Theorem brlmici 20629

Description: Prove isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brlmici	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑆)

Proof of Theorem brlmici

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4330	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brlmic 20628	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∅c0 4318   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393   LMIso clmim 20580   ≃_𝑚 clmic 20581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-1o 8448  df-lmim 20583  df-lmic 20584

This theorem is referenced by:  lmicsym  20632  lbslcic  21329  lmictra  21333  lmicqusker  32390  pwslnmlem2  41604