MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infn0 9303
Description: An infinite set is not empty. For a shorter proof using ax-un 7721, see infn0ALT 9304. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) Avoid ax-un 7721. (Revised by BTernaryTau, 8-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
infn0 (Ο‰ β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem infn0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8950 . 2 (Ο‰ β‰Ό 𝐴 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2 peano1 7875 . . . . . 6 βˆ… ∈ Ο‰
3 f1f1orn 6841 . . . . . . . . 9 (𝑓:ω–1-1→𝐴 β†’ 𝑓:ω–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝑓:ω–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
5 f1f 6784 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ω–1-1→𝐴 β†’ 𝑓:Ο‰βŸΆπ΄)
65frnd 6722 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ω–1-1→𝐴 β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝐴)
7 sseq0 4398 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝑓 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ran 𝑓 = βˆ…)
86, 7sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ran 𝑓 = βˆ…)
98f1oeq3d 6827 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝑓:ω–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ↔ 𝑓:ω–1-1-ontoβ†’βˆ…))
104, 9mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝑓:ω–1-1-ontoβ†’βˆ…)
11 f1ocnv 6842 . . . . . . 7 (𝑓:ω–1-1-ontoβ†’βˆ… β†’ ◑𝑓:βˆ…β€“1-1-ontoβ†’Ο‰)
12 noel 4329 . . . . . . . 8 Β¬ βˆ… ∈ βˆ…
13 f1o00 6865 . . . . . . . . . 10 (◑𝑓:βˆ…β€“1-1-ontoβ†’Ο‰ ↔ (◑𝑓 = βˆ… ∧ Ο‰ = βˆ…))
1413simprbi 497 . . . . . . . . 9 (◑𝑓:βˆ…β€“1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ Ο‰ = βˆ…)
1514eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (◑𝑓:βˆ…β€“1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ (βˆ… ∈ Ο‰ ↔ βˆ… ∈ βˆ…))
1612, 15mtbiri 326 . . . . . . 7 (◑𝑓:βˆ…β€“1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ Β¬ βˆ… ∈ Ο‰)
1710, 11, 163syl 18 . . . . . 6 ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ Β¬ βˆ… ∈ Ο‰)
182, 17mt2 199 . . . . 5 Β¬ (𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = βˆ…)
1918imnani 401 . . . 4 (𝑓:ω–1-1→𝐴 β†’ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
2019neqned 2947 . . 3 (𝑓:ω–1-1→𝐴 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
2120exlimiv 1933 . 2 (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–1-1→𝐴 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
221, 21syl 17 1 (Ο‰ β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-om 7852  df-dom 8937
This theorem is referenced by:  infpwfien  10053  infxp  10206  infpss  10208  alephmul  10569  csdfil  23389
  Copyright terms: Public domain W3C validator