Theorem infn0 8492

Description: An infinite set is not empty. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
infn0	⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem infn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7347	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		infsdomnn 8491	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ≺ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 684	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
4		reldom 8229	. . . 4 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5395	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		0sdomg 8359	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	3, 7	mpbid 224	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415  ∅c0 4145   class class class wbr 4874  ωcom 7327   ≼ cdom 8221   ≺ csdm 8222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-om 7328  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227

This theorem is referenced by:  infpwfien  9199  cdainf  9330  infxp  9353  infpss  9355  alephmul  9716  csdfil  22069