Theorem infn0 9181

Description: An infinite set is not empty. For a shorter proof using ax-un 7663, see infn0ALT 9182. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) Avoid ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 8-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infn0	⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem infn0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8877	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴)
2		peano1 7814	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
3		f1f1orn 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓)
5		f1f 6715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝑓:ω⟶𝐴)
6	5	frnd 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → ran 𝑓 ⊆ 𝐴)
7		sseq0 4351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ran 𝑓 = ∅)
8	6, 7	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ran 𝑓 = ∅)
9	8	f1oeq3d 6756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑓:ω–1-1-onto→ran 𝑓 ↔ 𝑓:ω–1-1-onto→∅))
10	4, 9	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑓:ω–1-1-onto→∅)
11		f1ocnv 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ω–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→ω)
12		noel 4286	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
13		f1o00 6794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ ω = ∅))
14	13	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → ω = ∅)
15	14	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → (∅ ∈ ω ↔ ∅ ∈ ∅))
16	12, 15	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→ω → ¬ ∅ ∈ ω)
17	10, 11, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ ∅ ∈ ω)
18	2, 17	mt2 200	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑓:ω–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 = ∅)
19	18	imnani 400	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
20	19	neqned 2933	. . 3 ⊢ (𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
21	20	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–1-1→𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
22	1, 21	syl 17	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  ran crn 5615  –1-1→wf1 6474  –1-1-onto→wf1o 6476  ωcom 7791   ≼ cdom 8862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-om 7792  df-dom 8866

This theorem is referenced by:  infpwfien  9945  infxp  10097  infpss  10099  alephmul  10461  csdfil  23802