MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acndom2 10055
Description: A set smaller than one with choice sequences of length 𝐴 also has choice sequences of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8960 . 2 (𝑋𝑌 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌)
2 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑌AC 𝐴)
3 imassrn 6070 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ ran 𝑓
4 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
5 f1f 6787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋𝑌)
6 frn 6724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋𝑌 → ran 𝑓𝑌)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ran 𝑓𝑌)
83, 7sstrid 3993 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌)
9 elmapi 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1110ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1211eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
1312elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
14 f1dm 6791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → dom 𝑓 = 𝑋)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → dom 𝑓 = 𝑋)
1613, 15sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓)
17 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
19 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2118, 20eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
22 imadisj 6079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) = ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = ∅)
2322necon3bii 2992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
258, 24jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
2625ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
27 acni2 10047 . . . . . . . 8 ((𝑌AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
282, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
29 acnrcl 10043 . . . . . . . . 9 (𝑌AC 𝐴𝐴 ∈ V)
3029ad3antlr 728 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝐴 ∈ V)
31 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
32 f1f1orn 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
34 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
353, 34sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓)
36 f1ocnvfv2 7278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓 ∧ (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3733, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3837, 34eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
39 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋)
40 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋𝑓:ran 𝑓𝑋)
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:ran 𝑓𝑋)
4241, 35ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋)
4313ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
44 f1elima 7265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4531, 42, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
4746expr 456 . . . . . . . . . 10 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4847ralimdva 3166 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) → (∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4948impr 454 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
50 acnlem 10049 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5130, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5228, 51exlimddv 1937 . . . . . 6 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5352ralrimiva 3145 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
54 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
5554dmex 7906 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
5614, 55eqeltrrdi 2841 . . . . . 6 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑋 ∈ V)
57 isacn 10045 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5856, 29, 57syl2an 595 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5953, 58mpbird 257 . . . 4 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → 𝑋AC 𝐴)
6059ex 412 . . 3 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
6160exlimiv 1932 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
621, 61syl 17 1 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3473  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  cima 5679  wf 6539  1-1wf1 6540  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826  cdom 8943  AC wacn 9939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-dom 8947  df-acn 9943
This theorem is referenced by:  acnen2  10056  dfac13  10143  iundomg  10542  iunctb  10575
  Copyright terms: Public domain W3C validator