Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acndom2 9190
 Description: A set smaller than one with choice sequences of length 𝐴 also has choice sequences of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8233 . 2 (𝑋𝑌 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌)
2 simplr 785 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑌AC 𝐴)
3 imassrn 5718 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ ran 𝑓
4 simplll 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
5 f1f 6338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋𝑌)
6 frn 6284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋𝑌 → ran 𝑓𝑌)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ran 𝑓𝑌)
83, 7syl5ss 3838 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌)
9 elmapi 8144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
109adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1110ffvelrnda 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1211eldifad 3810 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
1312elpwid 4390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
14 f1dm 6342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → dom 𝑓 = 𝑋)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → dom 𝑓 = 𝑋)
1613, 15sseqtr4d 3867 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓)
17 sseqin2 4044 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
1816, 17sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
19 eldifsni 4540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2118, 20eqnetrd 3066 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
22 imadisj 5725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) = ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = ∅)
2322necon3bii 3051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
2421, 23sylibr 226 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
258, 24jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
2625ralrimiva 3175 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
27 acni2 9182 . . . . . . . 8 ((𝑌AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
282, 26, 27syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
29 acnrcl 9178 . . . . . . . . 9 (𝑌AC 𝐴𝐴 ∈ V)
3029ad3antlr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝐴 ∈ V)
31 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
32 f1f1orn 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
34 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
353, 34sseldi 3825 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓)
36 f1ocnvfv2 6788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓 ∧ (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3733, 35, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3837, 34eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
39 f1ocnv 6390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋)
40 f1of 6378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋𝑓:ran 𝑓𝑋)
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:ran 𝑓𝑋)
4241, 35ffvelrnd 6609 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋)
4313ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
44 f1elima 6775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4531, 42, 43, 44syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4638, 45mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
4746expr 450 . . . . . . . . . 10 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4847ralimdva 3171 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) → (∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4948impr 448 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
50 acnlem 9184 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5130, 49, 50syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5228, 51exlimddv 2034 . . . . . 6 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5352ralrimiva 3175 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
54 vex 3417 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
5554dmex 7361 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
5614, 55syl6eqelr 2915 . . . . . 6 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑋 ∈ V)
57 isacn 9180 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5856, 29, 57syl2an 589 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5953, 58mpbird 249 . . . 4 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → 𝑋AC 𝐴)
6059ex 403 . . 3 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
6160exlimiv 2029 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
621, 61syl 17 1 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   class class class wbr 4873  ◡ccnv 5341  dom cdm 5342  ran crn 5343   “ cima 5345  ⟶wf 6119  –1-1→wf1 6120  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↑𝑚 cmap 8122   ≼ cdom 8220  AC wacn 9077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-map 8124  df-dom 8224  df-acn 9081 This theorem is referenced by:  acnen2  9191  dfac13  9279  iundomg  9678  iunctb  9711
 Copyright terms: Public domain W3C validator