∈ ((𝒫 𝑋 βˆ– {βˆ…}) ↑m 𝐴)βˆƒβ„Žβˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (π‘”β€˜π‘₯)))
5953, 58mpbird 257 . . . 4 ((𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ AC 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴)
6059ex 414 . . 3 (𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
6160exlimiv 1934 . 2 (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
621, 61syl 17 1 (𝑋 β‰Ό π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ AC 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820   β‰Ό cdom 8937  AC wacn 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-dom 8941  df-acn 9937
This theorem is referenced by:  acnen2  10050  dfac13  10137  iundomg  10536  iunctb  10569
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