Theorem infn0 9276

Description: An infinite set is not empty. For a shorter proof using ax-un 7740, see infn0ALT 9277. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) Avoid ax-un 7740. (Revised by BTernaryTau, 8-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infn0	⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem infn0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8969	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2		peano1 7889	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
3		f1f1orn 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓)
4	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓)
5		f1f 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
6	5	frnd 6715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → ran 𝑓 ⊆ 𝐴)
7		sseq0 4357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ran 𝑓 = ∅)
8	6, 7	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ran 𝑓 = ∅)
9	8	f1oeq3d 6818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓 ↔ 𝑓:ω–1-1-onto→∅))
10	4, 9	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑓:ω–1-1-onto→∅)
11		f1ocnv 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ω–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→ω)
12		noel 4287	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
13		f1o00 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ ω = ∅))
14	13	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → ω = ∅)
15	14	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → (∅ ∈ ω ↔ ∅ ∈ ∅))
16	12, 15	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → ¬ ∅ ∈ ω)
17	10, 11, 16	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ ∅ ∈ ω)
18	2, 17	mt2 203	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅)
19	18	imnani 406	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
20	19	neqned 2964	. . 3 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
21	20	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
22	1, 21	syl 18	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ωcom 7866   ≼ cdom 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-om 7867  df-dom 8958

This theorem is used by:  infpwfien  10069  infxp  10220  infpss  10222  alephmul  10591  csdfil  24126