Theorem infn0 9338

Description: An infinite set is not empty. For a shorter proof using ax-un 7754, see infn0ALT 9339. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) Avoid ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 8-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infn0	⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem infn0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8998	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2		peano1 7911	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
3		f1f1orn 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓)
5		f1f 6805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
6	5	frnd 6745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → ran 𝑓 ⊆ 𝐴)
7		sseq0 4409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ran 𝑓 = ∅)
8	6, 7	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ran 𝑓 = ∅)
9	8	f1oeq3d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓 ↔ 𝑓:ω–1-1-onto→∅))
10	4, 9	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑓:ω–1-1-onto→∅)
11		f1ocnv 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ω–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→ω)
12		noel 4344	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
13		f1o00 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ ω = ∅))
14	13	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → ω = ∅)
15	14	eleq2d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → (∅ ∈ ω ↔ ∅ ∈ ∅))
16	12, 15	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → ¬ ∅ ∈ ω)
17	10, 11, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ ∅ ∈ ω)
18	2, 17	mt2 200	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅)
19	18	imnani 400	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
20	19	neqned 2945	. . 3 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
21	20	exlimiv 1928	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
22	1, 21	syl 17	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688  ran crn 5690  –1-1→wf1 6560  –1-1-onto→wf1o 6562  ωcom 7887   ≼ cdom 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-om 7888  df-dom 8986

This theorem is referenced by:  infpwfien  10100  infxp  10252  infpss  10254  alephmul  10616  csdfil  23918